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专题一 平面向量
一、单选题
1．（2022·江苏扬州·高一期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为平面向量，的夹角为，且，，
所以
，
所以.
故选：A.
2．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，，
所以，
因为，所以，解得：.
故选：D
3．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，
在中，，
所以，
故选：B
4．（2022·江苏·昆山经济技术开发区高级中学高一期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【解析】由已知得，，
∵∥，
∴，解得.
故选：B.
5．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A． B． C． D．
【解析】中，不共线，点D在BC上，则，
存在唯一实数t使，
因为为的中点，，而，
所以，所以.
故选：B
6．（2022·江苏宿迁·高一期中）在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
故选:
7．（2022·江苏淮安·高一期中）设为基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）
A．2 B．-4 C．-2 D．3
【解析】因，，则，
因A，B，D三点共线，则，即，，而，
则有，即，又与不共线，于是得，解得，
所以k的值是.
故选：B
8．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知向量满足，，若，则向量的夹角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【解析】由得：，
即，
，解得：或；
，，，
又，.
故选：B.
9．（2022·江苏·昆山经济技术开发区高级中学高一期中）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，为互相垂直的单位向量，所以，，
由题设，，
，则，
，则，
所以，即.
当，可得，此时与的夹角为，不为锐角，
综上，的范围为.
故选：C.
10．（2022·江苏宿迁·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解析】对于A，任何单位向量的模长都相等，但它们不全共线，故A错；
对于B，两个向量的模可以比较大小，但是两向量之间不能比较大小，故B错；
对于C，由知，的方向相同，长度相等，故共线即平行，故C正确；
对于D，0为数量，为向量，向量与数量之间不相等，故D不正确.
故选：C
11．（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】因为
所以选B.
12．（2021·江苏·高一课时练习）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【解析】不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.
故选：D
二、多选题
13．（2022·江苏·高一课时练习）下列结果为零向量的是( )
A． B．
C． D．
【解析】A项，；
B项，；
C项，；
D项，.
故选：BCD.
14．（2021·江苏·高一课时练习）下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，则 D．若，则且
【解析】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．
故选：AB．
15．（2022·江苏省扬中高级中学高一阶段练习）对于任意的平面向量下列说法错误的是（ ）
A．若且，则
B．
C．若，且，则
D．
【解析】对于A，，命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．
故选：ACD．
16．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知向量，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则的值为
B．与垂直的单位向量一定为
C．的最小值为
D．若在上的投影向量为（为与向量同向的单位向量），则
【解析】对于A
即
故A正确
对于B
设，则
所以
故B错误
对于C
，则
故C正确
对于D
在上的投影向量为
则，所以
故D错误
故选：BD
17．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值2
C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2
【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，因为为的重心，所以，则 ，
所以 ，所以，故A正确；
设，则，则，
，故B错误；
不妨设M靠近B，，得，
则，当时，的最小值为：故C正确；
由，且P为内一点，BP=1，则，即，
令，则，
因为，则，所以，
所以的范围是，故D错误.
故选：AC
18．（2021·江苏省镇江中学高一期中）如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在C点时，，
B．当时，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P是线段CE的中点时，，
【解析】选项：因为为的中点，则，
所以，则，所以，，故正确；
选项：当时，点在线段上，故，故错误；
选项：当为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是一条线段，故正确；
选项：当是线段的中点时，
，
所以，故正确，
故选：．
三、填空题
19．（2021·江苏·模拟预测）如图，在矩形中，，，，为的中点，则_______．
【解析】由题意知，则
．
故答案为：5.
20．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量，，共面，则存在实数x，y，使；②若向量，，不共面，则不存在实数x，y，使；③若向量，，共面，，不共线，则存在实数x，y，使；④若，则向量，，共面．其中，正确的个数是______．
【解析】对于①，若，共线，且，不共线，
则不存在实数x，y，使，故①错误；
由共面向量定理可知②、③、④均正确，
故正确的个数是3．
故答案为：3
21．（2022·江苏·金陵中学高一期中）如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为1.则___________.
