4.1.2指数函数的性质与图像 教案

指数函数的性质与图像
【第1课时】
【教学重难点】 【教学目标】 【核心素养】
指数函数的概念 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性 数学抽象
指数函数的性质与图像 掌握指数函数的性质和图像 数学运算
指数函数的定义域、值域 会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域 数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
求指数函数的解析式
例1：已知指数函数f（x）的图像过点（3，π），求函数f（x）的解析式．
解：设f（x）＝ax，将点（3，π）代入，得到f（3）＝π，
即a3＝π，解得a＝π，所以f（x）＝π．
规律方法：
根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1．指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．
要求指数函数f（x）＝ax（a>0且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
探究点2：
指数型函数的定义域、值域问题
命题角度一：y＝f（ax）型
例2：求下列函数的定义域和值域．
（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1．
解：（1）函数y＝的定义域为R（因为对一切x∈R，3x≠－1）．
因为y＝＝1－，
又因为3x>0，1＋3x>1，
所以0<<1，所以－1<－<0，
所以0<1－<1，所以y＝的值域为（0，1）．
（2）定义域为R，y＝（2x）2－2x＋1＝＋，
因为2x>0，所以当2x＝时，即x＝－1时，y取最小值，
所以y＝4x－2x＋1的值域为．
规律方法：
解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为y＝f（t）的问题．
命题角度二：y＝af（x）型
例3：求函数的定义域与值域．
解：要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，即32x－1≥3－2．
因为y＝3x在R上是增函数，所以2x－1≥－2，解得x≥－．
故所求函数的定义域为．
当x∈时，32x－1∈．
所以32x－1－∈[0，＋∞）．所以原函数的值域为[0，＋∞）．
规律方法：
y＝af（x）的定义域即f（x）的定义域，求y＝af（x）的值域可先求f（x）的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f（x）的范围求y＝at的范围．
探究点3：
指数函数图像的应用
命题角度一：指数函数整体图像
例4：在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝的图像可能是（　　）
解析：根据选项中二次函数图像可知c＝0，所以二次函数y＝ax2＋bx，因为>0，所以二次函数的对称轴为x＝－<0，排除B、D．对于A，C，都有0<<1，所以－<－<0，C不符合．故选A．
答案：A
总结升华：
函数y＝ax的图像主要取决于01．但前提是a>0且a≠1．此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．
命题角度二：指数函数局部图像
例5：若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
解：y＝|2x－1|＝
图像如图：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，
需0<2a<1，即0规律方法：
指数函数是一种基本初等函数，与其他函数一起可以衍生出很多函数，体现了指数函数图像的“原料”作用．此题目考查图像变换，同时要注意指数函数中的“渐近线”对交点个数的影响．
1．下列各函数中，是指数函数的是（　　）
A．y＝（－3）x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝
答案：D
2．若函数y＝（2a－1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（　　）
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
答案：C
3．函数y＝3－x2的值域是（　　）
A．（0，＋∞） B．（－∞，0]
C．（0，1] D．[－1，0）
答案：C
4．函数f（x）＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（　　）
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0答案：D
5．函数f（x）＝＋的定义域为（　　）
A．（－3，0]
B．（－3，1]
C．（－∞，－3）∪（－3，0]
D．（－∞，－3）∪（－3，1]
解析：选A．由题意，自变量x应满足
解得－3二、课堂总结
指数函数
（1）一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．
（2）指数函数y＝ax（a>0且a≠1）具有下列性质：
①定义域是R．
②值域是（0，＋∞），即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方．
③函数图像一定过点（0，1）．
④当a>1时，y＝ax是增函数；当0⑤指数函数的图像．
三、课堂检测
1．下列函数中，指数函数的个数为（　　）
①y＝；②y＝ax（a>0，且a≠1）；③y＝1x；
④y＝－1．
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：选B．由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．函数y＝的定义域是（　　）
A．（－∞，0） B．（－∞，0]
C．[0，＋∞） D．（0，＋∞）
解析：选C．由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0．
3．当a＞0，且a≠1时，函数f（x）＝ax＋1－1的图像一定过点（　　）
A．（0，1） B．（0，－1）
C．（－1，0） D．（1，0）
解析：选C．当x＝－1时，显然f（x）＝0，因此图像必过点（－1，0）．
4．函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图像大致是（　　）
解析：选A．因为g（x）＝－x＋a的斜率为－1，所以g（x）＝－x＋a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f（x）＝ax单调递增，当x＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图像大致为选项A．
