第四单元《因式分解》单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学八年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷
考试范围：第四章；   考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列多项式中，不能运用公式法进行因式分解的是
A. B. C. D.
若多项式可分解为，则的值为
A. B. C. D.
下面四个式子；；；，从左到右不是因式分解的
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列变形中是因式分解的是
A. B.
C. D.
多项式化简结果为
A. B. C. D.
的值是
A. B. C. D.
计算的值是
A. B. C. D.
对于任何整数，多项式都能
A. 被整除 B. 被整除
C. 被整除 D. 被整除
已知，，，那么的值等于
A. B. C. D.
下列多项式：；；；，其中能用平方差公式分解因式的多项式有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列各式中，能用公式法分解因式的是
；；；；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列说法正确的个数
因式分解与整式的乘法互为逆运算；两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数差的平方；把一个多项式化成了几个因式的积的形式叫做这个多项式的因式分解；两个数的平方和加上这两个数的积的倍，等于这两个数的和的平方；任何数的次幂都等于．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若关于的二次三项式可分解为则______．
长和宽分别是，的长方形的周长为，面积为，则的值为________．
已知，则______．
已知，，是的三边，，则的形状是______．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分）
阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：，等，都是连接数，其中，称为六位连接数，称为四位连接数．
请写出一个六位连接数______，它______填“能”或“不能”被整除．
是否任意六位连接数，都能被整除，请说明理由．
若一个四位连接数记为，它的各位数字之和的倍记为，的结果能被整除，这样的四位连接数有几个？
对于任意一个四位数，我们可以记为，即若规定：对四位正整数进行运算，得到整数例如，；．
计算：；
当时，证明：的结果一定是的倍数；
求出满足的所有四位数．
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
上述分解因式的方法是______，共应用了______次．
若分解，则需应用上述方法______次，结果是______．
分解因式：为正整数的结果是______．
老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，甲：这是一个三次四项式；
乙：常数项系数为；丙：这个多项式的前三项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
．
上述因式分解的方法是 法
因式分解：
猜想：因式分解的结果是 为正整数
先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式．
如：因为，所以和是的因数；
因为，所以和是的因式．
若是的因式，则求常数的值的过程如下：
解：是的因式
存在一个整式，使得
当时，
当时，
若是整式的一个因式，则______．
若整式是的因式，求的值．
阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图可以得到．
请解答下列问题：
写出图中所表示的数学等式 ．
利用中所得到的结论，解决下面的问题．
已知，，求的值．
图中给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长分别为，的长方形纸片．
请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的虚线框中，要求所拼出的几何图形的面积为
再利用另一种计算面积的方法，可将多项式分解因式，即 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能分解因式，符合题意，
故选：．
各项分解因式，即可作出判断．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
．
故选A．
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把利用多项式乘法法则展开即可求解．
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
3.【答案】
【解析】解：左边不是多项式，不是因式分解；
右边不是积的形式，不是因式分解；
符合因式分解的意义；
，原式不是因式分解．
故从左到右不是因式分解的有个．
故选：．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
本题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了因式分解的意义解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】
解：等式右边不是积的形式，故A错误；
B.，故B错误；
C.是整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
D.是因式分解，故D正确．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：原式
，
故选D．
本题主要考查了多项式的因式分解的应用，熟练掌握提公因式法是关键直接利用提取公因式法分解因式得出即可．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案．
【解答】
解：
．
故选B．

7.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
是整数，而和都是随着的变化而变化的数，
该多项式肯定能被整除．
故选：．
将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
本题考查了因式分解的应用，难度一般．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了完全平方式以及代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解答】
解：，，．
，，，
则原式
，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】
解：，无法因式分解；
，无法因式分解；
，能因式分解；
，能因式分解．
正确的有，共个．
故选B．

