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第六讲 探索三角形全等的条件—ASA/AAS
一、单选题
1．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．如图，已知AB=AD给出下列条件：
（1）CB=CD （2）∠BAC=∠DAC （3）∠BCA=∠DCA （4）∠B=∠D，
若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（ ）
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A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF
4．如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，下列条件能保证 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC≌△ADC的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．（ ）21教育网
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A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④ D．①③④⑤
二、解答题
6．如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。
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7．如图，BE、CF是△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的高且相交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由.21·cn·jy·com
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8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC．www.21-cn-jy.com
（1）求证：△AOC≌△AOE；
（2）求证：OE∥BC．
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9．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC．
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（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE会相等吗？请证明你的结论.21cnjy.com
10．如图，点B、D、E、C在 ( http: / / www.21cnjy.com )一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论.21世纪教育网版权所有
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11．如图，在△ABC和△DEC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，AC∥DE，延长CA交射线EB于点G，点F恰好是AD中点.2·1·c·n·j·y
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（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数.
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第六讲 探索三角形全等的条件—ASA/AAS
一、单选题
1．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（ ）
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A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解析】
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AD，
∴可由“SAS”判定△ABD≌△ACD.
故选B.
2．如图，已知AB=AD给出下列条件：
（1）CB=CD （2）∠BAC=∠DAC （3）∠BCA=∠DCA （4）∠B=∠D，
若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
∵在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC，
∴（1）添加“CB=CD”可由“SSS”判定△ABC≌△ADC；
（2）添加“∠BAC=∠DAC”可由“SAS”判定△ABC≌△ADC；
（3）添加“∠BCA=∠DCA”不能判定△ABC≌△ADC；
（4）添加“∠B=∠D”不能判定△ABC≌△ADC；
即4个条件中，添加（1）和（2）能使△ABC≌△ADC.
故选B.
3．如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB=CD B．BE∥DF C．∠B=∠D D．BE=DF
【答案】D
【解析】
∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
又∵AE=CF，
∴（1）添加“AB=CD”，可由“SAS”判定△ABE≌△CDF；
（2）添加“BE∥DF”可得∠FEB=∠EFD，进一步可得∠AEB=∠CFD，从而可由“ASA”判定△ABE≌△CDF；
（3）添加“∠B=∠D”可由“AAS”判定△ABE≌△CDF；
（4）添加“BE=DF”不能判定△ABE≌△CDF；
故选D.
点睛：本题主要考查的直接应用“ ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形的判定方法”证明两个三角形全等的能力，解题的关键是“熟记全等三角形的几种判定方法”，同时要特别注意“有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.21世纪教育网版权所有
4．如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中有多少对三角形全等（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
∵AC与BD相交于点O，
∴∠AOD=∠COB，∠AOB=∠COD，
又∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，
∴AD=CB，AB=CD，
又∵AC=CA，BD=DB，
∴△ACD≌△CAB，△ABD≌△CDB，
即图中共有4对全等三角形.
故选D.
5．如图，下列条件能保证△ABC≌△ADC ( http: / / www.21cnjy.com )的是：①AB=AD，BC=DC；②∠1=∠3，∠4=∠2；③∠1=∠2，∠4=∠3；④∠1=∠2，AB=AD；⑤∠1=∠2，BC=DC．（ ）2·1·c·n·j·y
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A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【解析】
∵在△ABC和△ADC中，AC=AC，
∴当添加条件：①AB=AD，BC=DC时，可由“SSS”得到△ABC≌△ADC；
当添加条件：②∠1=∠3，∠4=∠2时，不能得到△ABC≌△ADC；
当添加条件：③∠1=∠2，∠4=∠3时，可由“AAS”得到△ABC≌△ADC；
当添加条件：④∠1=∠2，AB=AD时，可由“SAS”得到△ABC≌△ADC；
当添加条件：⑤∠1=∠2，BC=DC时，不能得到△ABC≌△ADC；
综上所述，添加条件：① ③ ④ 结合AC=AC能得到△ABC≌△ADC.
故选C.
二、解答题
6．如图，△ABC和△AED中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：BD=EC。
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【答案】证明见解析
【解析】试题分析：
由∠BAC=∠DAE易得∠BAD=∠EAC，结合AB=AE，AC=AD，即可由“SAS”证得：△BAD≌△EAC，从而可得：BD=EC.21·世纪*教育网
试题解析：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠EAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD=EC.
7．如图，BE、CF是△ABC的高且相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点P，AQ∥BC交CF延长线于点Q，若有BP=AC，CQ=AB，线段AP与AQ的关系如何？说明理由.21*cnjy*com
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【答案】AQ与AP的关系是相等且互相垂直.
