第二讲 公式法—平方差公式(基础讲解)（含解析）

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第二讲 公式法—平方差公式
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【知识总结】
一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
【注】：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.21世纪教育网版权所有
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
【类型】一、公式法——平方差公式
例1、分解因式
（1）4x2-16 （2）16-m2
（3） （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；
【分析】
（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解；
（2）直接运用平方差公式分解；
（3）直接运用平方差公式分解，注意合并即可；
（4）先提取公因式，再运用平方差公式分解；
【详解】
（1）原式==
（2）原式=
（3）原式==
（4）原式==
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法和使用顺序是解题关键．
【训练】因式分解：
(1) ； (2) ．
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）先提公因式，再利用平方差公式进行分解因式即可；
（2）运用平方差公式进行两次分解因式即可解答．
解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点拨】本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．21cnjy.com
例2、
【答案】
【分析】首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项．
解：原式
【点拨】本题考查因式分解，熟练利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键．
【训练】分解因式
（1） （2）
（3）
【答案】（1）；（2）；
（3）
【分析】
（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式可得到答案；
（2）利用分组分解法，把原式化为：，再利用平方差公式分解即可得到答案；
（3）先把原式化为：，再利用平方差公式分解为：，再次利用平方差公式把分解即可得到答案．
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】本题考查的是因式分解，掌握提公因式与公式法，分组分解法分解因式是解题的关键．
【类型】二、平方差公式的应用
例3、n为整数，
证明：（2n+1）2－1能被8整除．
【答案】见解析
【分析】
先利用因式分解把原式化为，根据n和n+1是两个连续整数，能被2整除即可求证本题．
解:（2n+1）2－1=，
∵n是整数，
∴n和n+1是两个连续整数，能被2整除，
∴能被8整除，
即（2n+1）2－1能被8整除．
【点拨】本题考查的是因式分解的应用，用平方差公式把原式化为是解题的关键．
【训练】已知求的值．
【答案】8
【分析】先把分解因式，然后把x，y的值代入化简即可.
解：
【点拨】本题考查了代数式的运算，运用平方差公式对原式进行因式分解是解题的关键.
【训练】已知的三边长、、满足条件，
试判断的形状．
【答案】直角三角形或等腰三角形，理由如下：
【分析】利用平方差公式和 ( http: / / www.21cnjy.com )提公因式法将等式左边的式子进行因式分解，得到两式的乘积等于零的形式，则两因式中至少有一个因式等于零转化为两个等式；根据等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理即可得出结论．21·cn·jy·com
解：是直角三角形或等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
因式分解得，
∴或，
当时，，则是直角三角形，
当时，，则是等腰三角形，
∴是直角三角形或等腰三角形．
【点拨】本题考查了因式分解的实际应用、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定，解题的关键是掌握平方差公式和提公因式法．21教育网
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