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第10章 二元一次方程组
【提升评测】
一、单选题
1．若和的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
2．已知方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
（1）当时，方程组的解也是方程的解；
（2）当时，；
（3）不论a取什么实数，的值始终不变；
（4）若则．
那么以上结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
4．二元一次方程3x+2y＝13正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5．在抗击疫情网络知识竞赛中， ( http: / / www.21cnjy.com )为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）21教育网
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
6．若关于x、y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如果，则、的值分别是（ ）
A． B． C． D．
8．下列四组数值中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
10．用代入法解方程组使得代入后，化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
11．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，我们可以按竖放、平放两种 ( http: / / www.21cnjy.com )方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们査阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．36本 B．38本 C．40本 D．42本
13．某公司用3000元购 ( http: / / www.21cnjy.com )进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润率是10%，另一种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两和货物所用的费用分别为x元，y元，则列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
14．设，，…，是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中有（ ）个0．
A．163 B．164 C．170 D．171
15．春节将至，某超市准备用价格分别是36元和20元的两种糖果混合成的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元．若设需要36元的糖果，20元的糖果，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（ ）21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
16．对于实数，规定新运算：x※y=ax+by﹣xy，其中a、b是常数，等式右边是通常的加减乘除运算．已知：※1=﹣，（﹣3）※=8，则a※b的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．6﹣2 B．6+2 C．4+ D．4﹣3
17．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a＋b）2021的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
18．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋b的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
19．已知关于x、y的方程组得出下列结论，正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变：④不存在a使得成立；2-1-c-n-j-y
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
20．已知关于，的方程组，给出下列结论：
①是方程组的解；
②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
③当时，方程组的解也是方程的解；
④，的都为自然数的解有3对．
其中正确的为（ ）
A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②④
21．在长方形中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如 图所示，则小长方形的宽的长度为（ ） cm ．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1.6 C．2 D．2.5
22．某班有人，分组活动，若每组7人，则余下3人；每组8人，则有一组差5人，根据题意下列方程组正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
23．已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的个数有（ ）
①当时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，；③不存在一个实数a使得；④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．49 D．无法确定
25．关于x，y的方程组的解中x的值比y的值的相反数大2，则k为（ ）
A． B． C． D．1
26．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的个数有（ ）
①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．下列各组数是二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
28．已知关于x，y的二元一次方程组，下列说法中正确的有（ ）
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，不论n取什么实数，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组的解为．
④当时，若方程有自然数解，则n的值为2或．
A．①③ B．②③ C．①② D．①②④
29．我国民间流传的数学 ( http: / / www.21cnjy.com )名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
30．在“幻方拓展课程”探索中，小明 ( http: / / www.21cnjy.com )在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y﹣x＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C．﹣6 D．6
31．已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
32．已知关于、的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的都为自然数的解有4对．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
33．长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
34．已知与互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
35．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
36．小明去文具店购买了笔和本子共 ( http: / / www.21cnjy.com )5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子
