第三单元《图形的平移与旋转》单元测试卷（困难）（含答案）

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北师大版初中数学八年级下册第三单元《图形的平移与旋转》单元测试卷
考试范围：第三章；   考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知在平面直角坐标系中，点，，都在第一象限内，现将的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘，得到一个新的三角形，则
A. 新三角形与关于轴对称
B. 新三角形与关于轴对称
C. 新三角形的三个顶点都在第三象限内
D. 新三角形是由沿轴向下平移一个单位长度得到的
已知坐标平面内的点，如果将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，那么平移后点的坐标是
A. B. C. D.
如图是一块长方形的场地，长，宽，、两处入口的路宽为，两小路汇合处路宽为，其余部分种植草坪，则草坪面积为
A. B. C. D.
如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为
B.
C. D.
如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时点不与、重合，现给出以下四个结论：；是等腰直角三角形；；，其中所有正确结论的序号为
A. B. C. D.
如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为
A. B. C. D.
如图，若内一点满足，则点为的布洛卡点．三角形的布洛卡点由法国数学家和数学教育家克洛尔于年首次发现，但他自发现并未被当时的人们所注意，年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛重新发现，并用他的名字命名．问题：已知等腰直角三角形中，，若为的布洛卡点，，则的值为
A. B. C. D.
下列命题：成中心对称的两个图形不一定全等；成中心对称的两个图形一定是全等图形；两个全等的图形一定关于某点成中心对称；中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质．其中真命题的个数是
B. C. D.
下列图形均是一些科技创新公司标志图，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成个正方形和个长方形，其中标为的两个长方形是一样的、标为的两个正方形方形也是一样的若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为
A. B. C. D.
如图，、都是等腰直角三角形，，，，将绕点逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，且点刚好落在边上，，，则等于
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，多边形的相邻两边互相垂直，要求出它的周长，至少需要______知道条边的边长．
如图，，点为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：；；四边形的面积保持不变；的周长保持不变．其中说法正确的是______填序号．
如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成不重叠，无缝隙，它既是轴对称图形，又是中心对称图形．若图中阴影面积的和为，则图中线段的长为______．
如图，在平面直角坐标系内，边长为的等边的顶点与原点重合，将绕顶点顺时针旋转得将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
在网格中画对称图形．
如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图、图、图中只需各画一个，内部涂上阴影；
是轴对称图形，但不是中心对称图形；
是中心对称图形，但不是轴对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形．
请你在图的网格内设计一个商标，满足下列要求：
是顶点在格点的凸多边形不是平行四边形；
是中心对称图形，但不是轴对称图形；
商标内部涂上阴影．
我们数学上将内角度数小于的四边形叫做凸四边形，
形如图，，是凸四边形，不是凸四边形．
操作：已知如图，两个全等的三角形纸片和，其中，，，按照下列要求把这两个三角形纸片无缝拼接，且没有重叠，画出所有可能的示意图，并写出所拼出图形的周长．
拼接成轴对称的凸四边形，写出对应的周长．
拼接成中心对称的凸四边形，写出对应的周长．
在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
请把表补充完整，并在图中补全该函数图象：
______ ______ ______ ______
根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是______ 写序号；
该函数图象是中心对称图形，对称中心为原点；
该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，时，有最大值；时，有最小值；
当或时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集保留一位小数，误差不超过．
如图，线段是线段经过某种变换得到的图形．
若点与点，点与点是对应点，第一象限内的点的坐标为，在这种变换下，点的对应点的坐标为______用含、的式子表示；
若点与点、点与点是对应点，第一象限内的点的坐标为，在这种变换下，点的对应点的坐标为______用含、的式子表示；
连接、，直接写出四边形的面积为______．
【操作发现】
如图，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转旋转角大于且小于，旋转后三角板的一直角边与交于点，在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，．
求的度数；
与相等吗？请说明理由；
【类比探究】
如图，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转旋转角大于且小于，旋转后三角板的一直角边与交于点，在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，请直接写出探究结果：
的度数；
线段，，之间的数量关系．
已知中，，，．
如图，当、在上时，求证： ．
如图，将绕点旋转 当在的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
如图，已知射线，点，点是上的动点，平分，且满足．
若，判断与的位置关系，证明你的结论．
若，求的度数．
在的条件下左右平行移动，和存在怎样的数量关系请直接写出结果不需写证明过程
如图，等腰直角三角形是由两块完全相同的小直角三角板、含拼成的，其中的边在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
