第六讲一元二次方程的解法及根的判别式

第六讲 一元二次方程的解法及根的判别式
一、知识要点与基本方法
形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
根的判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题.
二、例题精讲
【例1】解关于的一元二次方程：
（1）． （2）
【例2】若，，则的值为 ．
【例3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) (山西省中考题)
A． B． C．且 D．且
【例4】如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( )
A．2 B．1 C．0 D．不能确定
【例5】是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
三、练习题
1．关于的一元二次方程32-(2a-5)-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．
2．已知：关于的方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.（北京市，2005改编）
3．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 ．
4．已知：m2+m-1= 0 , 那么代数式m3+2m2-2007的值是 ( ).
A. 2006 B. -2006 C. 2007 D. -2007.
5．已知，那么代数式的值是 ．
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． (广西中考题)
7．已知，若方程有两个相等的实数根，则= ．
8．已知，求代数式的值．
9．已知关于的方程,求证：无论m取什么实数，方程总有实数根.
10．当= ， = 时，方程有实数根．(全国初中数学联赛试题)
11.关于的一元二次方程a2+b+c=0
（1）当a、c异号时，试证明该必有两个不相等的实数根；
（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还必须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程，然后解这个方程.
12.已知关于的方程，(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． (湖北省荆门市中考题)
四、自我检测题
1．关于的方程有两个不相等的实根,求的取值范围.
2．关于的方程有两个实数根,求的取值范围.
3．当分式有意义时，的取值范围是( )
A． B． C． D．且
4．若关于的一元二次方程x2－3x＋m=0有实数根，则m的取值范围是 .（北京市，2006）
5．若两个方程和只有一个公共根，则( )
A．= B．+=0 C．+=1 D．+=-1
6．已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 ．
7．若，则＝ ．
8．若关于的方程有两个不等的实数根，则的取值范围是 ．(辽宁省中考题)
9．若关于的方程有两不等实根，= ．
10．已知一直角三角形的三边为、、，∠B＝90°，则关于的方程的根的情况为( ) (河南省中考题)
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
11.如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( ) (2003年河南省中考题)
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
12.已知：a、b、c为ΔABC的三边，方程2+2(a+c–b)+2ac-b2 =0有两个相等的实数根.
（1）求证：ΔABC为等边三角形.
（2）若方程22+2k(a+c)+2ack2+5k-6=0有两个不相等的实数根，求k的范围.