第七讲 用尺规作三角形(基础讲解)（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第七讲 用尺规作三角形
【学习目标】
1、知道基本的作图的常用工具，并会用尺规做几种简单的基本图形。
2、根据三角形判定定理，掌握用尺规做三角形及做一个三角形与已知三角形全等。
【知识总结】
一、已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形
已知：线段a，c和∠α，如图4－4－16所示．
图4－4－16
求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.
作法：(1)作一条线段BC＝a(如图4－4－17)；
图4－4－17
(2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α(如图4－4－18)；
图4－4－18
(3)在射线BD上截取线段BA＝c(如图4－4－19)；
图4－4－19
　　　图4－4－20
(4)连接AC(如图4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
二、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
作法：(1)作∠DAF＝∠α；
图4－4－22
　　　图4－4－23
(2)在射线AF上截取线段AB＝c；
图4－4－24
(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
三、已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知：线段a，b，c，如图4－4－25所示．
图4－4－25
求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.
作法：(1)作一条线段BC＝a；
图4－4－26
(2)分别以B，C为圆心，以c，b为半径在BC的同侧画弧，两弧交于A点；
图4－4－27
(3)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－28
　[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是三边分别相等的两个三角形全等
【典型例题】
【类型】一、已知三角形的边和角作三角形
例1　已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.
图4－4－29
[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C，再利用两角夹边作图．
解： 如图4－4－30所示：(1) ( http: / / www.21cnjy.com )作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC＝a；(3)分别以B，C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射线BM，CN交于点A.△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－30
[归纳总结] (1)做此类题时，不妨先画个草图，再对草图进行分析，以确定作图的思路与顺序；
(2)已知两边和夹角可以作出三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )与全等判定方法的“SAS”对应；已知两角及夹边可以作出三角形，与全等判定方法的“ASA”对应；已知三边，可以作出三角形，与全等判定方法的“SSS”对应．
【类型】二、用尺规作较复杂的几何图形
例2　已知两边和第三边上的中线，求作三角形．
解： 已知△ABC中的AB，AC和BC边上的中线AD(如图①所示)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.
作法：如图②，(1)作线段A′B′＝AB；
(2)以A′为圆心，2AD为半径画弧，以B′为圆心，以AC为半径画弧，交前弧于点E′；
(3)作线段A′E′的中点D′；
(4)连接B′D′并延长到C′，使D′C′＝B′D′；
(5)连接A′C′.
△A′B′C′就是所求作的三角形．
　　　
　　　①　　　　　　　　　　　　　②
图4－4－31
[归纳总结] 较复杂的几何作图题，通过分 ( http: / / www.21cnjy.com )析，通常可以分解为简单的作图来进行．所谓“分析”，就是假定所求作的图形已作出，然后根据条件，确定可以先作出的基本图形，再进一步作出所求作的图形，但每一个作图步骤必须正确，有根据．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)