将三角板沿直线向左平移到图的位置时，交于点，连接、猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
将三角板沿直线向左平移到图的位置时，的延长线交的延长线于点，连接、你认为中猜想的关系还成立吗？请写出你的结论不需证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：纵坐标乘以，
纵坐标相反，又横坐标不变，
关于轴对称．
故选A．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于轴对称．
主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2.【答案】
【解析】解：坐标平面内点，将坐标系先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
点的横坐标增大，纵坐标减小，
点变化后的坐标为．
故选D．
根据题意，将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，依据坐标的变化规律即可求解．
此题主要考查坐标与图形变化平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．将坐标系向右、向上平移，相当于将原来坐标系中的点向右、向下平移．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．
【解答】
解：由图可知：矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：米，宽为米．
所以草坪的面积应该是长宽米
故选A．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接，
为等边三角形，，，
，，，，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
当时，值最小，
此时，，，
，
故选：．
连接，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证≌，推出，再由垂线段最短可知当时，值最小，利用含的直角三角形的性质定理可求的值．
本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性．
5.【答案】
【解析】解：中，，，是中点，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
正确；正确；
≌，
，
，
正确；
是等腰直角三角形，是的中点，
，
不是的中位线，
，
故错误；
即正确的有，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证≌，推出，，推出，求出，求出，即可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，
，是边上的中点，
，
由翻折知，≌，垂直平分，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
，
故选：．
连接，交于点，过点作于点，由翻折知，≌，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长．
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了新定义问题，等腰直角三角形，旋转的性质，将绕点顺时针旋转得，根据旋转得到，，，，根据题意得到，推出，得到是等腰直角三角形，求得，得到，于是得到结论．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得，如图：
≌，，
，，，，
，，
点为的“布洛卡点”，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查中心对称和中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键；根据中心对称图形与中心对称的概念和性质逐一判断即可得到答案．
【解答】
解：成中心对称的两个图形不一定全等，此说法错误，是假命题；
成中心对称的两个图形一定是全等图形，此说法正确，是真命题；
两个全等的图形一定关于某点成中心对称，此说法错误，是假命题；
中心对称表示两个图形之间的对称关系，中心对称图形是指某一个图形所具有的对称性质，此说法正确，是真命题；
综上，真命题有个，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
10.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称的性质和应用，首先设图形的长和宽分别是、，图形的边长是，图形的边长是，原来大长方形的周长是，判断出，，；然后分别判断出图形、图形的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
【解答】
解：如图，设原住房平面图长方形的周长为，的长和宽分别为，，的边长分别为，，根据题意得：
，得，
将代入，得定值，
将代入，得定值，
而由已列方程组得不到，
分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为
故选A．

11.【答案】
【解析】解：过点作于，如图，
、都是等腰直角三角形，
，，，
绕点逆时针方向旋转后得，
，，，，
，
设，则，，
在中，，解得，舍去，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故选：．
过点作于，如图，利用等腰直角三角形的性质得，，，再根据旋转的性质得，，，，
设，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，所以，然后证明≌，从而得到．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质即可得到结论．解答此题由旋转的性质可得，，，再由是的外角可得从而求出的度数，根据等腰三角形的性质由可得，进而可得的度数，最后根据平角的定义可得的度数．
【解答】
解：绕顶点旋转得到，
，，，
，
，
，
，
，
．
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平移的性质，把不规则图形部分平移到规则图形的部分是解题的关键．根据平移的性质，只要能求出横向与纵向的总长度，即可求出它的周长．
【解答】
解：根据平移的性质，只要知道、、的长度，就可以求出周长．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
，
≌，
，，
故正确；
，
≌，
，
，
平分，
，
，
，
，
故正确；
≌，
四边形的面积四边形的面积，
四边形的面积保持不变，
故正确；
，，
是等边三角形，
的长度是变化的，
的周长是变化的，
故错误；
所以，说法正确的是：，
