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第七讲 用尺规作三角形
一、单选题
1．已知△ABC内部有一点P，且点P到边AB、AC、BC的距离都相等，则这个点是（ ）．
A．三条角平分线的交点 B．三边高线的交点
C．三边中线的交点 D．三边中垂线的交点
2．已知：线段AB
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作法：（1）分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
（2）作直线CD．
直线CD就是线段AB的（ ）．
A．中线 B．高线 C．中垂线 D．不确定
3．数学活动课上，老师在黑板上画直线 ( http: / / www.21cnjy.com )平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画( )个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知：∠AOB
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作法：（1）作射线O'A'.
（2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．
（3）以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O’A'于C'．
（4）以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．
（5）经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．
这个作图是（ ）
A．平分已知角B．作一个角等于已知角C．作一个三角形等于已知三角形 D．作一个角的平分线
5．已知：∠AOB（图3-43）．
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作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．
(2)分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
(3)作射线OC．
OC就是所求的射线．
这个作图是（ ）
A．平分已知角B．作一个角等于已知角 C．作一个三角形等于已知三角形 D．作一个角的平分线
6．已知：直线AB和AB上一点C（图3－44）．
作法：作平角ACB的平分线CF．
CF就是所求的垂线．
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这个作图是（ ）
A．平分已知角 B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线
7．已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．
由⑴、⑵可得：线段EF与线段BD的关系为( )
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A．相等 B．垂直 C．垂直且相等 D．互相垂直平分
8．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．已知点A(4,2)，B(-2,2),则直线AB ( )
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．经过原点 D．以上都有可能
10．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
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A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
11．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB ( http: / / www.21cnjy.com )于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：21·cn·jy·com
甲：作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
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A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
12．如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有( )21cnjy.com
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A．∠ADC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余
13．尺规作图是指( )
A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具
14．如图，已知△ABC，C＝90°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）：
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①作B的平分线，与AC相交于点D；
②在AB边上取一点E，使BE＝BC；
③连结ED.
根据所作图形，可以得到：( )
A．AD=BD B．A=CBD C．△EBD≌△CBD D．AD=BC
15．已知：直线AB和AB外一点C．
作法：(1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
(2)以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
(3)分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F．
(4)作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
这个作图是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．平分已知角 B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线
16．（题文）如图所示,小红在作线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( )www.21-cn-jy.com
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A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
二、填空题
17．垂直于一条线段并且平分这条线段的 ________，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．
18．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________． 2·1·c·n·j·y
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19．已知：，求作的平分线；如图所示，填写作法：
①_________________________________________________________________.21教育网
② _________________________________________________________________.【来源：21·世纪·教育·网】
③ _________________________________________________________________.www-2-1-cnjy-com
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20．如图，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整．
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作法：（1）连结BC
（2）分别以A、C为圆心，（_________）为半径画弧在AC的另一侧交于点D．
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（3）连结AD、CD、BC
则四边形ABCD即为所求作的菱形
三、解答题
21．已知：线段，，求作：，使，．
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22．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，8），点 B（6，8）．
（1）尺规作图：求作一个点 P，使点 P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
①点 P 到 A，B 两点的距离相等；
②点 P 到∠xOy 的两边的距离相等；
（2）在（1）作出点 P 后，直接写出点 P 的坐标 ．
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23．作图题.如图，已知△ABC，求作Δ，使=AB，∠=∠B，=BC．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作在右侧方框内)21·世纪*教育网
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24．求作等腰三角形，使它的底边和底边上的高等于同一条已知线段．
25．如图，l1，l2表示分 ( http: / / www.21cnjy.com )别经过A，B两个学校的两条公路，它们相交于点O，现准备在∠AOB内部建一个图书馆，要求这个图书馆的位置点P满足到A，B两个学校的距离相等，而且点P到两条公路l1，l2的距离也相等，请用尺规作图作出点P．(不写作法，保留作图痕迹)2-1-c-n-j-y
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第七讲 用尺规作三角形
一、单选题
1．已知△ABC内部有一点P，且点P到边AB、AC、BC的距离都相等，则这个点是（ ）．
A．三条角平分线的交点 B．三边高线的交点
C．三边中线的交点 D．三边中垂线的交点
【答案】A
【详解】
根据角平行线的性质，即：角平分线上的点，到角的两边的距离相等，这个点是三边角平分线的交点，
故选A．
2．已知：线段AB
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作法：（1）分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
（2）作直线CD．
直线CD就是线段AB的（ ）．
A．中线 B．高线 C．中垂线 D．不确定
【答案】C
【解析】
本作图属于作图中的基本作图，作一条已知线段的垂直平分线，故选C．
故选C ．
3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于 ( http: / / www.21cnjy.com )射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画( )个．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
作图有以下几种情况：
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选C ．
点睛：本题主要考查了作图—基本作图，且考察了对等腰直角三角形的理解，问题中容易忽视的是射线AN，而不是直线AN．21世纪教育网版权所有
4．已知：∠AOB
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作法：（1）作射线O'A'.
