4.1.2指数函数的性质与图像 课件（共104张PPT）

(共104张PPT)
指数函数的性质与图像
第1课时　指数函数的性质与图像
1.指数函数
函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
【思考】
(1)为什么指数函数的底数a>0，且a≠1？
提示：①如果a=0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.
②如果a<0，例如f(x)=(-4)x，这时对于x= ， ，…，
该函数无意义.
③如果a=1，则y=1x是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
2.指数函数的图像和性质
01
图　像
定义域 实数集R
01
值　域 (0，+∞)
性　质 过定点(0，1)____
是减函数 是增函数
【思考】
(1)对于指数函数y=2x，y=3x，y= ，y= …，为什么一定过点(0，1)？
提示：当x=0时，=1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0，1).
(2)对于指数函数y=ax(a>0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？
底数 x的范围 y的范围
a>1 x>0 ？
x<0 ？
00 ？
x<0 ？
提示：
底数 x的范围 y的范围
a>1 x>0 y>1
x<0 000 0x<0 y>1
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y=是指数函数. (　　)
(2)指数函数的图像都在x轴的上方. (　　)
(3)若指数函数y=ax是减函数，则0提示：(1)×.y=不是指数函数，指数函数的底数是常数.
(2)√.由指数函数的图像可知正确.
(3)√.由指数函数的单调性可知正确.
2.若0A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
【解析】选A.当03.若函数f(x)是指数函数，且f(2)=2，则f(x)=
________.
【解析】由题意，设f(x)=ax(a>0且a≠1)，则由
f(2)=a2=2，得a= ，所以f(x)=( )x.
答案：( )x
类型一　指数函数的概念
【典例】1.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值为________.
2.指数函数y=f(x)的图像经过点(π，e)，则f(-π)
=________.
【思维·引】1.根据指数函数的解析式的特征列方程求解.
2.设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(-π).
【解析】1.由题意得a2-3a+3=1，即(a-2)(a-1)=0，解得a=2或a=1(舍).
答案：2
2.设指数函数为y=ax(a>0且a≠1)，则e=aπ，所以
f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1= .
答案：
【内化·悟】
怎样设指数函数的解析式？
提示：设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1).
【类题·通】
1.判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a>0，且a≠1；
②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y= 是
指数函数.
2.求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式f(x)=ax(a>0且a≠1).
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式.
【习练·破】
1.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，则f(1)=(　　)
A.8 B. C.4 D.2
【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，
所以2a-3=1，解得a=2，所以f(x)=2x，所以f(1)=2.
2.指数函数y=f(x)的图像经过点 ，那么f(4)·
f(2)=________.
【解析】设指数函数的解析式为y=ax(a>0且a≠1)，
因为函数的图像经过点 ，所以 =a-2，所以a=2，所以指数函数的解析式为y=2x，
所以f(4)·f(2)=24×22=26=64.
答案：64
【加练·固】
若指数函数y=f(x)的图像经过点 ，则f
=________.
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1)，因为f(x)过点 ，
所以 =a-2，所以a=4，
所以f(x)=4x，
所以
答案：
类型二　指数函数性质的简单应用
角度　比较大小
【典例】1.(2019·聊城高一检测)已知a=1.50.5，
b=0.51.5，c=0.50.5，则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
2.使不等式92x-1< 成立的x的集合是(　　)
【思维·引】1.同底数的利用单调性比较，不同底的与1比较.
2.化同底后利用单调性解不等式.
【解析】1.选B.a=1.50.5>1，0<0.51.5<0.50.5<1，所以a>c>b.
2.选A.不等式即34x-2< ，可得4x-2< ，
解得x< .
【素养·探】
在解与指数相关的不等式时，常常利用核心素养中的逻辑推理，通过对底数单调性的分类讨论来解不等式.
将典例2的不等式底数都改为a(a>0，且a≠1)，
即a2x-1< ，试解此不等式.
【解析】当a>1时，指数函数y=ax是增函数，
由2x-1< ，解得x< .
当0 ，解得
x> .
【类题·通】
利用单调性比较大小
(1)底数相同的直接利用单调性.
(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较.
(3)底数不同指数相同的借助图像间的关系比较.
【习练·破】
1.(2019·厦门高一检测)已知a=0.40.3，b=0.30.4，
c=0.3-0.2，则(　　)
A.bC.c【解析】选A.因为1>a=0.40.3>0.30.3>b=0.30.4，c=
0.3-0.2>1，所以b2.(2019·凯里高一检测)已知a=0.52.1，b=20.5，
c=0.22.1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aa>c
C.ba>b
【解析】选B.a=0.52.1∈(0，1)，b=20.5>1，c=0.22.1，
0.52.1>0.22.1，所以a>c，所以b>a>c.
