第六单元《平行四边形》单元测试卷（困难）（含解析）

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北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》单元测试卷
考试范围：第六章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，点为 外一点，连接、、、，若的面积为，的面积为，则的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，在 中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论：
≌；
；
是等边三角形；
．
一定正确的有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在 中，，是的中点，作于点，连接、，下列结论；；；其中正确的个数是
A. B. C. D.
在面积为的平行四边形中，过点作于点，作于，若，，则的值为
A. B.
C. 或 D. 或
如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：，其中成立的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
不能判定四边形是平行四边形的条件是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论；；；；，正确的个数是
A. B. C. D.
在 中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为
A. B. C. 或 D. 或
在等腰三角形中，，点是底边上一个动点，点、分别是、的中点，若的最小值为，则的周长是
A. B. C. D.
点，，，在同一平面内，有以下条件：，，，，从四个条件中任意选取两个，能使四边形是平行四边形的选法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺的长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合．已知，、分别是、上的动点，当四边形
为平行四边形时，平行四边形的面积是
A. B. C. D.
如图，在中，，分别为，的中点，，，，则的长为
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于______．
如图，在 中，是对角线，，点是的中点，平分，于点，连接已知，，则的长为______ ．
如图，在平行四边形中，，，，作对角线的垂直平分线，分别交对边、于点和点，则的长为______．
如图，点，点，连接，点、分别是、的中点，在射线上有一动点当时，点的坐标是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接．
若，，，求的面积．
若，，求证：．
如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以每秒的速度沿折线段运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时发，设运动时间为秒．
求的长；
当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；
在点运动过程中，当______秒的时候，使得的面积为．
如图，在梯形中，，，，，一动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点同时从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为秒．
当为何值时，四边形是平行四边形；
当为何值时，是以为腰的等腰三角形．
已知，如图，在 中，，，，
求边上的高的长；
求 的面积．
已知：如图，在 中，对角线，相交于点，点，在上，点，在上，且，．
若，，试求的取值范围；
若，，试求的度数；
求证：四边形是平行四边形．
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线：与直线：相交于点，且直线交轴于点．
填空：______，______；
在坐标平面内是否存在一点，使以、、、四点为顶点的四边形是矩形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
图中有一动点从原点出发，沿轴的正方向以每秒个单位长度的速度向上移动，设运动时间为秒．若直线能与轴交于点，当为等腰三角形时，求的值．
如图，在 中，对角线、相交于点，，、为直线上的两个动点点、始终在 的外面，且，，连接、、、．
求证：四边形为平行四边形．
若，，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
若平分，，求四边形的周长．
24.如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且，满足动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为秒．
求，两点的坐标；
当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时，两点的坐标；
当为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出，两点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与交于点，设点到的距离为，和之间的距离为，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
，
即的面积是，
故选：．
根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2.【答案】
【解析】解：、是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，
≌，故正确；
，
，
，故正确；
同理可得：，
，，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果，则是的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误．
正确．
故选：．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
3.【答案】
【解析】解：如图延长交的延长线于，取的中点连接．
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，故正确，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，故错误，
故选：．
延长交的延长线于，取的中点连接想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
如图中：由平行四边形面积公式得：，
，．
在和中，由勾股定理得：，把，代入求出，
即在延长线上．同理，即在上如图，
，，即．
如图中：，，
在中，由勾股定理得：，
同理，
，，
．
综上可得：或．
故选：．
根据平行四边形面积求出和，有两种情况，求出和的值，相加即可得出答案．
本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．
5.【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
是等边三角形，
，，
，
，，故错误
由可得，
，
，故正确
，
为的中点，
，
，
，
，故正确
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故正确的有个，故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
【解答】
解：“，”是四边形的两组对边分别相等，可以判定四边形是平行四边形，故本选项错误；
B.由得到，结合、可以判定≌，则，根据一组对边相等且平行可以判定四边形是平行四边形，故本选项错误；
C.“，”是四边形的两组同旁内角相等，不可以判定四边形是平行四边形，故本选项正确；
D.由可以推知，结合，根据四边形的一组对边平行且相等，可以判定四边形是平行四边形，故本选项错误．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；根据三角形中位线定理可作判断．
【解答】
解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
在中，，
，
故正确；
由知：，
，
故正确；
由知：是的中位线，
，
，
，
故正确；
本题正确的有：，共个．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：如图，在 中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
在 中，，，，，
，，
平分交于点，平分交于点，
，，
，，
，，
，
，
；
综上所述：的长为或．
故选：．
