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第八讲 利用三角形全等测距离
一、单选题
1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角； D．不能确定
【答案】C
【解析】
根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C.21·cn·jy·com
2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ）
A．作一条线段等于已知线段
B．作一个角等于已知角
C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角
D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
【答案】D
【解析】
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，可以先A法，也可以先B法，但是都不全面，因为这两种方法都可以，故选D．21cnjy.com
3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（ ）
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三边
C．三角形的两个角和它们的夹边
D．三角形的三个角
【答案】A
【解析】由已知条件可判定已知条件为两边和它们的夹角作三角形．
故选：A.
4．已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作一个角使它等于已知角的一半
C．在射线上取一线段等于已知线段 D．作一条直线的平行线或垂线
【答案】C
【解析】
已知三边作三角形时，用到的三角形的判定方法是SSS定理，而第一条边的作法，需要在射线上截取一条线段等于已知的线段．故C．21世纪教育网版权所有
点睛：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的三边作图，用的是SSS判定定理．
5．为了测量河两岸相对点A、B的距离， ( http: / / www.21cnjy.com )小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）21·世纪*教育网
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A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】
因为证明在△ABC≌△EDC用 ( http: / / www.21cnjy.com )到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．21*cnjy*com
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法， ( http: / / www.21cnjy.com )判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21*cnjy*com
6．如图，小明设计了一种测零件内 ( http: / / www.21cnjy.com )径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中， 要使DC=AB，则AO、BO、CO、DO应满足下列的条件是（ ）
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A．AO=CO B．AO=CO且BO=DO C．AC=BD D．BO=DO
【答案】B
【解析】
如图，连接CD.
AO=CO且BO=DO，（对顶角相等） ，所以 ,则 DC=AB .故选B.
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7．山脚下有A、B两点，要测出A、B两点 ( http: / / www.21cnjy.com )间的距离．在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE；可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长；判定△ABC≌△DEC的理由是 ( )
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A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】C
【解析】
因为CD=CA, CE=CB， ，所以△ABC≌△DEC（SAS）
故选C.
8．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）【版权所有：21教育】
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A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】D
【分析】
利用全等三角形的判定定理可得以证明.
【详解】
由题意可得：
∴△ACB ≌△DCB（SAS）
∴AB = DB
故选D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短；
B．过一点有一条直线平行于已知直线；
C．有两组边与一组角对应相等的两个三角形全等；
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【解析】
A应为“两点之间，线段最短”；B应为“过直线外一点有且只有一点平行于已知直线”；C应为“有两组边与夹角对应相等的两个三角形全等”，故选D．
10．如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个
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A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】
根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，据此进行作图即可得到答案．
【详解】
解：根据题意可以作出的三角形如下图所示：
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△BAE ≌△ABC △DCB ≌△ABC △CFA ≌△ABC
△ABG ≌△ABC △IBC ≌△ABC △AHC ≌△ABC
故选C．
【点睛】
此题结合了三角形全等的判定作图，是一道较 ( http: / / www.21cnjy.com )难的数学综合性操作题，需要认真研究才能得出正确答案，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等．【来源：21·世纪·教育·网】
11．如图，在△AFD和△BEC中，AD∥BC，AE = FC，AD=BC，点A、E、F、C在同一直线上，其中错误的是（ ）21教育名师原创作品
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A．FD∥BE B．∠B = ∠D C．AD = CE D．∠BEA = ∠DFC
【答案】C
【解析】
∵AE = FC
∴AE+EF =EF+ FC
∴AF =E C
∵AD∥BC
∴∠A=∠C
又∵AD=BC
∴△ADF ≌△CBE
∴∠B = ∠D
∠BEC = ∠DFA
∴FD∥BE
∠BEA = ∠DFC
故选C．
点睛：此题对于全等三角形的判定与性质进行了综合性考察，较难，既要细心认真才能辨别正确．
12．如果两个三角形全等，那么下列结论正确的是（ ）
A．这两个三角形是直角三角形 B．这两个三角形都是锐角三角形
C．这两个三角形的面积相等 D．这两个三角形是钝角三角形
【答案】C
【解析】
A、B、D是可能的，但不是确定的；只有C是确定的；故选C．
13．在下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，BC= EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC= DE
C．∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠D D．AB=DE，BC= EF，△ABC的周长等于△DEF的周长
【答案】D
【解析】
A中不是夹角相等；B中不是夹边相等；C中没有至少一条边；故选D．
14．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ）
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2
【答案】A
【解析】
由折叠知△BDC ≌△BDC
∴∠C′BD=∠CBD=22.5°
∠C′=∠C=90°
∴∠C′BC=45°
又∵∠ABC=90°
∴∠ABE=45°
易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°．
综上所述共有5个角为45°，故选A．
点睛：此题根据翻折得到全 ( http: / / www.21cnjy.com )等，进而角相等，利用角的和差求出各个角的度数，所用到的知识点比较多，包括矩形的性质，三角形全等的判定，角的计算，三角形的内角和等，是一道不错的综合性质题目．
15．对于下列命题：（1）关于 ( http: / / www.21cnjy.com )某一直线成轴对称的两个三角形全等；（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；（3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；（4）如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
试题分析：根据平面图形的基本概念依次分析各小题即可作出判断.
