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第四章 三角形
【提升评测】
一、单选题
1．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
2．如图，中，点D、E、F分别在边、、上，D是的中点，，四边形的面积为6，则的面积为（ ）
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A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【分析】
连接AD，设ABC的面积为S，用S表示出ADE和ADF的面积，再由面积的和差列出S的方程便可得解．
【详解】
解：连接AD，设ABC的面积为S，
∵D是BC的中点，
∴，
∵AE＝2BE，CF＝2AF，
∴，
，
∵四边形AEDF的面积为6，
∴，
∴S＝12，
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故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中线性质，等高的三角形的面积与底边的关系，关键是用ABC的面积表示出四边形AEDF的面积．
3．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】
解：∵是的一条角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
A.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；
B.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
C.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（ ）
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A．3cm B．5cm C．14cm D．13cm
【答案】B
【分析】
延长AD至M使DM=AD，连接CM，根据SAS得出，得出AB=CM=4cm，再根据三角形的三边关系得出AC的范围，从而得出结论；
【详解】
解：延长AD至M使DM=AD，连接CM，
∵是的边上的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠CDM,
∴，
∴MC=AB=5cm，AD=DM=4cm，
在中，3＜AC＜13，
故选：B
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC长度的取值范围是解题的关键．
5．如图，已知D、E分别是边AB，BC上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
S△ADF S△CEF＝S ( http: / / www.21cnjy.com )△ABE S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【详解】
解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，
∵S△ABE S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD） （S2＋S四边形BEFD）＝S1 S2＝3-2=1，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．
6．如图，△ABC是一个什么三角形？（ ）请说明理由．
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A．等腰三角形； B．等边三角形
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案．
【详解】
如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°，
在和中：
∴，
∴∠ABE=∠BCF，AB=BC，
又∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴为等腰直角三角形，
故选：D
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7．如图，△ABC是一个什么三角形？（ ）请说明理由．
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A．等腰三角形； B．等边三角形
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案．
【详解】
如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°，
在和中：
∴，
∴∠ABE=∠BCD，AB=BC，
又∵∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：D．
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8．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】
解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
9．下列条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）
A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′ B．AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′
C．∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，∠C=∠C′，BC=B′C′
【答案】B
【分析】
三条边分别对应相等的两个三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．依据上述方法进行判断即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：当AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′时，可以由SAS判定△ABC和△A′B′C′全等,故A选项可以；
当AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′时，不能判定△ABC和△A′B′C′全等，∠B和∠B′不是对应边的夹角，故B选项不可以；
当∠B=∠B′， ∠C=∠C′，AB=A′B′时，可以由AAS判定△ABC和△A′B′C′全等，故C选项可以；
当∠B=∠B′， ∠C=∠C′，BC=B′C′时，可以由ASA判定△ABC和△A′B′C′全等，故D选项可以．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解题时 ( http: / / www.21cnjy.com )注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
10．如图，∠ABC＝90°，BD⊥AC，下列关系式中不一定成立的是（ ）
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A．AB＞AD B．AC＞BC C．BD+CD＞BC D．CD＞BD
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边大于直角边判断A、B、D选项，根据三角形的三边关系判断C选项．
【详解】
解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＞AD，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＞BC，
∵BD+CD＞BC，
∴选项A，B，C正确；
∵∠BDC＝90°，
∴CD不一定大于BD，
∴选项D不一定成立，
故选：D．
【点睛】
此题考查直角三角形斜边大于直角边的性质，三角形的两边和大于第三边的性质，熟记性质并熟练运用是解题的关键．
11．如图，已知，，且，，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知可得△ABC≌△AD ( http: / / www.21cnjy.com )E，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度数，进而得∠GFD的度数，在△FGD中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF的度数．
【详解】
在△ABC和△ADE中
∴ △ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC=∠DAE
∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°
∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°
∴∠GFD=90°
在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC的度数．
12．如图，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用垂直定义及同角的余角相等可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AEC＝∠D＝∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm，由此即可求出DE的长．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵AE⊥CE，BD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE＝CD，CE＝BD，
∵AE＝5cm，BD＝2cm，
