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第三讲 认识三角形—三角形的重要线段
一、单选题
1．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 ( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．周长相等的三角形 D．直角三角形
2．如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为( )
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A．2 B．1 C． D．
3．下列说法中正确的是( )
A．三角形的角平分线和中线都是线段
B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线是射线,而中线是线段
D．三角形的角平分线是线段,而中线是射线
4．如图, ∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是( )
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A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3=∠ACB D．CE是△ABC的角平分线
5．如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于( )
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A．120° B．130° C．115° D．110°
6．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是( )21世纪教育网版权所有
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A．3 B．4 C．5 D．6
8．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
9．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
10．下列说法中正确的是( )
A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
11．下列结论:①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②直角三角形只有一条高;③三角形的中线可能在三角形外部;④三角形的高都在三角形内部.21教育网
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．已知三角形的三条中线交于一点,则下列结 ( http: / / www.21cnjy.com )论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论有____.(填序号)21cnjy.com
13．有一质地均匀的三角形铁片,若阿龙想用木棒撑住此铁片,则支撑点应设在该三角形的____处最恰当.
14．如图,在△ABC中,BC边上的高是____;在△BCE中,BE边上的高是____;在△ACD中,AC边上的高是____.
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三、解答题
15．如图,AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:
(1)DO是∠EDF的平分线吗 给出结论并说明理由.
(2)若将DO是∠EDF ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线与AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC中的任一条件交换,所得结论正确吗 若正确,请选择一个说明理由.21·cn·jy·com
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16．如图,网格小正方形的边长都为1 ( http: / / www.21cnjy.com ),在△ABC中,试分别画出三条边上的中线,然后探究三条中线的位置及与其有关的线段之间的关系,你发现了什么有趣的结论 www.21-cn-jy.com
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17．如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,若BC=10,AC=8,BE=,求AD的长.
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18．已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度数.
19．如图,已知在△ABC中,A ( http: / / www.21cnjy.com )B=AC=4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定 若能确定,值是多少 请说明理由. 2·1·c·n·j·y
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第三讲 认识三角形—三角形的重要线段
一、单选题
1．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个 ( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．周长相等的三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】
根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．21·cn·jy·com
【详解】
三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选B．
【点睛】
考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
2．如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为( )
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A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
解：∵D、E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=4，∴S阴影=×S△ADC=×S△ABC=×4=1．故选B．
3．下列说法中正确的是( )
A．三角形的角平分线和中线都是线段
B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线是射线,而中线是线段
D．三角形的角平分线是线段,而中线是射线
【答案】A
【解析】解：三角形的角平分线和中线都是线段．故选A．
4．如图, ∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是( )
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A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3=∠ACB D．CE是△ABC的角平分线
【答案】D
【解析】
解：∵∠1=∠2，∴BD是△ABC的角平分线，∵∠3=∠4，∴CE是△BCD的角平分线，∠3=∠ACB，∴A、B、C正确．21cnjy.com
CE不是△ABC的角平分线，故D错误．
故选D．
5．如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于( )
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A．120° B．130° C．115° D．110°
【答案】C
【解析】
解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）．∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BDC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+×50°=115°．故选C．【来源：21·世纪·教育·网】
6．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.
【详解】
根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.
故选A.
考点：三角形高线的作法
7．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是( )21教育网
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
试题分析：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．所以S△ABC=BC h=16，S阴影=S△AGH+S△CGH=GH h1+GH h2=GH （h1+h2）=GH h．因为四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，可得GH=BD=BC，所以S阴影=×（BC h）=S△ABC=4．
故答案选B．
考点：三角形的面积公式；平行四边形的性质.
8．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】
试题分析：因为直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的三条高线的交点是直角顶点，而其他三角形三条高线的交点都不在顶点上，所以如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形．
故选B．
点睛：本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
9．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上皆不对
【答案】C
【解析】
试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，
直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，
钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，
所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.
故选C.
