人教版（B版2019课标）高中数学必修二第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
指数与指数函数
基础梳理
1. 根式
(1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的________，
其中n＞1，n∈N*.当n是奇数时，正数的n次方
根是一个________，负数的n次方根是一个________，
记作________．当n是偶数时，正数的n次方根
有________，这两个数互为________，
记作________，负数没有________方根，
零的n次方根是零．
负数
　偶次
n次方根
正数
两个
相反数
(2)两个重要公式
①
② (注意：a必须使有意义)
-a
a
|a|
a
a
2. 有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂： ______
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂： ＝________＝________.
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于______，
0的负分数指数幂___________．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝________(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝________(a＞0，b＞0，r∈Q)．
没有意义
0
arbr
ar+s　
ars
3. 指数函数的定义
一般地，函数y=ax(a＞0，且a 1)叫做指数函数，
其中x是自变量．
4. 指数函数的图象与性质
y=ax a>1 0图象
定义域
值域
过定点
性 质 当x>0时，____；当x<0时， ____ 当x>0时，______；
当x<0时，______
在(-∞，+∞)上是______ 在(-∞，+∞)上是______
R
R
(0，+∞)
(0，+∞)
(0,1)
(0,1)
y>1
00y>1
增函数
减函数
(教材改编题)化简 (x＜0，y＜0)得
(　　)
A. 3x2y B. 3xy C. 9x2y D. -3x2y
基础达标
D　解析：
2. 若函数y=(a2-3a+3)×ax是指数函数，则有
(　　)
A. a=1或a=2 B. a=1
C. a=2 D. a>0且a≠1
C　解析：
由y=(a2-3a+3)×ax为指数函数，
可得 即a=2.
3. 设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，
则下列等式不正确的是(　　)
A. f(x+y)=f(x)×f(y) B. f((xy)n)=fn(x)×fn(y)
C. f(x-y)= D. f(nx)=f n(x)
B　解析：
对于A，f(x+y)=ax+y=ax×ay=f(x)×f(y)，所以A正确；
对于B，f((xy)n)=a(xy)n (ax)n(ay)n=fn(x)×fn(y)，
所以B不正确；
对于C，f(x-y)=ax-y= ，所以C正确；
对于D，f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n=fn(x)，所以D正确．
4. 已知集合M={-1,1}，N= ，
则M∩N=________.
{-1} 　解析：
<2x+1<4　即为2－1<2x+1<22，因为y=2x在R上
是增函数，所以－1所以x=－1，0，
所以N={－1,0}，因此M∩N={－1}．
5. (教材改编题)函数 的定义域为
________，值域为________．
{x|x≠0}　{y|y＞0且y≠1}　
解析：
定义域为{x|x≠0}，∵　　　 ∴ 　　　　　　
∴值域为{y|y＞0且y ≠ 1}．
【例1】　化简或计算．
(1)
(2)已知a，b是方程x2-6x+4=0的两根，且a>b>0，
求 的值．
经典例题
题型一　指数运算性质的应用
分析：
有理指数幂的运算应注意“化小数为分数”、“化根式为分数指数幂”的原则．
(2)由条件知a+b=6，ab=4，又a>b>0，所以
【例2】　已知函数
(1)作出函数的图象；
(2)指出该函数的单调递增区间；
(3)求函数的值域．
题型二　指数函数的图象的应用
分析：本题要考虑去绝对值符号，把函数解
析式写成分段函数的形式，再作出图象，然
后根据图象寻求其单调递增区间和值域．
解：(1)由函数解析式可得
其图象分成两部分：一部分是
的图象，由下列变换可得到：
另一部分y=2x+2(x<－2)的图象，
由下列变换可得到：
左移２个单位
左移２个单位
函数　　　　的图象如图
(2)由图象观察知函数在(-∞，-2]上是增函数．
(3)由图象观察知，x=－2时，函数　　　　　
有最大值，最大值为1，没有最小值，
故其值域为(0,1]．
　若函数y=ax+b-1(a＞0，且a≠1)的图象经过
第二、三、四象限，则一定有(　　)
A. 0＜a＜1，且b＞0　　 B. a＞1，且b＞0
C. 0＜a＜1，且b＜0 D. a＞1，且b＜0
变式2-1
如图，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上
(纵截距小于零)，即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，
∴0＜a＜1，且b＜0.故选C.
C　解析：
【例3】　求下列函数的定义域和值域．
(1) （2）
.
题型三　指数函数性质的应用
分析：指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，所以y=af(x)的定义域与f(x)定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则．
解：(1)因为2x+1>0恒成立，所以定义域为R.
又因为　　　　　　　，而
所以　　　　　，解得0.
(2)令-x2-3x+4≥0，解得-4≤x≤1，所以函数
的定义域为[-4,1]．设　　　　　(-4≤x≤1)，
易得u在 时取最大值　　　
在x=-4或1时取最小值0，即0≤u≤　　
所以函数y=2u的值域为
即函数 的值域为
　下列函数中值域为正实数集的是(　　)
A. B.
C. D.
变式3-1
A　解析：
A中 的值域为正实数集，而1-x∈R，
∴ 的值域为正实数集；
B中，当x=0时，2x-1=0；
C中，y取不到1；D中，函数值域为[0,1)．
【例4】　已知定义在R上的奇函数f(x)有最小
正周期2，且当x∈(0,1)时，
求f(x)在[-1,1]上的解析式．
题型四　指数函数性质的综合应用
分析：
求f(x)在[-1,1]上的解析式，可以先求f(x)在(-1，0)上
的解析式．
解：当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1)．∵f(x)是奇函数，
∴
由f(0)=－f(0)，且f(1)=f(－2+1)=f(－1)=－f(1)，
得f(0)=f(1)=f(－1)=0.　∴在区间[-1,1]上，有
易错警示
【例】设a>0且a≠1，如果函数f(x)=a2x+2ax－1
在[－1，1]上的最大值为14，求a的值．
错解
　当x=1时，f(x)有最大值，即a2+2a－1=14，
∴a2+2a－15=0，∴a=3(a=－5舍去)．
错解分析　
错解中：(1)忽略了字母参数a>1与0同情况，默认f(x)在[－1,1]上单调递增；
(2)对于f(x)=a2x+2ax－1=(ax+1)2－2，没有从ax本身
的范围与f(x)单调性之间关系去考虑问题．
y=(ax+1)2－2，x∈[－1,1]．
(1)当a>1时，ax∈　　，令t=ax，
　　
　　则y=(t+1)2-2，t∈　　，
易知y=(t+1)2－2在　　上单调递增．
∴当t=a，即ax=a时，ymax=(a+1)2－2=14，
∴a=3(a=－5舍去)．
(2)当0同(1)得当t＝ ，
即ax＝ 时，ymax＝ －2＝14，
解得a＝ .
综上所述，a＝ 或a＝3.