【加练·固】
已知 则a，b，c的大小关系是
(　　)
A.cC.b【解析】选D.对于指数函数y=ax，若x<0，
则当01；当a>1时，有0所以0<
又因为函数y= 在R上是减函数，
且 ，所以 .
综上知， ，即c类型三　与指数函数有关的定义域、值域
【典例】1.函数y= 的定义域是________.
2.函数y=3-x(-2≤x≤1)的值域是 (　　)
A.[3，9] B.
C. 　 D.
3.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则实数a的值为________.
【思维·引】1.根据被开方数大于等于0求定义域.
2.先确定函数的单调性，再求最值.
3.分情况表示出最大值、最小值，列方程求a的值.
【解析】1.因为函数有意义的充要条件是x2-x-6≥0，
即x≤-2或x≥3，
所以所求的定义域为(－∞，－2]∪[3，+∞).
答案： (－∞，－2]∪[3，+∞).
2.选B.函数y=3-x= 在[-2，1]递减，
故=3-(-2)=9，=3-1=
3.当a>1时，y=ax在[-1，1]上单调递增，
所以当x=-1时，y取到最小值a-1，
当x=1时，y取到最大值a，
所以a-a-1=1，解得a= ；
当0所以当x=-1时，y取到最大值a-1，
当x=1时，y取到最小值a，所以a-1-a=1，解得a= .
答案：
【内化·悟】
求值域主要应用了指数函数的哪个性质？
提示：主要应用了指数函数的单调性.
【类题·通】
1.与指数函数相关的定义域问题
(1)函数y=af(x)的定义域与函数f（x）的定义域相同.
(2)涉及不等关系求定义域时，先化同底，再利用图像、单调性求范围.
2.关于指数函数值域的求法
当指数函数的单调性可以确定时，分别求出其最大值、最小值得到函数的值域，若函数的单调性不确定时，则分情况讨论单调性，分别求出其最值，从而确定值域.
【习练·破】
(2019·通州高一检测)函数y= 的定义域为
________.
【解析】依题意得，2x-8≥0，
所以2x≥8=23，又y=2x为增函数，所以x≥3.
所以函数y= 的定义域为{x|x≥3}.
答案：[3，+∞)
【加练·固】
函数y= 的定义域为________.
【解析】因为函数有意义的充要条件是1- ≥0，则
≤1，即x≥0，
所以函数的定义域为[0，+∞).
第2课时　
指数函数的性质与图像的应用
类型一　指数函数的图像及应用
【典例】1.(2019·重庆高一检测)函数y= 的大致
图像是(　　)
2.函数f(x)=ax-2018+2019(a>0且a≠1)所过的定点坐标为________.
【思维·引】1.去掉解析式中的绝对值号，分情况作图.
2.令x-2018=0，求出x，再求f(x).
【解析】1.选C.函数y=
因为y=2-|x|是偶函数，所以图像关于y轴对称，
所以函数图像在y轴右侧为减函数，0左侧为增函数，02.由题意，根据指数函数的性质，令x-2018=0，
可得x=2018，代入求解f(x)=2020，
所以函数f(x)过的定点坐标为(2018，2020).
答案：(2018，2020)
【内化·悟】
1.怎么样作带绝对值号的函数的图像？
提示：去掉绝对值号，分情况作图.
2.形如y=makx+b+n的函数所过的定点坐标是什么？
提示：令kx+b=0，x= ，y=m+n，
所以函数过定点
【类题·通】
与指数函数相关的图像问题
1.定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可；
2.平移问题：对于横坐标x满足“加左减右”；
3.底数大小：对于 如图
0【习练·破】
指数函数①f(x)=mx，②g(x)=nx满足不等式0【解析】选C.由0【加练·固】
函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图像如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数： 中的一个，则对应的a，b，c，d的值是(　　)　　　
【解析】选C.方法一：从第一象限看指数函数的图像，
逆时针方向底数依次从小变大.
方法二：直线x=1与函数图像的交点的纵坐标从上到下
依次为c，d，a，b，而
类型二　形如y= 的函数的单调性、值域
【典例】求函数y= 的单调递增区间、值域.
【思维·引】1.结合y= 的单调性，求二次函数t=-x2+x+2的减区间.
2.利用换元法求值域.
【解析】令t=-x2+x+2，则y= ，
因为t= ，可得t的减区间为 ，因为函
数y= 在R上是减函数，
所以函数y= 的单调递增区间 ；
又t≤ ，所以
所以函数y= 值域为
【类题·通】
复合函数的单调性、值域
(1)分层：一般分为外层y=at，内层t=f(x).
(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数.
(3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y=at的值域.
