第一单元《三角形的证明》单元测试卷（标准）（含解析）

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北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷
考试范围：第一章；   考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，在、上分别截取，，使再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点若，则的长为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，平分，，，，则的长为
A. B. C. D.
如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是
B.
C.
D.
如图所示，，，垂足分别是，若，则图中全等三角形有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，，且，、是上两点，，若，，，则的长为
A. B. C. D.
如图，中，、分别是、上的点，作，，垂足分别是、，若，，下面四个结论：；；≌；垂直平分其中正确结论的序号是
A. B. C. D.
如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是
A. B. C. D.
如图，在中，按以下步骤作图：
分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
作直线交于点，连接若，，
则的度数为
A.
B.
C.
D.
在中，已知：：：：，是的角平分线，于点若的面积为，则的面积为
A. B. C. D.
如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点已知，，，则下列说法错误的是
A. 和是等腰三角形
B. 为中点
C. 的周长是
D.
如图，是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则______．
如图，中，，、是边上两点，且垂直平分，平分，若，则的长为____．
如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，则的度数为 ．
如图，为等边三角形，，则的度数为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接．
求证：；
求证：．
如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．
求证：；
过点作垂直，垂足为，若，求的周长．
已知：在中，、分别在、上，且，与交于点，连接交于
如图，求证：；
如图，当时，直接写出所有等于的角．
已知：如图，在中，是边上的高，．
试说明；
如图，如果是角平分线，、相交于点那么与的大小相等吗？请说明理由．
如图，中，，若和分别垂直平分和．
求的度数．
若周长为，长为，求的长．
如图，是的角平分线，是的垂直平分线．
求证：．
．
．
在图中，已知和、两点，在内部找一点，使，且到的两边、的距离相等．尺规作图，保留作图痕迹
如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．
求证：；
当时，求证：平分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．依据等腰三角形的性质，即可得到，进而得出结论．
【解答】
解：由题可得，平分，
又，
是三角形的中线，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：，平分，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，，推出是等边三角形，于是得到结论．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的判定把、、、四个选项分别作为添加条件进行验证，为正确选项．添加选项，即可证明，从而进一步证明，且，则四边形是平行四边形本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【解答】
解：，
，
是边的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查直角三角形全等判定定理，是一道较为简单的题目．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、本题是开放题，应先根据三角形的判定确定图中全等三角形：，，再分别进行证明．
【解答】
解：，
，
；
，
又，，
；
设与相交于点，
，
，
．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
过点作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，有即可得出答案．
【解答】
解：过点作，
，
，
，，
在和中，，，
，，
，，
，
故的度数是，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质．
由“”可证，可得，，进而可得，则可得的长．
【解答】
解：由，，，
得，，，，
，，
，，
，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，，
，
，，
≌，
，，故正确，
，
，
，
，故正确，
，，
垂直平分，故正确，
由题目条件不能证明≌，
故选：．
由“”可证≌，可得，，由等腰三角形的性质可得，可证，由线段垂直平分线的性质可证垂直平分．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明≌是本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
本题主要考查作图基本作图，线段垂直平分线的概念及其性质，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
想办法求出，再利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的面积，直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，勾股定理逆定理，角平分线的性质有关知识，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，再证明≌从而得到，继而得出与面积比，最后求得答案．
【解答】
解：：：：：，
可设，，，
，
为直角三角形．如图，．
为的角平分线，，即．
由角平分线性质定理得，又，
在和中，
≌，
，，，
与同高，
：：：，
面积为，
故选B．

11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握好有关知识的性质及判定是解此题的关键逐项分析即可得到答案．
【解答】
解：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形，
那么同理也是等腰三角形，
故A正确；
B.因为，，，，
无法得出为中点，
故B错误；
C.，，，
又，，
的周长是，
故C正确；
D.，
在中，
，
，
故D正确．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到，，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：是的角平分线，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
故选C．
13.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图所示．
是的平分线，
．
在中，，，
，即．
在中，，，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解．
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理以及直角三角形的性质和勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理可得，然后利用直角三角形的性质和勾股定理即可解答．
【解答】
解：垂直平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的内角和定理，解题关键掌握三角形内角和定理及直角三角形两个锐角互余．
先根据角平分线定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出及，再通过求解．
【解答】
解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：．

16.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
．
故答案为：
求的度数，可利用减去的外角进行求解，只要求得即可，利用三角形的外角的性质可得答案．
本题考查了等边三角形的性质及三角形外角的性质；利用外角的性质得到是正确解答本题的关键．
17.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，，
，
，，
在与中，
，
≌，
；
由得，≌，
，
，而、、三点共线，
，
在与中，
，
≌，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
【解析】先由和是等边三角形，可知，，，，故可得出，，根据定理可知≌，由全等三角形的性质即可得出结论；
由中≌，可知，再根据，、、三点共线可得出，由全等三角形的判定定理可知，≌，故，再根据可知为等边三角形，故故可得出结论．
本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出≌，≌是解答此题的关键．
18.【答案】解：证明：如图，
是等边三角形，是中线
等边三角形三线合一

又
等角对等边
如图，，由知，
垂直平分
的周长．
【解析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键．
根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到．
由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出．
19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
即．
，，
，
，，
，
，
等于的角有：，，，．
【解析】由≌，推出，推出，由，推出是线段的垂直平分线，即可解决问题；
利用等腰三角形的性质即可解决问题；
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：在中，是高，
，
，
，
，
即；
相等．
理由是：是角平分线，
，
，，
，，
，
，
，
即
【解析】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以求得的度数，从而可以解答本题；
根据题意和中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立．
21.【答案】解：设，，，
和分别垂直平分和，
，，
，，
，
，
即，，
，
；
周长为，
，
，，
，
即，
，
，
．
【解析】设，，，根据线段垂直平分线的性质得：，，由等腰三角形的性质得：，，再由三角形内角和定理相加可得结论；
根据周长为，列等式为，由等量代换得，可得的长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出，，正确的进行等量代换．
22.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
；
是的垂直平分线，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
由，
即，
，
，
．
【解析】根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到，再根据等角对等边可得到；
根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到；
根据三角形内角与外角的关系可得到结论．
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．
23.【答案】解：如图，点即为所求．
【解析】直接利用角平分线的性质结合线段垂直平分线的性质作图得出答案
此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
24.【答案】证明：
，，
，
在和中，
≌，
；
由得≌，
，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
平分
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
证明和中即可；
由得≌，根据角的换算即可得证．
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