∴DE＝CD CE＝5 2＝3cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
13．已知线段，下面有四个说法： ①线段长可能为；②线段长可能为；③线段长不可能为；④线段长可能为．所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
直接利用当A，B，C在一条直线上，以及当A，B，C不在一条直线上，分别分析得出答案．
【详解】
解：∵线段AB＝8cm，AC＝6cm，
∴如图1，A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB AC＝8 6＝2（cm），故①正确；
如图2，当A，B，C在一条直线上，
∴BC＝AB＋AC＝8＋6＝14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C不在一条直线上，
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8 6＜BC＜8＋6，
故线段BC可能为5或9，故③错误，④正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论是解题关键．
14．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）
①；
②；
③若，则；
④若，则．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解 再利用结论②可判断③，由，先求解 如图，记交于 再求解 再利用三角形的外角的性质求解 从而可判断④．21cnjy.com
【详解】
解：
故①符合题意，
故②符合题意；
故③不符合题意；
如图，记交于
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故④符合题意，
综上：符合题意的有①②④．
故选：
【点睛】
本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2-1-c-n-j-y
15．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
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A．1.5 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=，进而得出 CEB ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．
【详解】
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=，
∴∠EBC=∠DCA，
在 CEB和 ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴ CEB ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
16．已知线段，，则，两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．或
D．大于等于且小于等于
【答案】D
【分析】
此题并没有说A，B，C是否共线，若共线，则是7cm或3cm，若不共线，则构成一个三角形，第三边大于两边之差，小于两边之和．
【详解】
∵线段AB＝5cm，BC＝2cm，
∴可知A、C两点间的距离不小于3cm且不大于7cm，
故选：D．
【点睛】
此题考查了两点间的距离，应注意讨论三点是否共线．
17．a、b、c是三角形的三边长，化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由三角形的三边关系，得到，，，然后根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴，，，
∴
=
=
=；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．
18．如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（ ）
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A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【分析】
分别讨论的反向延长线恰好平分锐角和在的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案．
【详解】
∵，
∴，
①如图，当的反向延长线恰好平分锐角时，
∴，
此时，三角板旋转的角度为，
∴；
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②如图，当在的内部时，
∴∠CON=∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴；
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∴的值为：5或23．
故选：．
【点睛】
本题考查角平分线的定义及角的运算，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
19．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）
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A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义及角平分线的性质判断A，利用对顶角的性质判断B，利用邻补角的性质判断C，根据余角的定义判断D．
【详解】
∵于点O，
∴∠AOE=,
∵OF平分，
∴∠2=，故A正确；
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3，故B正确，
∵,
∴与互为补角，故C正确；
∵，
∴的余角=，故D错误，
故选：D．
【点睛】
此题考查垂直的定义，角平分线的性质，对顶角的性质，余角的定理，邻补角的性质，几何图形中角度的计算，熟记各定义及性质是解题的关键．
20．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．若AC=5，则DF=___．
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A．10 B．6 C．5 D．2
【答案】C
【分析】
根据BE=CF，求出BC=EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出对应边相等即可．
【详解】
∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF=5（全等三角形对应边相等）．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的对应边相等．
21．已知：如图，BD为△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
易证，可得，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得 ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD为∠ABC的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，
∴△(SAS)，故①正确；
∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正确；
作EG⊥BC，垂足为G，如图所示：
∵ E是BD上的点，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中
∴ △BEG≌△BEF，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正确；
故选：D．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
22．如图∠E＝∠F＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B＝∠C，BE＝CF，给出下列结论： ①AE＝AF；②∠1＝∠2；③△ACN≌△ABM；④CM＝BN．其中正确的结论有（ ）
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
【答案】A
【分析】
证明得到①，由这个全等得，可以证明②，，得到，就可以证明③，根据得，即可证明④．
【详解】
解：在和中，
，
∴，
∴，故①正确，
∴，
∴，
∴，故②正确，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故③正确，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．
23．图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（ ）
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A．点D B．点C C．点B D．点A
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定即可解决问题．
【详解】
解：观察图象可知△MNP≌△MFD．
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故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：
①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定 ( http: / / www.21cnjy.com )在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】