37．七（1）班全体同学进行了一次转盘得 ( http: / / www.21cnjy.com )分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．38 B．40 C．42 D．45
38．现有如图（1）的小长方形纸片若 ( http: / / www.21cnjy.com )干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
39．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返 ( http: / / www.21cnjy.com )于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A． B． C． D．
40．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③当时，a＝18；④不存在一个实数a使得x=y．
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
41．两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的总长度的，另一根露出水面的长度是它的总长度的，两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是_________．21cnjy.com
42．已知方程组的解为，则的值为__________．
43．若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则__________；
44．现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成个正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）用含n的代数式表示___________；
（2）当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，a的最小值为_______．
45．若与互为相反数，则=_______．
三、解答题
46．（1）解二元一次方程组：
（2）已知，，求的值
47．解方程组：
（1）
（2）
48．解方程组：．
49．解方程组：
50．解方程组：
（1）
（2）
51．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
52．已知关于，的二元一次方程组的解是试求关于，的二元一次方程组的解．
53．解方程组．
54．为了创建国家卫生城市，需要购买 ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的两种类型的分类垃圾桶的数量和总价如下表所示．21·cn·jy·com
甲型垃圾桶数量（套） 乙型垃圾桶数量（套） 总价（元）
A 10 8 3680
B 5 9 3140
C a b 2680
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求a，b的值．
55．阅读探索：
解：设，原方程组变为
解得，即
此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高：运用上述方法解方程组
（2）能力运用，已知关于的方程组的解为
求关于的方程组的解．
56．李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有和两种款式的瓷砖，且款正方形瓷砖的边长与款长方形瓷砖的长相等，款瓷砖的长大于宽，已知一块款瓷砖和一块款瓷砖的价格和为140元；3块款瓷砖价格和4块款瓷砖价格相等．请回答以下问题：21世纪教育网版权所有
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（1）分别求出每款瓷砖的单价；
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且款瓷砖的数量比款多，则两种瓷砖各买了多少？
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若款瓷砖的用量比款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则款瓷砖的宽为________米．（直接写出答案）21*cnjy*com
57．已知，求下列式子的值：
（1）
（2）
（3）
58．如图，，A，B分别在直线MN，PQ上，且，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是/秒，射线BP转动的速度是/秒，且a，b满足方程式，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求a，b的值．
（2）若射线AN和射线BP同时旋转，旋转多少秒时，射线AN和射线BP第一次互相垂直？
（3）若射线AN绕点A逆时针先转动6秒 ( http: / / www.21cnjy.com )，射线BP才开始绕点B顺时针旋转，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动多少秒，射线AN和射线BP互相平行？【版权所有：21教育】
59．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧．
（1）若，线段在线段上移动．
①如图1，当E为中点时，求的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段上，，求的长；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．
60．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12
你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
（3）已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值．【来源：21·世纪·教育·网】
（4）在（3）的情况下，又已知，求代数式的值．
（5）模型应用
有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
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第10章 二元一次方程组
【提升评测】
一、单选题
1．若和的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】
由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又由∠A比∠B的2倍少30°，即可求得∠B的度数．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵∠A和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，
∵∠A比∠B的2倍少30°，
即∠A＝2∠B 30°，
∴∠B＝30°或∠B＝70°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与方程组的解法 ( http: / / www.21cnjy.com )．此题难度不大，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．【出处：21教育名师】
2．已知方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可把原来两个方程组变为和，然后分别求解即可．
【详解】
解：由方程组与有相同的解，可把原来两个方程组变为和，
∴由方程组可得：，
把代入方程组可得：；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
（1）当时，方程组的解也是方程的解；
（2）当时，；
（3）不论a取什么实数，的值始终不变；
（4）若则．
那么以上结论正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】D
【分析】
运用消元法解二元一次方程组，逐项分析每一小项中的条件是否成立，选出正确答案即可．
【详解】
解：（1）当时，方程组的第一个方程可写成，
即，与的解不可能同时满足，可得（1）错误；