故答案为：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明≌，≌，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握对角互补模型旋转型全等是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：把图形局部放大如图所示，作于，于，连接交于交于，延长交于设，则．
≌，≌，
，，，，设，，
，
，
，
，
，
解得或舍弃，
，
故答案为．
把图形局部放大如图所示：作于，于，连接交于交于，延长交于设，则由≌，≌，推出，，，，设，，由，可得，推出，根据，构建方程求出即可解决问题．
本题考查中心对称，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】
【解析】解：边长为的等边的顶点与原点重合，
，．
如图，过点作轴于点，
，，
点的坐标为
将绕顶点顺时针旋转得到，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标为，即
将四边形看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
由规律可得：点的坐标为，即
故答案为：
过点作轴于点，根据等边三角形的性质可求出，的长度，进而可得出点的坐标，再由旋转的性质可得出四边形是平行四边形，结合点的坐标及的值，即可得出点的坐标；根据平移的性质可找出点，，的坐标，根据规律可得出点的坐标．
本题考查了利用旋转设计图案、等边三角形的性质，旋转与平移的性质，正确求出，，的坐标，从而找出规律是解题的关键．
17.【答案】解：如图，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
如图，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
如图，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
如图即为所求．
【解析】根据题中的要求，图是轴对称图形，不能画成中心对称图形；图是中心对称图形，不能画成轴对称图形；图既是轴对称图形，又是中心对称图形；
根据题中的要求，图是顶点在格点的凸多边形不是平行四边形，也是中心对称图形，但不是轴对称图形．
本题主要考查了利用图形的基本变换作图，由一个基本图案通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法可以变换出一些新图案，关键是要熟悉轴对称、平移以及旋转等图形变换的性质．
18.【答案】解：首先根据题目所给材料，理解凸四边的特点就是每一个内角都小于结合题目所给的和三边的数值或者观察，可知第一问中，要组成轴对称图形，考虑对称性和不重叠的关系，所以有以下情况：
第一种、两点分别与、两点对应重合；
第二种、两点分别与、两点对应重合；
第三种、两点分别与、两点对应重合．
但是第一种和第二种不属于凸四边形，只有第三种符合题意要求．
在第二问中，要求组成中心对称图形，所以有以下情况：
第一种、两点分别与、两点对应重合，且此时四边形为平行四边形；
第二种、两点分别与、两点对应重合，同理得到四边形为平行四边形；
第三种、两点分别与、两点对应重合，同理得到四边形为平行四边形．
故答案为：周长为
第一种周长为；第二种周长为；第三种周长为．
【解析】根据旋转的性质进行解答即可．
此题考查利用旋转设计图案问题，关键是理解凸四边的特点和旋转的性质解答．
19.【答案】
【解析】解：分别将，，，代入
求得，，，．
故答案为：，，，．
如图，
由图象可得函数图象关于原点对称，所以正确，
时，有最大值；时，有最小值；所以正确，
当时随增大而增大，所以不正确．
故答案为：．
当时，得，
，
不等式化简为，解得．
，
．
由对称性得满足题意．
或．
分别代入求．
观察图象，图象为中心对称图形．
根据图象及表格确认函数最大值与最小值．
由图象得当时随增大而增大．
根据图象及不等式分类讨论与解集．
本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．
20.【答案】解：；
；
．
【解析】
【分析】
本题考查了利用平移变换作图，关键是根据中心对称的性质，三角形的面积求解．
根据对应点的坐标利用平移的性质解答；
根据中心对称的性质写出坐标即可；
根据四边形的面积公式解答即可．
【解答】
解：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度点，
点的对应点的坐标为；
点与点关于原点对称，
点的对应点的坐标为；
如图所示：
四边形的面积．
故答案为：；；．
21.【答案】解：是等边三角形，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，
；
；理由如下：
，，
，
，
在和中，，
≌，
；
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
；
，理由如下：
，，
，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，
又，
．
【解析】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
由等边三角形的性质得出，，求出，证明≌，得出，求出；
证出，由证明≌，得出即可；
由等腰直角三角形的性质得出，，证出，由证明≌，得出，，求出；
证出，由证明≌，得出；在中，由勾股定理得出，即可得出结论．
22.【答案】证明：如图，
过点作，使，连接，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
又，
，
，
，
；
结论仍然成立；如图，
证明：过点作，使，连接，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【解析】此题主要考查旋转的性质，勾股定理及三角形全等的判定与性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系．
作，使，连接，，根据证得≌和，再由勾股定理和等量代换即可解答；
作，使，连接、，根据证得≌和，再由勾股定理和等量代换即可解答．
23.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
，
理由：，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，由角平分线的定义得到，于是得到结论；
根据平行线的性质得到，推出，根据平角的定义得到，于是得到结论．
24.【答案】解：与所满足的数量关系是，位置关系是．
证明：由已知，得，，
，
又，
，
．
在和中，
，，，
≌，
，
如图，延长交于点．
≌，
，
在中，，又，
．
，
，
与所满足的数量关系是，位置关系是；
；．
如图，，
，
又，
，
，
在和中，
，，，
≌．
；
如图，延长交于点，则，
≌，
，
在中，，
又，
，
，
，．
【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，解本题的关键是作出辅助线判断出．
要证，可以转化为证明≌；要证明，可以证明，只要证出，，即可证出；
类比的证明就可以得到，结论仍成立．
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