分两种情况分别求解关键是判断出，即可得解．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，考查分类讨论思想，属较难题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定点的位置是解题的关键．
本题首先要明确点在何处，通过关于的对称点，根据勾股定理就可求出的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出、、的长，从而得到的周长．
【解答】
解：作点关于的对称点，连接，则与的交点即是点的位置，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
即：当最小时在的中点，
，
，
的周长为：．
故选：．
10.【答案】
【解析】选利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形
选利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形
选为一组对边平行，另一组对边相等，不确定四边形是平行四边形
选一组对边平行，另一组对边相等，不确定四边形是平行四边形
选利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形
选利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含度的直角三角形的性质正确的识别图形是解题的关键．
在 中，，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：在 中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．作于，延长交的延长线于点，由直角三角形的性质得出，得出，，证明≌，得出，，求出，，，在中，由勾股定理得：，即可得出的长．
【解答】
解：作于，延长交的延长线于点，如图所示：
则，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别为，的中点，
，，
在和中，，
≌，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
；
故选D．
13.【答案】或
【解析】解：过作于，
在中，，，
，
由勾股定理，，
在中，，
，
如图，，
平行四边形的面积，
如图，，
平行四边形的面积，
故答案为：或．
过作于，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
14.【答案】
【解析】解：如图，延长、交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点是的中点，，
，
故答案为：．
延长、交于点，由“”可证≌，可得，，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作，交的延长线于，
平行四边形中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
垂直平分，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
连接，过点作，交的延长线于，设，则，，再根据勾股定理，即可得到的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
16.【答案】．
【解析】解：点，点是的中点，
，
点、分别是、的中点，
，，
在中，，
，点是的中点，
，
则，
点的坐标是，
故答案为：．
根据题意求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据坐标与图形性质解答．
本题考查的是考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】解：作于，如图所示：
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，即，
，
，
，
；
证明：连接，如图所示：
，，，
，
，
在和中，，
≌，
，，
，，，
，，
在和中，，
≌，
，
又，
，
．
【解析】作于，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程得出，即，得出，求出，由三角形面积公式即可得出结果；
连接，证明≌得出，，再证明≌得出，由，得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：如图中，作于．
，
四边形是矩形，
，，
在中，，，，
，
．
当四边形为平行四边形时，点在上，点在上，
由题知：，，
，解得，此时，，
，
四边形的周长．
当点在线段上时，即时，如图中，，解得．
当点在线段上时，即时，如图中，，，
可得
化简得：，，所以方程无实数解．
当点在线段上时，
若点在的右侧，即，则有，解得，舍去，
若点在的左侧，即，则有，，
解得．
综上所述，满足条件的存在，其值分别为或．
故答案为或．
如图中，作于则四边形是矩形解直角三角形求出即可解决问题．
当四边形为平行四边形时，点在上，点在上，根据构建方程解决问题即可．
分三种情形：当点在线段上时．当点在线段上时．当点在线段上时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形或特殊四边形，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
19.【答案】解：当四边形是平行四边形时，，
，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
过点作于点，
，，
当时，，
，
，
解得：，
当时，；
当时，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
当时，．
综上所述：当为或时，是以为腰的等腰三角形．
【解析】当四边形为平行四边形时，，即，可将求出；
过点作于点，可得，，
当时，列式计算即可求出；当时，根据勾股定理得可将求出．
本题考查了梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．
20.【答案】解：在 中，
在直角三角形中，．
．
【解析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据直角三角形的知识进行求解；
根据平行四边形的面积等于底乘以高进行计算．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的各角之间的关系：对角相等，邻角互补是解题的关键．
21.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
．
，，
，
四边形是平行四边形，
．
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形．
【解析】在中求出、，即可利用三边关系确定的范围；
由四边形是平行四边形，可知，求出即可；
只要证明，即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】
【解析】解：经过点，
，
，
把代入，
，
，
故答案为，．
如图中，
与直线：垂直，
以、为邻边构造平行四边形，则四边形是矩形．连接交于，
，
，设，
则有：，，
解得，，
如图中，
由题意：，
当点在轴的负半轴上时，，
，
设直线的解析式为，则有，解得，
，
．
当点在轴的正半轴上时，，
，
设直线的解析式为，则有，解得
，
．
当时，，
设直线的解析式为，则有，解得
，
．
当时，线段的中垂线的解析式为，
，
直线的解析式为
，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
利用待定系数法即可解决问题；
首先说明，以、为邻边构造平行四边形，则四边形是矩形．连接交于，求出点坐标，再利用中点坐标公式计算即可；
分四种情形讨论求解即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、待定系数法、矩形的判定和性质、中点坐标公式、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
四边形为平行四边形．
上述结论成立，由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
在 中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
【解析】由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
24.【答案】解：，
即，，
，．
，，
．
，；
由题意，得，，
，．
当时，四边形是平行四边形，
，
解得．
，；
当时，过作，
由题意，得，则解得．
，．
当时，过作轴，由题意，得
，，则．
解得．
，．
综上所述：，；，．
【解析】此题主要考查了坐标与图形的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、二次根式的性质、分类讨论思想等知识点的综合应用．
根据二次根式的性质得出，的值进而得出答案；
由题意得：，，，，根据平行四边形的判定可得，再解方程即可；
当时，，解方程得到的值，再求点坐标；
当时，由题意得：，，进而得到方程，再解方程即可．
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