（2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．
（3）以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O’A'于C'．
（4）以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．
（5）经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．
这个作图是（ ）
A．平分已知角B．作一个角等于已知角C．作一个三角形等于已知三角形 D．作一个角的平分线
【答案】B
【解析】
这个作图题属于基本作图中的作一个角等于已知角．
故选B ．
5．已知：∠AOB（图3-43）．
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作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．
(2)分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
(3)作射线OC．
OC就是所求的射线．
这个作图是（ ）
A．平分已知角B．作一个角等于已知角 C．作一个三角形等于已知三角形 D．作一个角的平分线
【答案】D
【详解】
这个作图题属于基本作图中画角的角平分线．
故选D．
6．已知：直线AB和AB上一点C（图3－44）．
作法：作平角ACB的平分线CF．
CF就是所求的垂线．
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这个作图是（ ）
A．平分已知角 B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线
【答案】C
【解析】
这个作图题属于基本作图中的过直线上一点作此直线的垂线．
故选C．
点睛：本题主要考查了作图—基本作图中的过直线上一点作此直线的垂线，问题简单易解．
7．已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．
由⑴、⑵可得：线段EF与线段BD的关系为( )
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．相等 B．垂直 C．垂直且相等 D．互相垂直平分
【答案】D
【解析】
∵E F是BD的垂直平分线
∴EB=ED，FB=FD
易证BE=BF
∴EB=ED=FB=FD
∴四边形EBFD是菱形
∴EF与BD互相垂直平分
故选D．
8．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．21·世纪*教育网
故选B．
考点：作图—复杂作图
9．已知点A(4,2)，B(-2,2),则直线AB ( )
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．经过原点 D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
A(4,2)，B(-2,2)
∴点A到x轴的距离为2，点B到x轴的距离为2
且A、B都在x轴上方
∴AB平行于x轴,故选A.
点睛：此题是研究平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，两个点所连线段与坐标轴的位置关系，需要对点到直线的距离有着明确地理解，而且此题属于较简单的判断线与坐标轴位置关系的一类问题．www-2-1-cnjy-com
10．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
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A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的判定与性质即可得出答案．
【详解】
解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选D．
【点睛】
本题考查的是三角形全等，属于基础题型，需要熟练掌握三角形全等的判定与性质．
11．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于 ( http: / / www.21cnjy.com )P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：2·1·c·n·j·y
甲：作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
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A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】D
【解析】
【详解】
试题解析：
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甲错误、乙正确，
理由是：∵CP是线段AB的垂直平分线，
∴BC=AC，∠APC=∠BPC=90°，
∵AC=2CP，
∴∠A=30°，
∴∠ACP=60°，
∵CD平分∠ACP，
∴∠ACD=∠ACP=30°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=DC，
同理CE=BE，
即D、E为所求；
∵D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
同理CE=BE，
即D、E为所求，
故选D．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形.
12．如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有( )21·cn·jy·com
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A．∠ADC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余
【答案】B
【解析】
如图，依题意得AD=BC、CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，∴B正确．2-1-c-n-j-y
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13．尺规作图是指( )
A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具
【答案】C
【解析】
试题分析：根据尺规作图的定义作答．
解：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
故选C．
点评：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
14．如图，已知△ABC，C＝90°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）：
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①作B的平分线，与AC相交于点D；
②在AB边上取一点E，使BE＝BC；
③连结ED.
根据所作图形，可以得到：( )
A．AD=BD B．A=CBD C．△EBD≌△CBD D．AD=BC
【答案】C
【解析】
本题作完之后的图形为：
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根据作图，有EBD=CBD，BC=BE，又BD=BD
∴△EBD≌△CBD
故选C
15．已知：直线AB和AB外一点C．
作法：(1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
(2)以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
(3)分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F．
(4)作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
这个作图是（ ）
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A．平分已知角 B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线
【答案】D
【解析】
这是一道作图题中的基本作图，过直线外一点作已知直线的垂线，故选D.