三角形有三条中线对①进行判断；钝 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形三条高，有两条在三角形外部，对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据三角形的分类对④进行判断．
【详解】
①三角形有三条中线，故①错误；
②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误；
③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；
④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，故④正确；
综上，选项①②③错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的有关概念，属于基础题型．要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．
25．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
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A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
【答案】C
【分析】
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
26．下列各组条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的判定逐一分析即可．
【详解】
解：A、根据SAS即可判定全等，该项不符合题意；
B、根据SSA不能判定全等，该项符合题意；
C、根据SAS即可判定全等，该项不符合题意；
D、根据ASA即可判定全等，该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
27．如图，在中，，是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
三角形的重心即三角形各边中线的交点，再由题中AB=AC，进而可得出题中所有的全等三角形．
【详解】
∵G是三角形的重心，
∴D、E. F分别是AB、AC、BC的中点，
又AB=AC，
∴△ABF≌△ACF,△ABG≌△ACG, ( http: / / www.21cnjy.com )△ADG≌△AEG,△BGF≌△CGF,△BCD≌△CBE,△BDG≌△CED,△ACD≌△ABE，
共7对全等三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的重心，掌握全等三角形的性质和判定的应用为解题关键．
28．已知三角形的两边长分别为3和8，且周长恰好是5的倍数，那么第三边的长为（ ）
A．4 B．9 C．14 D．4或9
【答案】B
【分析】
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边的范围，再找出是5倍数的数即可．
【详解】
∵三角形的两边长分别为3和8
∴5<第三边长<11
∴11<周长<22
∵周长恰好是5的倍数
∴周长是15或20
∴第三边长是4或9
∵3,4,8不能组成三角形
∴第三边是9
故选B．
【点睛】
本题考查知识点是三角形三边关系，记住三边关系式解题关键．
29．下列说法错误的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】
根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线定义进行分析即可．
【详解】
解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
②平面内，不相交的两条直线必平行，故原题说法错误；
③三角形的三条高线交于一点，应该是三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误：
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误．
错误的说法有5个，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查真假命题的判断，正确理解各相关概念是解题关键．
30．如图，直线，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( )21*cnjy*com
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A．105° B．110°
C．115° D．120°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，，
，
，
，
，
，
故选：C．
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【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形的外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
31．在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（ ）
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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】
利用全等三角形的判定定理一一排查即可．
【详解】
如图1中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
，BE=FC=2，
∠B=∠C，
BF=CG=3，
△EBF≌△FCG（SAS），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
如图2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
BE=CG=3，
∠B=∠C，
BF=CF=2.5，
△BEF≌△CGF（SAS），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
如图 3，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EFG=，
∴∠BEF+∠EFB=180 -x =∠EFB+∠GFC，
∴∠BEF=∠GFC，
BE的对应边是FC，相等情况不确定，
△BEF与△CGF全等不确定，
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EFG=，
∴∠BEF+∠EFB=180 -x =∠EFB+∠GFC，
∴∠BEF=∠GFC，
EB=FC=2，
∠B=∠C，
△BEF≌△CFG（ASA），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选择：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，关键是 ( http: / / www.21cnjy.com )熟练掌握全等三角形的判定方法，从图形中找到三角形全等的条件是否充足，够条件可以断定，条件不够或不确定就不断定．21教育名师原创作品
32．如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过顶点与角尺顶点的射线便是的平分线．这样的作法所运用的原理是三角形全等的判定，该判定方法是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据作图过程可得OM=ON，MC=NC，再利用SSS可判定△MCO≌△NCO．
【详解】
解：∵在△MCO和△NCO中
，
∴△MCO≌△NCO（SSS），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．
33．如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠DGB的度数为（ ）
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A．66° B．56° C．50° D．45°
【答案】A
【分析】
先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得的度数，然后根据对顶角相等可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
，，
，
，，
，
解得，
，
在中，，
，
，
解得，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
34．如图，平分和，若，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出．
【详解】
解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵的外角和的外角是同角，
∵，，
∵平分和，
∴，，
∴，，
∵在中，，
在中，
∴，；
∵，
∴，
，
整理得，，
化简得，
将，代入，解得，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键．
35．已知：如图在△ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由△ABD≌△ACE得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=180°．
【详解】
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=360°-90°-90°=180°，本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
36．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.
