4.1.1实数指数幂及其运算 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
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1．了解指数函数模型的实际背景．　2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．　3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．　4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
　指数与指数函数及其运算
根式
1．根式的概念
2.两个重要公式
a
____________________[通关方略]____________________
对于根式的化简式进行根式运算时，一定要注意根指数的奇偶性的判断，若不明确，就分奇数与偶数情况讨论．
答案：A
有理数指数幂
1．幂的有关概念
(3)0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 ．
2．有理数指数幂的性质
(1)aras＝ (a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ (a>0, r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
0,
无意义
ar＋s
ars
arbr
____________________[通关方略]____________________
1．分数指数幂与根式的关系
分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．
2．有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
指数函数的图象与性质
3．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
解析：当x＝1时，y＝a1－a＝0，
∴函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，
结合图象可知选C.
答案：C
4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)
A．a>b>c　　B．a>c>b　　C．c>a>b　　D．b>c>a
解析：由0.2<0.6,0<0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
答案：A
指数幂的化简与求值
反思总结
进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．还需注意下列问题
(1)如果化简求值的结果含有字母，一般采用分数指数幂的形式表示．
(2)应用平方差、立方和(差)、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算．
答案：6
指数函数的图象及应用
【例2】　(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[解析]　(1)由已知并结合图象可知0对于函数g(x)＝ax＋b，它一定是单调递减的．
且当x＝0时g(0)＝a0＋b＝1＋b<0，即图象与y轴交点在负半轴上．
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
[答案]　(1)A　(2)[－1,1]
解析：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点．
则b的取值范围是(0,1)．
反思总结
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
2．y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：
y＝ax与y＝|ax|是同一函数的不同表现形式．
函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
指数函数的性质及应用
[答案]　(1)D　(2)A
反思总结
解决与指数函数的性质问题时应注意
(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断．
(2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用．
变式训练
2．函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠0)且f(1)＝9.则f(x)的单调递减区间是________．
解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，
又∵g(x)＝|2x－4|在(－∞，2]内单调递减，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
——分类讨论思想在指数函数中的应用
分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a>1或0【典例】　设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
由题悟道
本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a取值不定故要分两种情况进行讨论．
若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.