第一单元《三角形的证明》单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷
考试范围：第一章；   考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，等边的边长为，是外一点，且，，，的周长为
A.
B.
C.
D. 无法计算
如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点下列结论：垂直平分；；当时，为等边三角形；当时，其中正确的是
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为，，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为
A. B. C. D.
如图，在矩形中，，，点，分别为，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为
A. B. C. D.
如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、则下列结论：；；；，其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为
A. B. C. D.
如图，已知，，的垂直平分线交于，于，以下结论：是等腰三角形；射线是的角平分线；的周长；≌正确的有
A.
B.
C.
D.
如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点、点沿折叠后与点重合，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：；当时，；若，，则其中正确的是
A. B. C. D.
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．
点到各边的距离相等 设，，则，正确的结论有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在和中，，，，连接，交于点，连接下列结论：
，，平分，平分其中正确的结论个数有个．
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，与的平分线交于点，于点若与的周长差为，四边形的周长为，则等于________．
如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为______．
如图，在的纸片中，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长是______．
课本第页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：如图分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是 现将向上翻折，如图，已知，，，则的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，是边长为的等边三角形，是延长线上一点，以为边作等边三角形，连接．
求的度数．
求的值．
如图，和都是等边三角形．
探究发现
与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
若、、三点不在一条直线上，，，，求的长．
若、、三点在一条直线上如图，且和的边长分别为和，求的面积及的长．
如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
求证：；
，平分，，求的长．
如图，矩形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，连结，作点关于直线的对称点．
若，求的长；
若，求的长；
直线交于点，若是锐角三角形，求长的取值范围．
如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点，请按下列要求完成作图尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
作直线，使直线；
在直线上确定一点，使点到，两点的距离相等．
在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为．
求的长；
分别连结、、，若的周长为，求的长．
如图，在中，、的平分线相交于，过作，分别交、于点、判断是否成立？为什么？
如图，若点是的平分线和外角的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段、、之间有何数量关系？证明你的猜想．
如图，是的角平分线，，，垂足分别为、，连接，与交于点，求证：垂直平分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为的性质，本题中求证是解题的关键．延长到，使，连接，求证≌可得，进而求证≌可得，即可计算周长，即可解题．
【解答】
解：延长到，使，连接，
，，
，
，
，
，，，
≌，
，，
又，
，
，
又，
≌，
，
所以周长．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的判定和性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题关键．
通过条件可以得出≌，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，
设，，由勾股定理就可以得出与、的关系，表示出与，即可判断与关系不确定；
当时，可计算出，即可判断为等边三角形，
当时，设，，由勾股定理就可以得出与的关系，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论．
【解答】
解：四边形是正方形，
，．
在和中，
，
≌，
，
，即，
，
垂直平分故正确．
设，，
，
与关系不确定，只有当时成立，故错误．
当时，
≌，
，
，
又
为等边三角形．故正确．
当时，设，，由勾股定理就可以得出：
，，
故正确．
综上所述，正确的有，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：点，的坐标分别为，，，，
是等腰直角三角形，
，
设直线解析式为，则
，
解得，
直线解析式为，
令，则，
，
又点与点关于点成中心对称，
点为的中点，
设，则，，
，，
，
故选：．
先求得直线解析式为，即可得出，再根据点与点关于点成中心对称，利用中点公式，即可得到点的坐标．
本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线的解析式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值．
【解答】
解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，
此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
，
的最小值为，
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直角三角形的性质，若要使取得最小值，则需取得最小值连结，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，根据勾股定理可求解，进而求解．
【解答】
解：，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连结，交于点，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点．
则，，
，
又，
，
．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．正确．证明即可．
错误．如果，则结论成立，无法判断，故错误．
正确．利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题．
正确．证明即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，故正确，
，，，
，故正确，
，
，
，
，
，，
，故正确，
无法判定，故错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
的长为的最小值，
的最短周长．
故选：．
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
由，知，是的中垂线知，，所以正确．
三角形的角平分线是线段，错误．
由知，，的周长，正确．
由知，而为锐角三角形，所以不正确．
【解答】
解：由，知，
是的中垂线，
，
，
，
正确，
又，
，
线段是的角平分线而不是射线，
错误，
由，知，
的周长，
正确，
，而为锐角三角形，
错误，
正确的为．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
为的平分线，，
直线垂直平分，
，
