4.1.2指数函数的性质与图像 学案（Word版无答案）

指数函数的图像和性质
【学习目标】
1. 通过实际例子概括、理解和掌握指数函数的图像和性质。
2. 通过具体例子了解指数函数随底数变化而变化的趋势。
3. 通过练习使学生掌握指数函数图像和性质的简单应用，培养学生应用函数的图像和性质解决问题的能力。
【学习重点】
指数函数的图像和性质。
【学习难点】
指数函数性质的应用。
【学习过程】
养成解题前画图的好习惯：图形是一种直观形象的数学语言，画图可以调动学生的思维活动，加深数学概念的理解与记忆，提高学生的自学能力，提高学习效率，培养学生的空间想象能力，为培养逻辑推理能力打下良好的基础；同时可以使学生很容易从图形中发现解决问题的方法途径；希望同学们在解题前根据具体情况画出适当的图形，坚持每节课画出一个准确的图形。
知识链接：
1.函数﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫作指数函数；其定义域是﹍﹍﹍﹍。
2.实数指数幂的三条运算性质是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍其中a>0,b>0。
3.指数函数和图像的相同点是：都位于﹍﹍﹍，都过﹍﹍﹍；不同点是：函数的图像是﹍﹍﹍；函数的图像是﹍﹍﹍﹍。
4．我们通过列表、描点、连线的方法画出、；、 的图像，试比较概括出一般指数函数的图像和性质：
（1）通过观察图像（1）、（2）可知：图像左右延伸无止境，说明函数的定义域是
﹍﹍；﹍﹍﹍﹍和﹍﹍﹍﹍的图像自左向右是上升的；﹍﹍﹍﹍和﹍﹍﹍﹍的图像自左向右是下降的；所有图像都位于﹍﹍﹍﹍轴的上方；说明函数的值域是﹍﹍﹍﹍，图像都过点﹍﹍﹍﹍，即x=﹍﹍﹍﹍时y=﹍﹍﹍﹍。
（2）在同一坐标系中函数﹍﹍﹍﹍和﹍﹍﹍﹍的图像；﹍﹍﹍﹍和﹍﹍﹍﹍的图像关于y轴对称。
y= y y= y= y y=
y=1 y=1
(0,1) (0,1)
0 x 0 x
（1） （2）
5．一般地，指数函数在a＞1和0＜a＜1这两种情况下的图像和性质总结如下：
a>1 0图 像 y y=(a>1) y=(0性 质 （1）定义域：﹍﹍﹍﹍（2）值域：﹍﹍﹍﹍ （3）过点（0,1），即x=0时y=﹍﹍﹍﹍（4）当x>0时，y>1； （4）当x>0时，0请同学们思考:（1）函数是一种映射，指数函数反映了实数与﹍﹍﹍﹍﹍之间的一种一一映射。也就是说单调函数一定是﹍﹍﹍映射。
（2）当函数y=与函数y=（即函数y=）的自变量的取值互为相反数时，其函数值是相等的，这两个函数的图像是关于﹍﹍﹍﹍轴对称的。
一、基础练习：
（C级）1．利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的大小（请写出过程）：
（1）； （2）。
（C级）2．（1）求使不等式成立的x的集合；（2）已知，求数a的取值范围。
二、自我检测：
（C级）（1）利用指数函数的性质比较下列两个数的大小：
1 ； ②。
（C级）（2）已知-1（C级）（3）设f(x)=，求证：（1）f(x)·f(y)=f(x+y)；（2）f(x)÷f(y)=f(x-y)
能力提升：
（D级）1．在同一直角坐标系中作出下列函数的图像，讨论它们之间的关系：
（1）； （2）。
因此，可得以下结论：一般地，
①当a>b>1时，指数的函数图像恒过（0，1）点，即x=0时；x<0时，有；x>0时，有；其底数越大，x>0时其函数值增长越﹍﹍﹍﹍。
②当00时，有；x<0时，有；其底数越小，x>0时其函数值减小越﹍﹍﹍﹍。
（D级）2．已知，比较，，的大小。
【作业布置】
（C级）1．求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）； （2）； （3） y=； （4）y=。
（选作题D级）2．在同一直角坐标系中画出下列函数的图像，讨论它们之间的联系：
（1）； （2）。
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