【解析】
试题分析：
由BE、CF是△ABC的高，易得∠ABP+∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，结合∠BPF=∠CPE，易得∠ABP=∠ACP，这样结合BP=AC，CQ=AB，即可由“SAS”证得△ACQ≌△PBA，从而可得AP=AQ，∠Q=∠PAF，结合∠PAF+∠APF=90°，可得：∠APF+∠Q=90°，即可得到∠QAP=90°，从而可得AQ⊥AP，由此即可得到AQ与AP的关系是相等且互相垂直.【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：
AQ与AP的关系是：相等且互相垂直，理由如下：
∵BE、CF是△ABC的高，
∴∠BFP=∠CEP=90°，
∴∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，
又∵∠BPF=∠CPE，
∴∠ABP=∠ACP，
在△ACQ和△PBA中：
，
∴△ACQ≌△PBA（SAS），
∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，
∵∠PAF+∠APF=90°，
∴∠APF+∠Q=90°，
∴AP⊥AQ，即：AQ与AP的关系是相等且互相垂直.
8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AO平分∠BAC，交CD于点O，E为AB上一点，且AE=AC．21·cn·jy·com
（1）求证：△AOC≌△AOE；
（2）求证：OE∥BC．
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【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：
（1）由AO平分∠BAC，可得∠CAO=∠EAO结合AO=AO，AE=AC即可由“SAS”证得：△AOC≌△AOE；
（2）由△AOC≌△AOE可得∠ACO=∠A ( http: / / www.21cnjy.com )EO，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，易得∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，从而可得∠DCB=∠DOE，即可得到：OE∥BC.www.21-cn-jy.com
试题解析：
（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠EAO．
在△ACO和△AEO中：
，
∴△AOC≌△AOE．
（2）∵△AOC≌△AOE，
∴∠ACO=∠AEO，
∵ CD⊥AB于点D，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，
∴∠DCB=∠DOE，
∴OE∥BC.
9．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC．
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（1）求证：AC=DB；
（2）如图2，E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以相同的速度反向而行，BF和CE会相等吗？请证明你的结论.【版权所有：21教育】
【答案】（1）证明见解析（2）BF=CE
【解析】
试题分析：
（1）由∠ABC=∠DCB，AB=DC结合BC=CB即可证得：△ABC≌△DCB，从而可得AC=DB；
（2）由题意可得AE=DF，从而可得AF ( http: / / www.21cnjy.com )=DE，由AD∥BC结合∠ABC=∠DCB，易得∠BAD=∠CDA，再结合AB=DC即可证得△BAF≌△CDE，从而可得BF=CE.www-2-1-cnjy-com
试题解析：
（1）在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）,
∴AC=DB；
（2）BF=CE，理由如下：
由题意可得：AE=DF，
∴AF=DE，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAF和△CDE中，
，
∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴BF=CE.
10．如图，点B、D、E、C在一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论.2-1-c-n-j-y
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【答案】有，△ABE≌△ACD
【解析】
试题分析：
由△ABD≌△ACE可得：AB=AC，BD=CE，∠B=∠C，从而易得BE=CD，这样由“SAS”即可证得△ABE和△ACD.
试题解析：
有，△ABE≌△ACD；理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，BD=CE，∠B=∠C，
∴BE=CD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE和△ACD（SAS）.
11．如图，在△ABC和△DEC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=∠DEC=90°，连接AD交射线EB于F，AC∥DE，延长CA交射线EB于点G，点F恰好是AD中点.【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求证：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求证：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，试求∠AFG的度数.
【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②∠AFG=60°．
【解析】
试题分析：
（1）由AG∥DE易得：∠G=∠DEF；由F是AD的中点易得AF=DF，结合∠AFG=∠DFE，即可证得：△AGF≌△DEF；【出处：21教育名师】
（2）①由BC=CE可得∠CBE=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CEB，结合∠ABC=DEC=90°，易得∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，从而可得∠ABF=∠DEF；21cnjy.com
②由△AGF≌△DEF可得∠G=∠DEF，AG=DE结合∠ABF=∠DEF，可得：∠ABF=∠G，从而可得：AG=AB，这样即可得到：AB=DE，结合∠ABC=∠DEC=90°，BC=CE即可证得：△ABC≌△DEC，由此可得AC=CD，∠EDC=∠BAC=30°，结合AC∥DE可得∠ACD=∠EDC=30°，从而可得∠CAD=；由∠BAC=∠G+∠ABG=30°结合∠G=∠ABG易得∠G=15°，结合∠CAD=∠G+∠AFG即可得到∠AFG=60°.
试题解析：
（1）∵AG∥DE，点F是AD的中点，
∴∠G=∠DEF，AF=DF，
∵△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS）；
（2）① ∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=DEC=90°，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，
∴∠ABF=∠DEF；
②∵△AGF≌△DEF，
∴∠G=∠DEF，
∵∠ABF=∠DEF，
∴∠ABF=∠G，
∴AG=AB，
∵△AGF≌△DEF，
∴AG=DE，
∴DE=AB，
∵△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC，（SAS）
∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，
∵AC∥DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，
∴∠G=15°，
∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°.
点睛：本题是一道综合考查全等三角形的性质与 ( http: / / www.21cnjy.com )判定及等腰三角形的性质的题目，解第2小题第（1）问的关键是由∠ABC=90°得到∠ABF+∠CBE=90°；解第2小题第（2）小问的关键是结合前面证得△ABC≌△DEC，这样即可结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠AFG的度数.21教育网
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