（2）当时，，即可写成，
解得，，可得（2）正确；
（3）关于x，y的方程组
解得，
将代入得，
，化简后的值为4，可得（3）正确；
（4）关于x，y的方程组
解得，
将代入得，
，
整理得，，
解得，，可得（4）正确．
以上结论正确的是（2）（3）（4）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，掌握消元法解二元一次方程组是解题关键．
4．二元一次方程3x+2y＝13正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【分析】
要求二元一次方程3x+2y＝13的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可．
【详解】
解：由已知，得y＝．
要使x，y都是正整数，必须满足13﹣3x是2的倍数且13﹣3x是正数．
根据以上两个条件可知，合适的x值只能是x＝1，3，
相应的y＝5，2．
所以有2组，分别为，．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，准确分析计算是解题的关键．
5．在抗击疫情网络知识竞赛 ( http: / / www.21cnjy.com )中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
【答案】B
【分析】
设A种买x个，B种买y个，C中买z个，据题意列三元一次方程，找出这三元一次方程的正整数解的个数就是购买方案的种类数．
【详解】
解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得，
得，
由于x、y、z只取正整数，所以需使被2整除且为正数，且，
当，，，8种，
当，，，6种，
∴的正整数解有14组．，
所以购买方案共有14种．
故选：B．
【点睛】
本题考查三元一次方程的应用，会求解三元一次方程的正整数解是关键．
6．若关于x、y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】
把看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出的值．
【详解】
解：
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
代入得：，
去分母得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如果，则、的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据非负数的性质得关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可求出x、y的值．
【详解】
解：∵，
∴ ，
解此方程组得：
．
故选：C．
【点睛】
此题考查的知识点是解二元一次方程组，关键是根据非负数的性质得关于x、y的二元一次方程组．
8．下列四组数值中，是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把各项中x与y的值代入方程检验即可．
【详解】
解：A、把代入方程得：左边＝3﹣2＝1，右边＝2，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
B、把代入方程得：左边＝-3+1＝-2，右边＝2，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
C、把代入方程得：左边＝-6+4＝-2，右边＝2，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解，不符合题意；
D、把代入方程得：左边＝6﹣4＝2，右边＝2，
∵左边＝右边，
∴是方程的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是代入数值准确计算．【来源：21·世纪·教育·网】
9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
组成二元一次方程组的两个方程应共含有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．根据未知数的次数对A进行判断；根据二元一次方程组对B进行判断；根据整式方程对C进行判断；根据未知数的个数对D进行判断．
【详解】
解：A、有一个二元二次方程，所以A选项不合题意；
B、是二元一次方程组，所以B选项符合题意；
C、有分式方程，所以C选项不符合题意；
D、有三个未知数，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
10．用代入法解方程组使得代入后，化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【答案】B
【分析】
根据代入消元法解二元一次方程组，尽量选择两个方程中系数的绝对值是1的未知数，然后用另一个未知数表示出这个未知数．
【详解】
解：观察可知，由①得代入后化简比较容易．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，主要是对代入消元法转化方程的考查，需熟记．
11．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
通过观察可以看出y的系数互为相反数，故（1）+（2）可以消去y，解得x的值，再把x的值代入（1）或（2），即可求出y的值．
【详解】
解：原方程组为：
，
（1）+（2）得：7x＝21，
∴x＝3，
把x＝3代入（1）得：3×3+y＝8，
∴y＝﹣1，
∴方程组的解为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
12．如图，我们可以按竖放、平放两种方式在 ( http: / / www.21cnjy.com )同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们査阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．36本 B．38本 C．40本 D．42本
【答案】C
【分析】
设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，根据题意列出方程组，求出解，再分别计算出按竖放和按平放两种方式所摆书的数量，比较即可．
【详解】
解：设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，
由题意可得：
，
解得：，
∴每本书的厚度为1.5cm，宽度为22cm，
若按竖放：34+9÷1.5=40本，
若按平放：2×（16+6÷1.5）=40本，
∴最多能摆40本，
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据图形得到等量关系，列出方程组．
13．某公司用3000元购进两种货物，货物 ( http: / / www.21cnjy.com )卖出后，一种货物的利润率是10%，另一种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两和货物所用的费用分别为x元，y元，则列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据购进两种货物的总价为3000元及销售后的利润为315元，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【详解】
解：设该公司购进这两和货物所用的费用分别为x元，y元，依题意得
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．设，，…，是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若，，则，，…，中有（ ）个0．
A．163 B．164 C．170 D．171
【答案】D
【分析】
由（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2 ( http: / / www.21cnjy.com )020+1）2=4007得a12+a22+…+a20202=1849，设数列中1有x个、0有y个，-1有z个，根据题意得出1 x+0 y+（-1） z=69，12 x+02 y+（-1）2 z=1853，解之可得．
【详解】
解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2020+1）2=4007，
