第三讲 认识三角形—三角形的重要线段(基础讲解)（含解析）

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第三讲 认识三角形—三角形的重要线段
【学习目标】
1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；
2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；
3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
【知识总结】
一、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
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图一 图二
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
【注】：如图二
（1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。
（2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
二、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
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图三 图四
【注】：
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四：
三、三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
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图五 图六
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
【注】：
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线；
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图七
【典型例题】
【类型】一、三角形的高线
例1、如图，已知，画出的高AD和CE．
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解：如图，AD、CE为所作．
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【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线的垂线段。此垂线段就是这边上的高。21世纪教育网版权所有
例2.如图，已知，按要求作图．
（1）过点作的垂线段；
（2）过作、的垂线分别交于点、；
（3），，，，求点到线段的距离．
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【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点到线段的距离为．
【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；
（3）利用三角形面积公式得到，然后把，，代入计算可求出．
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，、为所作；
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（3），
，
即点到线段的距离为．
【点拨】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键.
【类型】二、三角形的中线
例3.如图，AD为的中线，BE为的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；
（2）若的面积为40，BD边上的高为5，BD为多少？
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【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）直接根据三角形的外角性质即可得；
（2）先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的定义即可得．
解：（1）∵是的外角，
∴，
又∵，，
∴；
（2）的面积为40，BD边上的高为5，
，
解得，
AD为的中线，
，
即．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质、三角形中线的定义等知识点，熟练掌握三角形的相关知识是解题关键．
例4.已知点是的重心，连接、，那么_________．
【答案】
【分析】直接根据三角形重心的性质进行解答即可．
解：连接AG并延长交BC于D
∵点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴△DGC的面积等于△ADC面积的，
△DGB的面积等于△ADB面积的，
∴△DGC的面积+△DGB的面积=（△ADC的面积+△ADB的面积）
∴△BCG的面积=△ABC的面积
∴
故答案为：
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【点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答此题的关键．
【训练】如图，点G为△ABC的重心，AG＝4，则中线AD的长为________．
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【答案】6
【分析】根据G是△ABC的重心，利用重心的性质求出GD，然后再将AG+GD即可求出AD．
解：∵G是△ABC的重心，AD是中线，AG=4，
∴AG:GD=2:1，
∴GD=2
∴AD=AG+GD=6．
故答案为：6．
【点拨】此题主要考查了三角形重心的性质这一知识点，比较简单，要求同学们应熟练掌握．
【类型】三、三角形的角平线
例5．如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=______．
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【答案】60°
【分析】
由AD∥BC，∠B=30°，根据平行线的性质，可得∠ADB=30°，又由DB平分∠ADE，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．21教育网
解：∵AD∥BC，∠B=30°，
∴∠ADB=∠B=30°，
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE=2∠ADB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE=60°．
【点拨】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【训练】已知：如图，与点不重合的两点、分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点．21cnjy.com
（1）当点、分别在射线、上，且时，求的度数；
（2）当点、分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围．21·cn·jy·com
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【答案】（1）45°；（2）不变，45°
【分析】（1）由题意，先求出，由角平分线的定义，求出，，由三角形外角的性质，即可求出答案；
（2）由三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义即可求出答案．
解：（1）∵，即，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（2）的大小不会发生变化，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∴
．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的得到角的关系．2·1·c·n·j·y
例6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，平分交于点，点、分别是线段、上的动点，求的最小值．
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【答案】
【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出CH的长度，CH的长度即为的最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如解图，过点作于点，交于点，过点作 于点，
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∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴此时最短，即的值最小．
∵、、，
∴，．
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴的最小值为．
【点拨】本题考查最短路径问题，过点作于点，根据垂线段最短、角平分线的性质得到CH的长度即为的最小值是解题的关键．21·世纪*教育网
质是解题的关键．
例7．如图BO、CO分别平分和，DE过点D且，，，求的周长．
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【答案】周长为23cm.
【分析】根据已知可以推出OD=DB,OE=EC,那么△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=23.www.21-cn-jy.com
解：∵BO、CO分别平分和，
，，
又．
，，
，，
，，
∴周长
【点拨】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及定理是解题关键.
例8．如图，在△ABC中，∠ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠A2018的度数为________（用含α的代数式表示）．
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【答案】
【分析】根据角平分线的定义以及三角形的外角性质可得∠A1＝α，∠A2＝α，∠A3＝α，据此找出规律解答即可．www-2-1-cnjy-com
解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，
同理可得∠A2＝∠A1＝α，
∠A3＝∠A2＝α，
……
以此类推，∠A2018＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质以及规律探求问题，熟练掌握上述知识是解题的关键．
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