10．下列说法中正确的是( )
A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
【答案】C
【解析】解：三角形的高不一定在三角形内，故A错误；
任何三角形都有三条高，故B错误；
锐角三角形的三条高都在三角形内，正确；
直角三角形一条直角边的高等于另一条直角边，故D错误．
故选C．
11．下列结论:①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②直角三角形只有一条高;③三角形的中线可能在三角形外部;④三角形的高都在三角形内部.www.21-cn-jy.com
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】解：①三角形的角平分线、中线、高都是线段，正确；
②直角三角形有三条高，故②错误；
③三角形的中线可能在三角形外部，错误；
④三角形的高都在三角形内部，错误．
故正确的只有①，故选A．
二、填空题
12．已知三角形的三条中线交于一点,则下列 ( http: / / www.21cnjy.com )结论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论有____.(填序号)2·1·c·n·j·y
【答案】①③
【解析】解：三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，这个交点叫三角形的重心．故①③正确．故答案为：①③．21·世纪*教育网
13．有一质地均匀的三角形铁片,若阿龙想用木棒撑住此铁片,则支撑点应设在该三角形的____处最恰当.
【答案】重心
【解析】解：有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的重心处最恰当．故答案为：重心．2-1-c-n-j-y
14．如图,在△ABC中,BC边上的高是____;在△BCE中,BE边上的高是____;在△ACD中,AC边上的高是____.
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【答案】AF CE CD
【解析】
解：在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高是CE；在△ACD中，AC边上的高是CD．故答案为：AF，CE，CD．21*cnjy*com
三、解答题
15．如图,AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:
(1)DO是∠EDF的平分线吗 给出结论并说明理由.
(2)若将DO是∠EDF的平分线与AD是 ( http: / / www.21cnjy.com )∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC中的任一条件交换,所得结论正确吗 若正确,请选择一个说明理由.【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】(1)DO是∠EDF的平分线(2)正确.若和DE∥AB交换.
【解析】
试题分析：（1）由角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线定义得到∠EAD=∠FAD，再由平行线的性质得到∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD，从而得到∠EDA=∠FDA，即可得到结论．【出处：21教育名师】
（2）正确．若和DE∥A ( http: / / www.21cnjy.com )B交换．则由平行线的性质得到∠FDA=∠EAD，再由角平分线的定义得到∠EAD=∠FAD，故有∠FAD=∠FDA．由DO是∠EDF的平分线，得到∠EDA=∠FDA．从而得到∠EDA=∠FAD，即可得到结论．【版权所有：21教育】
试题解析：解：（1）DO是∠EDF的平分线．理由如下：
∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD=∠FAD．
∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD，∴∠EDA=∠FDA，∴DO是∠EDF的平分线．
（2）正确．若和DE∥AB交换．
理由：∵DF∥AC，∴∠FDA=∠EAD．
∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD=∠FAD，∴∠FAD=∠FDA．
又∵DO是∠EDF的平分线，∴∠EDA=∠FDA．∴∠EDA=∠FAD，∴DE∥AB．
（答案不唯一）
16．如图,网格小正方形的边长都为1,在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中,试分别画出三条边上的中线,然后探究三条中线的位置及与其有关的线段之间的关系,你发现了什么有趣的结论 21教育名师原创作品
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【答案】图形见解析
【解析】
试题分析：本题中讨论的其实是三角形的重心 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形的重心是三角形三边中线的交点，其性质之一是重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．21*cnjy*com
试题解析：解：（1）三条中线交于一点；
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（2）在同一条中线上，这个点到对边中点的距离等于它到顶点距离的一半．
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点睛：重心的重要性质是重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
17．如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,若BC=10,AC=8,BE=,求AD的长.
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【答案】6.8
【解析】
试题分析：根据S△ABC=·BC·AD=·AC·BE即可得出结论．
试题解析：解：因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以S△ABC=·BC·AD=·AC·BE．所以BC·AD=AC·BE．又因为BC=10，AC=8，BE=，所以10AD=8×，所以AD=6.8．
18．已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度数.
【答案】93°; 51°
【解析】
试题分析：分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
试题解析：解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=72°+21°=93°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=72°﹣21°=51°．
综上所述：∠BAC的度数为93°或51°．故答案为93°或51°．
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点睛：本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．
19．如图,已知在△ABC中,AB=AC= ( http: / / www.21cnjy.com )4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定 若能确定,值是多少 请说明理由.
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【答案】PD+PE的值能确定,且PD+PE=3
【解析】
试题分析：可连接AP，由图得，S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入数值，求解即可．
试题解析：解：PD+PE的值能确定，且PD+PE=3．理由如下：
如图，连接AP．
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由图可得S△ABC=S△ABP+S△ACP．
因为PD⊥AB，PE⊥AC，AB=AC=4，△ABC的面积为6，
所以6=×4×PD+×4×PE=2（PD+PE）．
所以PD+PE=3．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．www-2-1-cnjy-com
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