11.【答案】
【解析】解：，不能分解；
；
，不能分解；
，不能分解；
，
则能用公式法分解因式的是个，
故选：．
利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是零指数幂，平方差公式，因式分解的意义，整式的乘法，完全平方公式的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：因式分解与整式的乘法互为逆运算，故正确；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数平方的差，不等于两个数差的平方，故错误；
把一个多项式化成了几个整式的积的形式叫做这个多项式的因式分解，故错误；
两个数的平方和加上这两个数的积的倍，等于这两个数的和的平方，故正确；
的次幂不存在，故错误．
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解的概念及多项式乘多项式，正确得出关于，的方程组是解题关键．
先计算出，依据得，，据此求得、的值，代入计算可得．
【解答】
解：
，
，
，，
解得：，，
则，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出的值是解题关键．
直接利用已知得出，的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】
解：长和宽分别是，的长方形的周长为，面积为，
，，
故，
则．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，
．
故答案是：．
把代数式整理成含的形式，进一步整体代入求得数值即可．
本题考查了提公因式法分解因式，整理成已知条件的形式，利用整体代入求解是解题的关键．
16.【答案】等腰三角形
【解析】解：可变为，
，
因为，，为的三条边长，
所以，的关系要么是，要么，
当时，，，不合题意；
当时，，，不合题意．
那么只有一种可能．
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形．
此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．
17.【答案】 能
【解析】解：为六位连接数；
，
能被整除；
任意六位连接数都能被整除，理由如下：
设为六位连接数，
，
能被整除；
设为四位连接数，
则，，
，
，
的结果能被整除，
是整数，
取值范围大于小于，所以能被整除的数有，，，，
，；，；，；，；，；，；，；
满足条件的四位连接数的，，，，，，共个．
根据六位连接数的定义可知为六位连接数，再将进行因数分解，判断得出它能被整除；
设为六位连接数，将进行因数分解，判断得出它能被整除；
设为四位连接数，用含、的代数式表示与，再计算，然后将表示为，根据的结果能被整除以及与都是之间的整数，求得与的值，即可求解．
本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．
18.【答案】解：；
，
，
原式．
，且是整数，
是的倍数．
所以，当时，的结果一定是的倍数．
，
，即．
，
．
，且为整数．
或或或．
所以，满足条件的四位数有，，，．
【解析】根据代入数据计算即可求解；
根据得到，再根据已知条件，可得原式，依此即可求解；
首先得到，再根据整数的性质确定，且为整数，可求对应的值，从而求解．
考查了数的十进制，因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，由数的特点求解是解题的关键．
19.【答案】提公因式法，；
， ；
．
【解析】解：上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了次．
故答案为：提公因式法，；
，
，
故分解，则需应用上述方法次，结果是：．
故答案为：， ；
分解因式：为正整数的结果是：．
故答案为：．
根据已知材料直接回答即可；
利用已知材料进而提取公因式，进而得出答案；
利用已知材料提取公因式进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
20.【答案】解：
【解析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．
本题考查了公因式，利用分组法、提公因式分解因式是解题关键．
21.【答案】解：提公因式

．
22.【答案】
【解析】解：是整式的一个因式，
存在一个整式，使得，
当时，，
当时，，
，
；
故答案为：；
整式是，
存在一个整式，使得，
当时，，
即，
则，
当时，，
即，
则，
联立解得，．
．
根据中的例子，类比可得结论；
根据多项式乘法将等式展开有：，根据当时，，则，当时，，则，联立可求常数，的值．可得结论．
本题考查了因式分解的意义和算术平方根，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，运用类比的方法解决问题．
23.【答案】解：
由得．
所画几何图形如图所示．
【解析】本题是一个阅读理解问题，考查了完全平方式的几何背景问题，代数式求值以及因式分解的应用，与几何图形相结合，通过面积法直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
根据正方形面积的两种不同的计算方法写出等式即可；
将所求式子与的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可；
画出图形，满足长方形的两邻边长分别为和即可，答案不唯一；
根据原图形面积组合后长方形的面积得出等式．
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