（1）关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，（3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点，均为真命题；
（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，（4）如果两个三角形全等，它们可能是平移或旋转构成的，均为假命题；
故选C.
考点：平面图形的基本概念
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成．
二、填空题
16．在证明两个三角形全等时，最容易忽视的是_____和_____．
【答案】公共边 对顶角
【解析】
在进行三角形全等时，常常忽视公共边和对顶角这两个隐含的条件．故答案为(1). 公共边 (2). 对顶角
17．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是_________度.
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【答案】135°
【分析】
看图得△DEB为等腰直角三角形的三角板，得∠EDB的度数，由∠ADB为平角，进而求出∠ADE的度数.
【详解】
∵∠EDB=45°，∠ADB=180°，∴∠ADE=135°.
【点睛】
本题考察三角板的类型判断和角度计算，解题的关键为正确判断三角板的类型和知道三角板各个角的度数.
18．如图，△AOD关于直线进行轴对称变换后得到△BOC，那么对于（1）∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO （2）直线垂直平分AB、CD（3）△AOD和△BOC均是等腰三角形（4）AD=BC，OD=OC中不正确的是_____．
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【答案】（3）
【解析】
由对称变换可得：
△AOD≌△BOC
∴∠DAO=∠CBO
∠ADO=∠BCO
AO=BO DO=CO
∴直线垂直平分AB、CD
（3）不正确
19．如图有一张直角三角形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )，两直角边AC=5cm，BC=10cm，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为_____．www.21-cn-jy.com
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【答案】15cm
【解析】
∵把△ABC折叠，使点B与点A重合
∴DA=DB
∵AC=5cm，BC=10cm
∴△ACD的周长为
AC+CD+ DA = AC+CD+ DB=AC+CB=5cm+10 cm=15 cm
答：△ACD的周长为15 cm,故答案为15cm.
20．如图已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm. 则AE的长是_____．
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【答案】2cm
【解析】
∵AB⊥CD △BCE是等腰三角形
∴BC= BE=3 cm.
∵CD=8cm
∴BD= BC－CB=8cm－3 cm=5 cm
∵△ABD是等腰三角形
∴AB=BD=5 cm
∴AE=AB－BE=5 cm－3 cm=2 cm
点睛：本题充分利用等腰三角形的性质和线段的和差进行解决问题，步骤虽多，但内容较简单．
三、解答题
21．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】见解析
【解析】
分析：根据题中垂直可得到一组 ( http: / / www.21cnjy.com )角相等，再根据对顶角相等，已知一组边相等，得到三角形全等的三个条件，于是根据ASA可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．【出处：21教育名师】
本题解析：
在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，
这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示：
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∵AB⊥BF ED⊥BF
∴∠ABC=∠EDC=90°
又∵CD=BC
∠ACB=∠ECD
∴△ACB≌△ECD，
∴AB=DE．
点睛：本题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定两个三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS.