【详解】
解：∵与都是等边三角形
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC
即∠DAC=∠EAB
∴
∴，①正确；
∵
∴∠ADO=∠ABO
∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确
∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB
∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB
∴,③错误
∵
∴∠DAC+∠BCA=180°
∵∠DAB=60°，
∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°
∵∠ACE=60°
∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°
∴④正确
故由①②④三个正确，
故选C
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21*cnjy*com
37．如图，在△ABC中，AD是BC边上的 ( http: / / www.21cnjy.com )高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF． 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
由题意易得，根据全等三角形的性质可进行分析排除．
【详解】
解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC，∠FAC=∠FAB+∠BAC，
∠BAG=∠FAC，AB=AF，AC=AG，，
BG=FC，∠AGB=∠ACF，故①正确；
∠AGC=∠AGB+∠BGC，∠GCF=∠ACF+∠GCA，∠GCA=∠AGC，
∠BGC+∠FCG=∠AGC-∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，
BG⊥CF，故②正确；
∠FAE+∠BAD=90°，AD⊥BC，
∠BAD+∠ABD=90°，∠FAE=∠ABD，故③正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，设GH与FC交于H点，连接EH，由①②③易得∠FHE=∠EHF，所以EF=EH，
即EF=EH=EG，故④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
38．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【详解】
解：分两种情况：
①如图平分时，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
即，
解得；
②如图平分时，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
即，
解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．
故选：．
【点睛】
本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
39．如图，△ABC的面积为．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】
解：连接A1C，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝A1B，
∴△ABC与△A1BC的面积相等，
∵△ABC面积为1，
∴＝1．
∵BB1＝2BC，
∴＝2，
同理可得，＝2，＝2，
∴＝2+2+2+1＝7；
同理可得：△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作．
故选：A．
【点睛】
考查了三角形的中线的性质和三角形的面积，属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据规律求解．
40．如图，AB∥CD，点E为 ( http: / / www.21cnjy.com )AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
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A．90° B．95° C．100° D．150°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），过G作，先根据平行线的性质、角的和差得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，联立求解可得，最后根据角平分线的定义可得．
【详解】
如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为、的角平分线
∴，
∵
∴
解得
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
二、填空题
41．如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则__________．
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【答案】
【分析】
根据折叠性质得出∠C′=∠C=35°，根据三角形外角性质得出∠DOC=∠1-∠C=73°，∠2=∠DOC-∠C′=73°-35°=38°．
【详解】
解：如图，设与交于点O．
∵根据折叠性质得出，
，
，
．
故答案为：．
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【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
42．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．
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【答案】52.5
【分析】
延长CO交PQ于点F，根据∠COE=∠CFE+∠OEF，结合平行线的性质，角的平分线的定义计算；
【详解】
延长CO交PQ于点F，则∠COE=∠CFE+∠OEF，
∵，，CO平分，EO平分，
∴∠BCF=30°，∠OEF=22.5°，
∵，
∴∠BCF=∠CFE，
∴∠COE=30°+22.5°=52.5°，
故答案为：52.5°．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，三角形外角定理，延长构造三角形外角，活用平行线的性质是解题的关键．
43．如图所示，直线，，，则_________．
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【答案】
【分析】
结合题意，根据平行线性质，得；再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线和三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形外角的性质，从而完成求解．
44．已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．
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【答案】90°或30°
【分析】
先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ的度数．
【详解】
解：①如图：
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∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：
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易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ ∠EQP＝30°．
综上所述：90°或30°．
故答案是：90°或30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的未知数，列出方程，是解题的关键．www.21-cn-jy.com
45．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为_______．
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【答案】12
【分析】
由BE⊥AE，CF⊥AE，得∠BED= ( http: / / www.21cnjy.com )∠CFD，再由D是EF的中点，得ED=FD，根据角边角公里可得出△BED与△CFD全等，进而可得CF=EB=4，然后可得CF=4，再计算出AD的长，利用三角形面积公式可得答案．
【详解】
解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD，