【解析】易得的夹角为，再由图可得
.
故答案为：
22．（2022·江苏·高一专题练习）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．
【解析】如图所示，
由题意知，，，所以，
所以南北两岸的距离为；
现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，
所以，
即从北岸出发返回南岸的时间是．
故答案为：．
23．（2021·江苏江苏·高一期中）践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，当取得最大值时，的值是______.
【解析】根据边长为3的正三角形的中心易得
由图可得若，当取得最大值时，点一定在顶点处取得，
只需考虑以下情况即可：
当；
当；
当；
当；
当；
；
所以当时，满足最大值，
此时.
故答案为：
24．（2020·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为______.
【解析】，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：．
25．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）已知平行四边形中，，点满足，则________.
【解析】
.
故答案为：.
26．（2021·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知为单位向量，满足，若，则的夹角为，则的最小值为__________.
【解析】由题知，，即，化简得
，
，
因此，令
则，当时，函数单增，
则当时，取最小值为
故答案为：
四、解答题
27．（2019·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，，用，分别表示向量，，，.
【解析】依题意，,,,.
28．（2021·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．
（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求．
【解析】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，
∴，
（2）∵，，与的夹角为，∴，
∴．
29．（2021·江苏·高一课时练习）已知，．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）当为何值时，向量与互相垂直？
【解析】（Ⅰ）由题意；
．
（Ⅱ），
因为向量与互相垂直，
所以，解得．
30．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
【解析】(1)因为C，O，E三点共线，所以有，
即，得，
同理可设，
所以得，，解得.
所以，即.
(2)
，
由（1）可知，，所以，
所以，
令，则，
等号当且仅当，即时，的最小值为.
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专题一 平面向量
一、单选题
1．（2022·江苏扬州·高一期中）已知平面向量，的夹角为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一阶段练习）如图，在中，设，，若点E在上，且，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·昆山经济技术开发区高级中学高一期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
5．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A． B． C． D．
6．（2022·江苏宿迁·高一期中）在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏淮安·高一期中）设为基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）
A．2 B．-4 C．-2 D．3
8．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知向量满足，，若，则向量的夹角为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2022·江苏·昆山经济技术开发区高级中学高一期中）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·江苏宿迁·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
12．（2021·江苏·高一课时练习）设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
二、多选题
13．（2022·江苏·高一课时练习）下列结果为零向量的是( )
A． B．
C． D．
14．（2021·江苏·高一课时练习）下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，则 D．若，则且
15．（2022·江苏省扬中高级中学高一阶段练习）对于任意的平面向量下列说法错误的是（ ）
A．若且，则
B．
C．若，且，则
D．
16．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知向量，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则的值为
B．与垂直的单位向量一定为
C．的最小值为
D．若在上的投影向量为（为与向量同向的单位向量），则
17．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值2
C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2
18．（2021·江苏省镇江中学高一期中）如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在C点时，，
B．当时，
C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．当P是线段CE的中点时，，
三、填空题
19．（2021·江苏·模拟预测）如图，在矩形中，，，，为的中点，则_______．
20．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量，，共面，则存在实数x，y，使；②若向量，，不共面，则不存在实数x，y，使；③若向量，，共面，，不共线，则存在实数x，y，使；④若，则向量，，共面．其中，正确的个数是______．
21．（2022·江苏·金陵中学高一期中）如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为1.则___________.
22．（2022·江苏·高一专题练习）有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是__________．
23．（2021·江苏江苏·高一期中）践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，当取得最大值时，的值是______.
24．（2020·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为______.
25．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）已知平行四边形中，，点满足，则________.
26．（2021·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知为单位向量，满足，若，则的夹角为，则的最小值为__________.
四、解答题
27．（2019·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，，用，分别表示向量，，，.
28．（2021·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．
（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求．
29．（2021·江苏·高一课时练习）已知，．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）当为何值时，向量与互相垂直？
30．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
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