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北师版八年级下册数学4.3.2 完全平方公式教学设计
课题 4.3.2 完全平方公式 单元 第四单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(字母指数是正整数).3.使学生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.4.经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力.
重点 掌握多步骤、多方法分解因式的过程.
难点 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【思考】什么叫把一个多项式因式分解？把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.我们已经学习了哪些因式分解的方法 我们学过的因式分解的方法有提公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式：(1)ax4-ax2 ; (2)16m4-n4.解：(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2=(4m2+n2)(4m2-n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 学生复习回忆所学知识，回答问题。学生回顾完全平方公式,直入主题,将完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法. 激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
讲授新课 完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点：把完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.反过来，就得到：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2.观察式子，你能发现什么特点？上面式子左边的特点：(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号，且这两项能写成数或式的平方的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.上面式子右边的特点：这两数或两式和(或差)的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.判断各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4； 是（2） x2+4x+4y2； 不是（3）4a2+2ab+ b2； 是（4） a2-ab+b2； 不是（5）x2-6x-9； 不是（6） a2+a+0.25. 是判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件：①项数是三项；②其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；③另一项是这两数或式乘积的2倍.【例3】把下列完全平方式因式分解：(1)x2+14x+49; (2)(m+n)2-6(m+n)+9.解：(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2.(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2×(m+n)×3+32=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2.【例4】把下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy.解：（1） 3ax2+6axy+3ay2=3a (x2+2xy+y2)= 3a (x+y) 2 ；（2）-x2 -4y2+4xy= -(x2 +4y2 - 4xy)= -[x2 -2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y) 2.【拓展提高】对于一个三项式，首先要仔细观察它是否有公因式，若有公因式，则应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“-”号，然后再用完全平方公式分解因式. 学生观察公式，分析用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.学生根据所学知识判断各式是不是完全平方式。学生根据所学知识利用完全平方公式因式分解。 学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。加深学生对完全平方式特征的理解,为后面的因式分解做铺垫.通过练习，培养学生对完全平方公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.
课堂练习 1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( A )A．64 B．48 C．32 D．162.把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )A．(x－y)2 B．(－x－y)2C．－(x－y)2 D．－(x＋y)23.把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( C )A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2C．(3b－a)2 D．(3a＋b)24.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( B )A．a2＋b2B．a＋bC．a－bD．a2－b25.把下列各式分解因式：(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；(3)a3－a＋2b－2a2b；(4)a2＋1－2a＋4(a－1)．(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)＝(x＋4y)2(x－4y)2.(3)a3－a＋2b－2a2b；＝a(a2－1)＋2b(1－a2)＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．(4)a2＋1－2a＋4(a－1)．＝(a－1)2＋4(a－1)＝(a－1)(a－1＋4)＝(a－1)(a＋3)．6.【中考·张家界】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－6x＋97.【中考·安徽】下列分解因式正确的是( C )A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 学生做练习，巩固本节课所学内容。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，那么再运用完全平方公式把它进行因式分解. 有时需要先把多项式进行适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.(2)在选用完全平方公式分解因式时，关键是看多项式中的第二项的符号。 课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：4.3.2 完全平方公式 一、用完全平方公式分解因式二、例题讲解
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4.3.2 完全平方公式
北师版 八年级下册
新知导入
【思考】1.什么叫把一个多项式因式分解？
我们已经学习了哪些因式分解的方法
我们学过的因式分解的方法有提公因式法及运用平方差公式法.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
新知导入
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4-ax2 ; (2)16m4-n4.
3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式
解：(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).
(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2=(4m2+n2)(4m2-n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
新知讲解
完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点：
把完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
反过来，就得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2；
a2-2ab+b2=(a-b)2.
观察式子，你能发现什么特点？
新知讲解
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2.
上面式子左边的特点：
(1)多项式是三项式;
(2)其中有两项同号，且这两项能写成数或式的平方的形式;
(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
上面式子右边的特点：这两数或两式和(或差)的平方.
新知讲解
用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2.
形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式。
由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
新知讲解
是
判断各式是不是完全平方式？
（1）a2-4a+4；
（2） x2+4x+4y2；
（3）4a2+2ab+ b2；
（4） a2-ab+b2；
（5）x2-6x-9；
（6） a2+a+0.25.
不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍.
是
不是，因为ab不是a与b乘积的2倍.
不是，因为x2与-9的符号不统一.
是
判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件：
①项数是三项；②其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；
③另一项是这两数或式乘积的2倍.
新知讲解
【例3】把下列完全平方式因式分解：
(1)x2+14x+49; (2)(m+n)2-6(m+n)+9.
解：(1)x2+14x+49
=x2+2×7x+72
=(x+7)2.
(2)(m+n)2-6(m+n)+9
=(m+n)2-2×(m+n)×3+32
=[(m+n)-3]2
=(m+n-3)2.
公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式
新知讲解
【例4】把下列各式因式分解：
（1）3ax2+6axy+3ay2； （2）-x2-4y2+4xy.
解：（1） 3ax2+6axy+3ay2
=3a (x2+2xy+y2)
= 3a (x+y) 2 ；
解：（2）-x2 -4y2+4xy
= -(x2 +4y2 - 4xy)
= -[x2 -2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y) 2.
新知讲解
对于一个三项式，首先要仔细观察它是否有公因式，若有公因式，则应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“-”号，然后再用完全平方公式分解因式.
【拓展提高】
课堂练习
1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48 C．32 D．16
A
2.把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
C
课堂练习
3.把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( )
A．(3a－b)2
B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2
D．(3a＋b)2
C
课堂练习
4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
拓展提高
5.把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
(3)a3－a＋2b－2a2b；
(4)a2＋1－2a＋4(a－1)．
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
＝(a2－4＋3)2
＝(a2－1)2
＝(a＋1)2(a－1)2.
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
＝(x2＋16y2)2－(8xy)2
＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)
＝(x＋4y)2(x－4y)2.
拓展提高
5.把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
(3)a3－a＋2b－2a2b；
(4)a2＋1－2a＋4(a－1)．
(3)a3－a＋2b－2a2b；
＝a(a2－1)＋2b(1－a2)
＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)a2＋1－2a＋4(a－1)．
＝(a－1)2＋4(a－1)
＝(a－1)(a－1＋4)
＝(a－1)(a＋3)．
中考链接
6.【中考·张家界】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是
( )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
D
中考链接
7.【中考·安徽】下列分解因式正确的是( )
A．－x2＋4x＝－x(x＋4)
B．x2＋xy＋x＝x(x＋y)
C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，那么再运用完全平方公式把它进行因式分解. 有时需要先把多项式进行适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.
(2)在选用完全平方公式分解因式时，关键是看多项式中的第二项的符号。
板书设计
课题：4.3.2 完全平方公式
教师板演区
学生展示区
一、用完全平方公式分解因式
二、例题讲解
作业布置
课本 P103 练习题
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