∵D是EF的中点，
∴ED=FD，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA）．
∴CF=EB=4，
∵AF=CF，
∴AF=4，
∵D是EF的中点，
∴DF=DE=2，
∴AD=6，
∴△ACD的面积：．
故答案为：
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，判定一般三角形全等有SSS、SAS、ASA、AAS，判定两个直角三角形全等还有HL．【版权所有：21教育】
三、解答题
46．如图，为的中线，为的中线，过点E作垂直，垂足为点F．
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（1），，，求的度数；
（2）若的面积为30，，求．
【答案】（1）72°；（2）3
【分析】
（1）根据∠ABC和∠EBD得到∠ABE，再根据三角形外角的性质得到结果；
（2）根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△BDE=，根据三角形面积公式求得CD=BD=3．
【详解】
解：（1）∵∠ABC=35°，∠EBD=18°，
∴∠ABE=35°-18°=17°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD
=17°+55°
=72°；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ABC，
又∵S△ABC=30，
∴S△ABD=×30=15，
又∵BE为△ABD的中线
∴S△BDE=S△ABD，
∴S△BDE=×15=，
∵EF⊥BC，且EF=5
∴S△BDE= BD EF，
∴ BD×5=，
∴BD=3，
∴CD=BD=3．
【点睛】
本题涉及到三角形外角的性质、及三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，涉及面较广，但难度适中．
47．如图所示，点是线段上—点，是过点的一条直线，连接、，过点作交于，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若，求的长；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）5；（2）见解析
【分析】
（1）根据ASA证明△AEM≌△BFM即可得到结论；
（2）根据ASA证明△ACE≌△BDF得到 CE=BF，根据线段的差即可得结论．
【详解】
解：（1）∵
∴
在和中，
∴
∴BF=AE=5；
（2）证明：∵，
∴
∴
又
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键．
48．如图，中，．
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（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的高；
（3）中，所对的角是______，边上的高是________；
（4）若时，则________．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）∠BAH，BH；（4）．
【分析】
（1）根据中线的定义画图即可；
（2）根据高线的定义画图即可；
（3）根据边角关系和高的定义即可得出答案；
（4）根据等面积法计算即可．
【详解】
解：（1）如图所示；
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（2）如图所示；
（3）中，所对的角是∠BAH，边上的高是BH，
故答案为：∠BAH，BH；
（4）若时，，
即，解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查作高线和中线，三角形中边角关系．掌握相关定义和等面积法是解题关键．
49．如图，和的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）利用平行线证，再用“角角边”证明全等即可；
（2）根据全等证，再用平行线判定定理证明即可．
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质和平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用相关定理进行证明．
50．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
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【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】
（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
【详解】
解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质．
51．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）BE=3．
【分析】
（1）根据平行线的性质由AB∥DE得到∠ABC＝∠DEF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形全等的性质可得BC＝EF，由此可求出BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE．
【详解】
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC－EC＝EF－EC，
即BE＝CF，
∵BF＝11，EC＝5，
∴BF－EC＝6．
∴BE＋CF＝6．
∴BE＝3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
52．已知：在和中，，．如图，若，试探究与的关系，并说明理由
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【答案】，与的夹角，理由见解析．
【分析】
根据已知先证明，再利用三角形全等判定“SAS”证明，则可得结论及，现结合图形，利用三角形的外角性质即可求出．
【详解】
解：，与的夹角，理由是：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键．21世纪教育网版权所有
53．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠D＝∠ACB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）已知：DE＝3，AB＝7，求CE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）由“AAS”可证△ABC≌△EAD；
（2）由全等三角形的性质可得AC=DE=3，AE=AB=7，可求解．
【详解】
证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）；
（2）∵△ABC≌△EAD，
∴AC＝DE＝3，AE＝AB＝7，
∴CE＝AE﹣AC＝7﹣3＝4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
54．如图，点D在边上，与交于点P，，，．
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（1）求证：；
（2）已知，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）66°
【分析】
（1）根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE，再证明∠ABC=∠DBE，根据AAS可证明△ABC≌△DBE；
（2）根据∠ABE和∠DBC的度数可以算出∠CBE和∠ABD的度数，从而得到∠CDE．
【详解】
解：（1）∵∠C=∠E，∠CPD=∠EPB，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠CBE=∠ABD，
∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD，即∠ABC=∠DBE，
又∠C=∠E，AB=DB，
∴△ABC≌△DBE（AAS）；
（2）∵，，
∴∠ABD=∠CBE=（162°-30°）÷2=66°，
∴∠CDE=∠CBE=66°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，寻找三角形全等的条件是解题的关键．
55．如图，在和中，，，；延长至点，使；延长至点，使．连接，，，．延长交于点．
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（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）结合题意得：，，推导得；通过证明，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论得：；根据题意得；再通过证明，即可完成证明．