【发散·拓】
求函数y=9x-2·3x+3的单调区间，并求出其值域.
【解析】设u=3x，则原函数可分解为u=3x，y=u2-2u+3，
而二次函数y=u2-2u+3单调性的分界点为u=1，
因此当x∈(-∞，0)时，u=3x单调递增，u∈(0，1)，而y=u2-2u+3在(0，1)上单调递减，
所以原函数在(-∞，0)上单调递减；当x∈[0，+∞)时，u=3x单调递增，u∈[1，+∞)，而二次函数y=u2-2u+3在[1，+∞)上单调递增，所以原函数在[0，+∞)上单调递增.
综上可知，原函数在(-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调递增.
函数y=9x-2·3x+3的值域，即y=-2u+3，u∈(0，+∞)的值域，易知值域为[2，+∞).
【延伸·练】
求函数y=22x+1-2x+2-6的单调区间及值域.
【解析】y=22x+1-2x+2-6=2·22x-4·2x-6，
令t=2x(t>0)，则y=2t2-4t-6=2(t－1)2-8，
所以在区间[0，1]上递减，在区间[1， +∞)上递增，
因为函数t=2x是增函数，
所以原函数的增区间是[0，+∞)，减区间是(－∞，0]，
值域是[－8，+∞).
【习练·破】
函数f(x)= 的单调递减区间是________，值域是
________.
【解析】令t=x2-2x=(x-1)2-1，则f(x)= ，利用二次
函数的性质可得函数t的增区间为[1，+∞)，所以函数
f(x)= 的减区间是[1，+∞)；
因为t≥-1，所以
所以函数f(x)= 的值域为
答案：[1，+∞)　
【加练·固】
已知函数y= 的递减区间为________.
【解析】u=x2+2x-3，开口向上，对称轴为x=-1，x∈
(-∞，-1)时函数是减函数；
y=2u，是增函数，由复合函数的单调性可知函数
y= 的递减区间为(-∞，-1).
答案：(-∞，-1)
类型三　指数函数性质的综合应用
角度1　分段函数的单调性
【典例】已知若函数f(x)= 对任意
x1≠x2，都有 >0成立，则实数a的取值范围
是(　　)
(4，8)　 B. [4，8)　
C. (1，+∞)　 D. (1，8)
【思维·引】根据函数的单调性，分别从每一段、分界点处函数值的关系列出不等式求范围.
【解析】选B.因为分段函数为增函数，
所以需满足 解得4≤a<8.
【素养·探】
在由分段函数的单调性求参数范围的过程中，常常用到
核心素养中的逻辑推理，根据函数的单调性列出参数满
足的不等式组求出范围.
若将本例中的函数改为f(x)= 其他条
件不变，试求a的范围.
【解析】因为函数f(x)满足对任意x1f(x1)所以函数f(x)在定义域上是增函数，
则满足 即 得 ≤a<2.
角度2　函数性质的综合应用
【典例】(2019·赤峰高一检测)已知函数f(x)=
是R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性.
(2)若对任意实数，不等式f[f(x)]+f(3-m)>0恒成立，求
m的取值范围.
【思维·引】先求出a的值，再根据定义判断、证明单调性；
利用函数的性质转化不等式，分离出m后求范围.
【解析】(1)因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)=0，即 =0，由此得a=1，
所以f(x)= ，所以f(x)为R上的增函数.
证明：设x1f(x1)-f(x2)=1-
因为x1所以f(x1)所以f(x)为R上的增函数.
(2)因为f(x)为R上的奇函数.
所以原不等式可化为f[f(x)]>-f(3-m)，
即f[f(x)]>f(m-3)，
又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)>m-3，
由此可得不等式m立，由2x>0 2x+1>1 0< <2 -2<- <0
2<4- <4，所以m≤2.
【类题·通】
1.关于分段函数y= 的单调性(1)增函数：
均为增函数，且
(2)减函数： 均为减函数，且 .
2.含参数恒成立问题的一种处理方法
将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围.
特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小.
【习练·破】
(2019·开封高一检测)已知函数f(x)= -2x，则f(x)
(　　)
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是减函数
C.是偶函数，且在R上是增函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
【解析】选B.f(x)= -2x，
f(-x)=2x- =-f(x)，所以f(x)为奇函数，
又因为函数y= 与y=-2x都是减函数，
所以两个减函数之和仍为减函数.
【加练·固】
若函数f(x)= 为R上的增函数，则实数a
的取值范围是(　　)
A.3≤a<4　　　　　　　 B.1C.1【解析】选A.因为函数f(x)在R上为增函数，
所以
解得3≤a<4.
所以实数a的取值范围是3≤a<4.
谢 谢