北师大版 八年级下册 1.4.1角平分线 导学案（无答案）

1.4.1 角平分线
【学习目标】：
1.能够证明角平分线的性质定理、判定定理.
2.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决问题.
【学习重点】：角平分线性质定理与判定定理及其的应用．
【学习难点】：角平分线的判定定理的证明．
【学习过程】：
【一、预学】：
1、提出问题，创设情境：
问题（1）：①用尺规作∠AOB的角平分线OM，说说你的作法；
②在0M上取一点P，画出点O到OA，OB的最短路线；
③点P到OA，OB边的距离有怎样的数量关系？
目标导引，预学探究：
问题（2）：由问题（1），你能想到角平分线有什么性质？怎样证明角平分线具有这一性质？
问题（3）：用所学知识证明上面归纳出的结论.
定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
问题（X）：
归纳结论：角平分线的性质：角平分线上的点到______________________(这一性质可用于说明线段相等，它体现的是点到线的距离关系）.用符号语言描述这一性质如下：
练一练：如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，求AE+DE的长.
【二、研学】（合作发现，交流展示）
探究一：角平分线的判定定理
（1）将角平分线的性质定理改写成“如果......那么......”,并写出这个定理的逆命题的逆命题，它是真命题吗？如果是，请证明.
用所学知识证明：
定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
求证：OP平分∠AOB.
探究二：【典例解析】
例1：在△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
总结归纳：1、角平分线的性质：_____________________________________________________
2、角平分线的判定:___________________________________________________.
【三、评学】
1、积累巩固：（1）课本P29页随堂练习.
（2）利用尺规作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
（3）已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
(4)如图，在△ABC中，∠C = 90°,∠A=30°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE.证明：BE平分∠ABC,你有几种证明方法？
2、拓展延伸：某地有两所大学和两条相互交叉的公路，如图所示点C、D表示大学，AO、BO表示两条公路.现计划修建一座体育馆，希望体育馆到两所大学的距离相等，到两条公路的距离相等.请在图中画出体育馆P的位置，并说明理由.(保留作图痕迹）
【课堂小结】：通过本课学习，你掌握了哪些知识？获得了哪些技能？还存在什么疑问？
问题（3）图