第一单元《三角形的证明》单元测试卷（较易）（含解析）

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北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷
考试范围：第一章；   考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为则等腰三角形的腰长为
A. B.
C. 或 D. 以上答案都不对
等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为
A. B.
C. D. 或
如图，是等边三角形，点是的中点，，，则等于
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，是边的中点，于点，交于点，若，则的长是
B.
C.
D.
如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，，则的长为
A. B. C. D.
如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为
A. B. C. D.
如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为
B. C. D.
如图，在中，是的平分线，若，，则
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，平分，于，如果，，那么等于
A. B. C. D.
如图，，于，于，下列结论错误的是
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，为的平分线，，，，则点到射线的距离为______．
如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接，则的度数为______．
如图，，添加一个条件：______写出一个条件即可，可使与全等．
如图，在中，点在边上，，，则 度．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，点、在上，，，，与交于点，求证：．
如图，一只船从处出发，以海里时的速度向正北航行，经过小时到达处．分别从、处望灯塔，测得，度．求处与灯塔距离．
如图所示，已知点为的边的中点，，，垂足分别为点，且求证：
；
平分．
如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，求证：．
如图，在中，已知其周长为．
在中，用直尺和圆规作边的垂直平分线分别交、于点，不写作法，但须保留作图痕迹．
连接，若为，求的周长．
如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
求证：垂直平分；
若，写出与之间的数量关系，并证明．
如图，中，，为斜边上的高，的角平分线分别交，于点，，过作于，试确定线段和的关系，并说明理由．
如图，在中，，，点在上，于点，为中点．
在图中找出与相等的角，并证明；
求证：平分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设腰长为，一腰的中线为，
则或，
解得：，，
或，
三角形三边长为、、，符合三角形三边关系定理；
三角形三边是、、，，不符合三角形三边关系定理；
故选：．
设腰长为，得出方程或，求出后根据三角形三边关系进行验证即可．
本题考查了等腰三角形的性质，难度不大，关键是求出的值后根据三角形三边关系进行验证．
2.【答案】
【解析】解：当腰为时，三边为，，，
，
不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
当腰为时，三边为，，，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是
故选：．
分为两种情况：当腰为时，三边为，，，当腰为时，三边为，，，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，注意要进行分类讨论啊．
3.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到，于是得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，，
，
是边的中点，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
≌；
，
，
，
，
≌；
，
，
，
≌；
，
≌；
，
，
，，
≌，≌．
故选：．
≌，≌，≌，≌，≌，≌，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、做题时要由易到难，不重不漏．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出．
根据直角三角形的性质得出，进而得出，利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：在中，，为边上的中线，，
，
，
，
为边上的高，
在中，．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
的周长，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
的度数为，
故选：．
先由等腰三角形的性质求出的度数，再由垂直平分线的性质可得出，进而可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
是的平分线，，
，
的面积．
故选：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的性质定理解答．
本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：、，，，
，正确，故本选项错误；
B、，，
，
，，
由勾股定理得：，正确，故本选项错误；
C、，，
由三角形的内角和定理得：，正确，故本选项错误；
D、根据已知不能推出，错误，故本选项正确；
故选：．
根据角平分线性质得出，根据勾股定理推出，根据三角形内角和定理推出．
本题主要考查平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：过作，
为的平分线，，
，
，，
，
，
故答案为：．
过作，根据勾股定理可得的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，进而可得答案．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14.【答案】
【解析】解：中，，，
．
直线是线段的垂直平分线，
，
．
故答案为：．
先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：条件是，
，
在和中
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或．
本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有，，，，．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质．首先根据等腰三角形的性质求出的度数，然后根据三角形的外角性质求出的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：，
，
．
，
，
．
故答案为．
17.【答案】证明：，
，
，
在和中，
≌，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
求出，根据推出≌，得出，由等腰三角形的性质可得结论．
18.【答案】解：是的外角
海里
因此处与灯塔距离是海里．
【解析】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得，再速度乘时间就是路程，从而求出的长．
本题考查了等腰三角形的判定；利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
19.【答案】证明：点是的边的中点，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
平分．
【解析】由中点的定义得出，由证明≌，得出对应角相等即可．
根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：平分，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据角平分线的定义和余角的性质证得，然后证明即可得到结论．
21.【答案】解：如图所示：，即为所求；
垂直平分，
，，
的周长为：．
【解析】直接利用线段垂直平分线的作法得出，的位置；
结合线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
22.【答案】证明：平分，，，
，，
，
即，
，
，，
点、点在的垂直平分线上，
垂直平分；
解：．
证明：，平分，
，
，，
，
，
，
，
，
即．
【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和；证明和题目比较典型，综合性强．
由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论；
由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论．
23.【答案】解：．
理由：平分，，于点，
，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】由角平分线的性质得出，，证出，由角的互余关系和对顶角相等得出，证出，得出．
本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，掌握角平分线的性质是解决问题的关键．
24.【答案】解：．
证明：，
，
，
，
；
证明：过点作于点，延长，交于点，
，，，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
平分．
【解析】由直角三角形的性质可得出答案；
过点作于点，延长，交于点，证明≌，得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质证出结论．
本题考查了全等三角形的判定方法和性质，直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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