16．（题文）如图所示,小红在作线段AB的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度的一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( )21*cnjy*com
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A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】B
【解析】
试题解析：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选B．
二、填空题
17．垂直于一条线段并且平分这条线段的 ________，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．
【答案】直线
【解析】
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线，故答案为;直线.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________． 【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】
【详解】
由折叠得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°
∵∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=10
∴AC′=AB－BC′=10－6=4
设DC=x
则DC′=DC=x，则AD=AC－DC=8－x
在Rt△A C′D中，（C′D）2＋（AC′）2= （AD）2
∴x 2＋42= （8－x）2
∴x=3
∴DC=3
∴BD=，
故答案为.
19．已知：，求作的平分线；如图所示，填写作法：
①_________________________________________________________________.【出处：21教育名师】
② _________________________________________________________________.【版权所有：21教育】
③ _________________________________________________________________.21教育名师原创作品
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【答案】以O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N； 分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C； 作射线OC．则射线OC即为所求．
【详解】
（1）以O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
（3）作射线OC，则射线OC即为所求．
点睛：本题考查了角平分线这一基本作图，是利用了三角形全等的SSS判定方法进行作图的.
20．如图，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整．
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作法：（1）连结BC
（2）分别以A、C为圆心，（_________）为半径画弧在AC的另一侧交于点D．
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（3）连结AD、CD、BC
则四边形ABCD即为所求作的菱形
【答案】AB的长
【解析】
分别以A、C为圆心，AB的长为半径作弧在AC的另一侧交于点D．故答案为AB的长.
三、解答题
21．已知：线段，，求作：，使，．
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【答案】答案见解析
【解析】
试题分析：首先作进而以B为圆心的长为半径画弧，再以为圆心为半径画弧即可得出的位置．
试题解析：如图所示：△ABC即为所求.
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22．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，8），点 B（6，8）．
（1）尺规作图：求作一个点 P，使点 P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
①点 P 到 A，B 两点的距离相等；
②点 P 到∠xOy 的两边的距离相等；
（2）在（1）作出点 P 后，直接写出点 P 的坐标 ．
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【答案】（1）见解析； （2）（3，3）
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线线和∠xOy的角平分线，两线的交点即为点P．
（2）根据（1）中所作的图，点P应同时满足和，直接写出点 P 的坐标即可．
【详解】
（1）如图所示，点P即为所求．
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（2）∵点 A（0，8），点 B（6，8），点P在线段AB的垂直平分线上
∴点P在直线上
∵点P在∠xOy的角平分线上
∴点P在直线上
联立得
解得
∴点P的坐标（3，3）
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系作图的问题，掌握垂直平分线和角平分线的性质是解题的关键．
23．作图题.如图，已知△ABC，求作Δ，使=AB，∠=∠B，=BC．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作在右侧方框内)21教育网
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【答案】见解析
【分析】
先做，再在角的两边上截取，即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，Δ即为所求.
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【点睛】
本题考查的是尺规作图，需要熟练掌握尺规画相等的角和相等的线段.
24．求作等腰三角形，使它的底边和底边上的高等于同一条已知线段．
【答案】作图见解析
【分析】
先作底边，再作高；求作的是一个等腰三角形,则底边上的高在这条底的中垂线上，需要作底边的中垂线.
【详解】
解：
已知：线段a
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，BC上的高AD=a
作法：（1）作线段BC=a
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于D
（3）在MN上截取DA=a
（4）连结AB、AC
∴△ABC为所求
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【点睛】
本题主要考查了根据等腰三角形“三线合一”的性质和线段的垂直平分线的作法.
25．如图，l1，l2表示分 ( http: / / www.21cnjy.com )别经过A，B两个学校的两条公路，它们相交于点O，现准备在∠AOB内部建一个图书馆，要求这个图书馆的位置点P满足到A，B两个学校的距离相等，而且点P到两条公路l1，l2的距离也相等，请用尺规作图作出点P．(不写作法，保留作图痕迹)21cnjy.com
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【答案】答案见解析．
【分析】
满足到A，B两个学校的距离相等，则在线段的中垂线上，点P到两条公路l1，l2的距离相等，点在的角平分线上，即是两线的交点，从而可得答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
如图所示，分别作的中垂线， 的角平分线，
记交点为，则点P即为所求．
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【点睛】
本题考查尺规作图中的两个基本作图，作线段的中垂线，作角的角平分线是解题的关键．
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