，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
．
；
在中，，
．
故选C．
连接，，先根据角分线的定义求出，进而求出，求出，最后根据三角形内角和定理和折叠的性质，问题即可解决．
本题主要考查了等腰三角形以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
10.【答案】
【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，故正确；
作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，正确．
故选：．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定；在上取一点，使，证得≌，得到，再证得≌，得到，进而判定正确；作于，于，根据三角形的面积可证得正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得≌，得到，是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线与三角形面积的求解方法，即可求得正确．
【解答】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，故正确；
设，
；故正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由证明≌得出，，正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，，正确；
作于，于，如图所示：则，由证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；
假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，
≌，
，，故正确；
，
由三角形的外角性质得：
，
得出，，故正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正确；
假设平分，则，
在与中，
≌，
，
，
，
而，故错误；
正确的个数有个；
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形角平分线的性质 作，，根据角平分线性质知道，，，然后根据已知条件列式计算即可．
【解答】
解：作，，
在中，，
根据角平分线性质知道，，，
的周长，
又的周长，
的周长的周长，
四边形的周长，
四边形的周长，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图作于，连接．
垂直平分线段，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
周长的最小值为；
故答案为．
如图作于，连接由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长；
本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【解答】
解：在中，．
当时，如图，
过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
即：，解得：舍去，，
因此，．
当时，如图，此时点与点重合，
由折叠得：，则，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
因此．
故答案为或．
16.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么分别用、和表示出、、，然后根据即可得出、、的关系．根据、、的关系得出，进而求解即可．
【解答】
解：如图，
，，，
，
，
如图，
由上可知：，
即，
．
．
故答案为；．
17.【答案】解：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
；
≌，
，
．
【解析】由证明≌，得出，即可得出的度数；
由全等三角形的性质得出，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18.【答案】解：全等，理由是：
和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌；
如图，由得：≌，
，
都是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
；
如图，过作于，
、、三点在一条直线上，
，
和都是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
．
【解析】依据等式的性质可证明，然后依据可证明≌；
由知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
如图，过作于，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得的长，由三角形面积公式可得的面积，最后根据勾股定理可得的长．
本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
19.【答案】证明：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
．
解：，平分，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
由可知，
【解析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．
首先证明，根据即可解决问题．
20.【答案】解：点、点关于直线对称，，
点在上，
四边形是矩形，
，
，．
，
点是边的中点，
，
，
；
如图，
，．
，
由对称可得，平分，
，
是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
；
如图，
，．
，
由对称可得，，，平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
；
的长为或；
由得，当时，如图或如图，
当时，
第一种情况，如图，
平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，，
；
第二种情况，如图，
平分，
，
过点作于点，设，则，，
，
，，
，
最大值为，
。
综上，长的取值范围为或．
【解析】由题意得点在上，根据含直角三角形的性质即可求解；
由对称可得是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含直角三角形的性质即可求解；
分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出、、的值，即可得出的值，结合中求得的的值即可得出答案。
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
21.【答案】解：如图，
以为顶点，为边作一个角等于，
作出中垂线；
两直线交点为，点即为所求．
【解析】作出线段的垂直平分线，进而作一个角等于得出两直线的交点即可得出答案．
此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线和作一个角等于已知角的基本作图是解题关键．
22.【答案】解：、分别是线段、的垂直平分线，
，，
，
的周长为，即，
；
边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，
，
的周长为，
即，
，
，
．
【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
先根据线段垂直平分线的性质得出，，再根据即可得出结论；
先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为求出的长，进而得出结论．
23.【答案】解：成立；
中、平分、，
，．
，，．
，．
根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：，．
．
故成立．
分，
．
，．
，
．
平分，
．
，
．
，
．
，即．
【解析】根据平行线的性质和角平分线的性质，解出和是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
同，只要求出与是等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形性质及平行线的性质与角平分线的性质；一般是利用等腰等边三角形的性质得出相等的边，进而得出结论是解答本题的基本思路．
24.【答案】证明；是的角平分线，，，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
是的垂直平分线，
即垂直平分．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以证明结论成立．
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