【详解】
（1） ∵，，
∴
∵，
∴
即
∴
∴；
（2）∵
∴
结合（1）的结论
∴
∵，
∴
∵，
∴
即
∴
∴．
【点睛】
本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．2·1·c·n·j·y
56．如图，直线，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
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（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）过C作，标注字母，如图1所示，根据平行线公理证明，再根据平行线的性质即可求解．
（2）先证明∠GDF＝∠PDC，可得∠CDG+2∠PDC＝180°，即∠PDC＝，再证明∠AEN＝∠CEM，再代入计算即可得到答案；21·世纪*教育网
（3）利用角平分线的定义与平行线的性质求解：∠ADB＝，再利用（1）的结论可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，从而可得答案．
【详解】
解：（1）∠C＝∠1+∠2，
证明：过C作，标注字母，如图1所示，
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∵，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵，，
∴，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴；
（2）如图2，
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∵∠BDF＝∠GDF，∠BDF＝∠PDC，
∴∠GDF＝∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，
∴∠CDG+2∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，
∠AEN＝∠CEM，
；
（3）如图3，标注字母，
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∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，
∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，
∵，
∴＝∠PBD＝50°，
∴∠ADB＝，
由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM．
【点睛】
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．21教育网
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第四章 三角形
【提升评测】
一、单选题
1．现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
2．如图，中，点D、E、F分别在边、、上，D是的中点，，四边形的面积为6，则的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．8 B．9 C．10 D．12
3．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
4．如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（ ）
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A．3cm B．5cm C．14cm D．13cm
5．如图，已知D、E分别是边AB，BC上的点，，设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，△ABC是一个什么三角形？（ ）请说明理由．
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A．等腰三角形； B．等边三角形
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
7．如图，△ABC是一个什么三角形？（ ）请说明理由．
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A．等腰三角形； B．等边三角形
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
8．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）
A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′ B．AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′
C．∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，∠C=∠C′，BC=B′C′
10．如图，∠ABC＝90°，BD⊥AC，下列关系式中不一定成立的是（ ）
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A．AB＞AD B．AC＞BC C．BD+CD＞BC D．CD＞BD
11．如图，已知，，且，，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
12．如图，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
13．已知线段，下面有四个说法： ①线段长可能为；②线段长可能为；③线段长不可能为；④线段长可能为．所有正确说法的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
14．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）
①；
②；
③若，则；
④若，则．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）21教育网
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A．1.5 B．2 C． D．
16．已知线段，，则，两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．或
D．大于等于且小于等于
17．a、b、c是三角形的三边长，化简后等于（ ）
A． B． C． D．
18．如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（ ）21教育名师原创作品
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A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
19．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）
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A． B．
C．与互为补角 D．的余角等于
20．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．若AC=5，则DF=___．
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A．10 B．6 C．5 D．2
21．已知：如图，BD为 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
22．如图∠E＝∠F＝9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，∠B＝∠C，BE＝CF，给出下列结论： ①AE＝AF；②∠1＝∠2；③△ACN≌△ABM；④CM＝BN．其中正确的结论有（ ）2-1-c-n-j-y
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A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
23．图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（ ）
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A．点D B．点C C．点B D．点A
24．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：
①三角形有且只有一条中线 ( http: / / www.21cnjy.com )；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（ ）2·1·c·n·j·y