5．指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图，则（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1，0＜b＜1
解析：选C．由图像知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1．
6．若函数f（x）＝（a2－2a＋2）（a＋1）x是指数函数，则a＝________．
解析：由指数函数的定义得解得a＝1．
答案：1
7．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）经过点（－1，5），（0，4），则f（－2）的值为________．
解析：由已知得解得
所以f（x）＝＋3，所以f（－2）＝＋3＝4＋3＝7．
答案：7
8．若函数f（x）＝则函数f（x）的值域是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，所以－x＜0，0＜2－x＜1，所以－1＜－2－x＜0．所以函数f（x）的值域为（－1，0）∪（0，1）．
答案：（－1，0）∪（0，1）
9．求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝2－1；（2）y＝．
解：（1）要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数y＝2－1的值域为（－1，0）∪（0，＋∞）．
（2）函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为（0，9]．
10．已知函数f（x）＝ax－1（x≥0）的图像经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域．
解：（1）函数图像经过点，所以a2－1＝，则a＝．
（2）由（1）知f（x）＝（x≥0），由x≥0，得x－1≥－1．于是0＜≤＝2，所以函数的值域为（0，2]．
【第2课时】
【教学重难点】 【教学目标】 【核心素养】
与指数函数有关的复合函数 掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断 数学运算
指数函数性质的应用 能借助指数函数性质比较大小，会解简单的指数方程、不等式 数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究1：:
解指数方程
例1：解下列关于x的方程：
（1）81×32x＝；
（2）22x＋2＋3×2x－1＝0．
解：（1）因为81×32x＝，
所以32x＋4＝3－2（x＋2），所以2x＋4＝－2（x＋2），所以x＝－2．
（2）因为22x＋2＋3×2x－1＝0，
所以4×（2x）2＋3×2x－1＝0．
令t＝2x（t＞0），则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1（舍去）．
所以2x＝，解得x＝－2．
规律方法：
（1）af（x）＝b型方程通常化为同底来解．
（2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
探究点2：
指数函数单调性的应用
命题角度一：比较大小
例2：比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.7－2.5，1.7－3；（2）1.70.3，1.50.3；（3）1.70.3，0.83.1．
解：（1）因为1.7＞1，所以y＝1．7x在（－∞，＋∞）上是增函数．
因为－2.5＞－3，所以1.7－2.5＞1.7－3．
（2）法一：因为1.7＞1.5，所以在（0，＋∞）上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．而0.3＞0，所以1.70.3＞1.50.3．
法二：因为1.50.3＞0，且＝，又＞1，0.3＞0，所以＞1，
所以1.70.3＞1.50.3．
（3）因为1.70.3＞1.70＝1，0.83.1＜0.80＝1，所以1.70.3＞0.83.1．
规律方法：
当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1．
命题角度二：解指数不等式
例3：解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5（a>0，且a≠1）．
解：（1）当0（2）当a>1时，因为a2x＋1≤ax－5，所以2x＋1≤x－5，解得x≤－6．
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
规律方法：
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
命题角度三：与指数函数复合的单调性问题
例4：（1）求函数y＝的单调区间；
（2）求函数y＝－8·＋17的单调区间．
解：（1）y＝的定义域为R．在（－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，所以y＝在（－∞，3]上是增函数．在（3，＋∞）上，y＝x2－6x＋17是增函数，所以y＝在（3，＋∞）上是减函数．所以y＝的增区间是（－∞，3]，减区间是（3，＋∞）．
（2）设t＝，又y＝t2－8t＋17在（－∞，4]上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增．令≤4，得x≥－2．所以当－2≤x12，即4≥t1>t2，所以t－8t1＋17规律方法：
复合函数单调性问题归根结底是由x1二、课堂检测
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解析：选B．因为y＝0.5x在R上是减函数，且＞＞，所以0.5<0.5<0.5．
2．方程42x－1＝16的解是（　　）
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
解析：选B．42x－1＝42，所以2x－1＝2，x＝．
3．函数f（x）＝的单调递增区间为（　　）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）
C．（－1，＋∞） D．（－∞，－1）
解析：选A．因为f（x）＝，0<<1，所以f（x）的单调递增区间为u（x）＝x2－1的单调递减区间，即（－∞，0]．
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3的解集为________．
解析：因为0＜a＜1，所以y＝ax在R上是减函数，
又因为a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，
所以2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1．
答案：（1，＋∞）
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