22．为在池塘两侧的A，B两处架桥 ( http: / / www.21cnjy.com )，要想测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使BP=CP．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；
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【答案】35 m
【解析】
分析：根据题中条件可以直接得 ( http: / / www.21cnjy.com )到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．
本题解析：
∵PA=PD PC=PB
又∠APB=∠CPD
∴△APB≌△DPC，
∴AB=CD=35 m．
23．如图所示，小王想测量 ( http: / / www.21cnjy.com )小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
分析：根据线段中点的性质，得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等．
本题解析：
∵AA′，BB′的中点为O
∴OA＝OA′，OB＝OB′
又∠AOB＝∠A′OB′
∴△A′OB′≌△AOB，
∴AB=A′B′．
24．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．
（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）
（2）说明你的结论的正确性．
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【答案】（1）AE=CF（答案不唯一）；（2）证明见解析
【详解】
分析：首先根据矩形的性质得到边相等与角相等，再根据等量减等量差相等，得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等．2·1·c·n·j·y
本题解析：
(1) AE=CF
(2)因为四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠DCF=∠BAF，
又∵AE=CF，
∴AC-AE=AC-CF，
∴AF=CE，
∴△DEC≌△BFA
25．在一次战役中，我军阵地 ( http: / / www.21cnjy.com )与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？www-2-1-cnjy-com
一位战士的测量方法是：面向碉堡的方向站好， ( http: / / www.21cnjy.com )然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．这是为什么呢？ 2-1-c-n-j-y
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【答案】见解析
【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法，得到一些相应线段或角相等，在现实生活中有许多应用的实例．
本题解析：
在本题中，根据题意可以知道，满足了三个条件：
（1）身体高度一定，（2）帽檐处的角度一定，（3）脚下的直角一定，
故根据ASA判定方法，可以得到两个三角形全全等，
∴距离相等．
理由是：在△AHB与中，
∴
点睛：本题主要考查作图—应用与设计作图，根据题意画出示意图，并熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.21教育网
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一、单选题
1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角； D．不能确定
2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ）
A．作一条线段等于已知线段
B．作一个角等于已知角
C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角
D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（ ）
A．三角形的两条边和它们的夹角
B．三角形的三边
C．三角形的两个角和它们的夹边
D．三角形的三个角
4．已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作一个角使它等于已知角的一半
C．在射线上取一线段等于已知线段 D．作一条直线的平行线或垂线
5．为了测量河两岸相对点A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
6．如图，小明设计了一种测 ( http: / / www.21cnjy.com )零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中， 要使DC=AB，则AO、BO、CO、DO应满足下列的条件是（ ）21教育网
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A．AO=CO B．AO=CO且BO=DO C．AC=BD D．BO=DO
7．山脚下有A、B两点，要测出A、B ( http: / / www.21cnjy.com )两点间的距离．在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE；可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长；判定△ABC≌△DEC的理由是 ( ) 21cnjy.com
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A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
8．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）21·cn·jy·com
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A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
9．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短；
B．过一点有一条直线平行于已知直线；
C．有两组边与一组角对应相等的两个三角形全等；
D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
10．如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个
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A．3 B．4 C．6 D．9
11．如图，在△AFD和△BEC中，AD∥BC，AE = FC，AD=BC，点A、E、F、C在同一直线上，其中错误的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．FD∥BE B．∠B = ∠D C．AD = CE D．∠BEA = ∠DFC
12．如果两个三角形全等，那么下列结论正确的是（ ）
A．这两个三角形是直角三角形 B．这两个三角形都是锐角三角形
C．这两个三角形的面积相等 D．这两个三角形是钝角三角形
13．在下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，BC= EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC= DE
C．∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠D D．AB=DE，BC= EF，△ABC的周长等于△DEF的周长
14．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ）
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A．5个 B．4个 C．3个 D．2
15．对于下列命题：（1）关于 ( http: / / www.21cnjy.com )某一直线成轴对称的两个三角形全等；（2）等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；（3）一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；（4）如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为（）2·1·c·n·j·y
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
16．在证明两个三角形全等时，最容易忽视的是_____和_____．
17．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是_________度.
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18．如图，△AOD关于直线进行轴对称变换后得到△BOC，那么对于（1）∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO （2）直线垂直平分AB、CD（3）△AOD和△BOC均是等腰三角形（4）AD=BC，OD=OC中不正确的是_____．
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19．如图有一张直角三角形纸片，两直角 ( http: / / www.21cnjy.com )边AC=5cm，BC=10cm，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为_____．【来源：21·世纪·教育·网】
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20．如图已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm. 则AE的长是_____．
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三、解答题
21．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．21·世纪*教育网
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22．为在池塘两侧的A，B两处架桥 ( http: / / www.21cnjy.com )，要想测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使BP=CP．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；www-2-1-cnjy-com
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23．如图所示，小王想测量小 ( http: / / www.21cnjy.com )口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．21*cnjy*com
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24．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．
（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）
（2）说明你的结论的正确性．
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25．在一次战役中，我军 ( http: / / www.21cnjy.com )阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？2-1-c-n-j-y
一位战士的测量方法是：面向碉 ( http: / / www.21cnjy.com )堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．这是为什么呢？ 【来源：21cnj*y.co*m】
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