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
25．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
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A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
26．下列各组条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，在中，，是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
28．已知三角形的两边长分别为3和8，且周长恰好是5的倍数，那么第三边的长为（ ）
A．4 B．9 C．14 D．4或9
29．下列说法错误的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
30．如图，直线，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( )21*cnjy*com
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A．105° B．110°
C．115° D．120°
31．在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（ ）21·世纪*教育网
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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
32．如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过顶点与角尺顶点的射线便是的平分线．这样的作法所运用的原理是三角形全等的判定，该判定方法是（ ）21*cnjy*com
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A． B．
C． D．
33．如图，，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，则∠DGB的度数为（ ）
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A．66° B．56° C．50° D．45°
34．如图，平分和，若，则（ ）
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A． B． C． D．
35．已知：如图在△ABC，△AD ( http: / / www.21cnjy.com )E中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：【版权所有：21教育】
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
36．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．
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A．1 B．2 C．3 D．4
37．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG．连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF． 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
38．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（ ）
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A． B． C．或 D．或
39．如图，△ABC的面积为．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
40．如图，AB∥CD，点E ( http: / / www.21cnjy.com )为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（ ）
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A．90° B．95° C．100° D．150°
第II卷（非选择题）
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二、填空题
41．如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则__________．
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42．已知，，将一副三角板按照如图方式摆放在平行线之间，且线段BC落在直线MN上，线段DE落在直线PQ上，其中，，CO平分，EO平分，两条角平分线相交与点O，则________．21cnjy.com
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43．如图所示，直线，，，则_________．
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44．已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．【出处：21教育名师】
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45．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为_______．
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三、解答题
46．如图，为的中线，为的中线，过点E作垂直，垂足为点F．
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（1），，，求的度数；
（2）若的面积为30，，求．
47．如图所示，点是线段上—点，是过点的一条直线，连接、，过点作交于，且．
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（1）若，求的长；
（2）若，，求证：．
48．如图，中，．
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（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的高；
（3）中，所对的角是______，边上的高是________；
（4）若时，则________．
49．如图，和的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
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50．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
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51．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
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52．已知：在和中，，．如图，若，试探究与的关系，并说明理由
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53．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠D＝∠ACB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）已知：DE＝3，AB＝7，求CE的长．
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54．如图，点D在边上，与交于点P，，，．
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（1）求证：；
（2）已知，，求的度数．
55．如图，在和中，，，；延长至点，使；延长至点，使．连接，，，．延长交于点．
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（1）求证：；
（2）求证：．
56．如图，直线，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
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（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
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