a12+2a1+1+a22+2a2+1+…+a20202+2a2020+1=4007，
（a12+a22+…+a20202）+2（a1+a2+…+a2020）+2020=4007，
∵a1+a2+…+a2020=69，
∴a12+a22+…+a20202=1849，
设a1，a2，…，a2020中1有x个、0有y个，-1有z个，
根据题意可得：1 x+0 y+（-1） z=69，12 x+02 y+（-1）2 z=1849，
即，解得：，
则y=2020-959-890=171，即0有171个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三元一次方程组的应用和完全平方公式，根据题意列出关于x、y、z的方程组是解题的关键．
15．春节将至，某超市准备用价格分别是36元和20元的两种糖果混合成的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元．若设需要36元的糖果，20元的糖果，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得等量关系：两种糖果混合成的什锦糖；36元/kg的糖果的费用＋20元/kg的糖果的费用＝100kg×28，即可得出方程组．21教育名师原创作品
【详解】
解：设需要36元/kg的糖果，20元/kg的糖果，由题意得：
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
16．对于实数，规定新运算：x※y=ax+by﹣xy，其中a、b是常数，等式右边是通常的加减乘除运算．已知：※1=﹣，（﹣3）※=8，则a※b的值为（ ）
A．6﹣2 B．6+2 C．4+ D．4﹣3
【答案】B
【分析】
根据题中的新定义化简已知等式，求出a与b的值，即可求出所求．
【详解】
解：根据题中的新定义得：，
解得：，
则原式
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a＋b）2021的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
【答案】A
【分析】
联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．
【详解】
解：联立得：，
由①×5+②×3得：29x=58，解得：x=2，
把x=2代入①得：y=1，
将x=2，y=1代入得：，解得：，
则原式=（-2+2）2021=0．
故选：A．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【来源：21cnj*y.co*m】
18．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋b的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
【答案】B
【分析】
将代入方程组，然后利用加减消元法解方程组，从而求解．
【详解】
解：∵是关于x，y的二元一次方程组的解
∴，解得：
∴a＋b=-1
故选：B．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组的步骤和计算法则，正确计算是解题关键．
19．已知关于x、y的方程组得出下列结论，正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论a取什么实数，的值始终不变：④不存在a使得成立；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】
①把a看做已知数表示出方程 ( http: / / www.21cnjy.com )组的解，把a=0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x=y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x-y中计算得到结果，判断即可；④令2x=3y求出a的值，判断即可．
【详解】
解：，
①+②得：3x=3a-6，
解得：x=a-2，
把x=a-2代入①得：y=3a+3，
当a=0时，x=-2，y=3，
把x=-2，y=3代入x+y=1得：左边=-2+3=1，右边=1，是方程的解；
当x=y时，a-2=3a+3，即a=；
3x-y=3a-6-3a-3=-9，无论a为什么实数，3x-y的值始终不变，为-9；
令2x=3y，即2a-4=9a+9，即a=，存在，
则正确的结论是①②③，
故选A．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．已知关于，的方程组，给出下列结论：
①是方程组的解；
②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
③当时，方程组的解也是方程的解；
④，的都为自然数的解有3对．
其中正确的为（ ）
A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②④
【答案】B
【分析】
①将，代入检验即可做出判断；②将和分别用表示出来，然后求出来判断；③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④由得到、都为自然数的解有4对．
【详解】
解：①将，代入方程组得：
，
由①得，由②得，故①不正确．
②解方程
，
①②得：
解得：，
将的值代入①得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将代入方程组得：
，
解此方程得：
，
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故③正确．
④因为，所以、都为自然数的解有，，，．故④不正确．
则正确的选项有②③．
故选：．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是根据条件，求出、的表达式．
21．在长方形中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如 图所示，则小长方形的宽的长度为（ ） cm ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1.6 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则AD=x+3y，AB=x+y=6+2y，联立构造方程组求解即可．
【详解】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则AD=x+3y，AB=x+y=6+2y即x-y=6，
根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
解得，
即AE=2，
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，合理引进未知数，列出正确的方程组是解题的关键．
22．某班有人，分组活动，若每组7人，则余下3人；每组8人，则有一组差5人，根据题意下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据此题中不变的是全班的人数x人．等量关系有 ( http: / / www.21cnjy.com )：①每组7人，则余下3人；②每组8人，则最后一组只有3人，即最后一组差5人不到8人．依此列出方程组即可．
【详解】
解：根据每组7人，则余下3人，得方程，即；
根据每组8人，则有一组差5人不到8人，得方程，即．
则可列方程组为．
故选：B．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用，用不同的代数式表示全班的人数是解题题的关键．
23．已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的个数有（ ）
①当时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，；③不存在一个实数a使得；④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
①把代入方程组求出解，即可作出判断；②由题意得，变形后代入方程组求出的值，即可作出判断；③若，代入方程组，变形得关于的方程，即可作出判断；④根据题中等式得，代入方程组求出的值，即可作出判断．
【详解】
解：①把代入方程组得：
，
解得：，本选项错误；
②当，的值互为相反数时，，
即：，
代入方程组得：，
解得：，本选项正确；
③若，则有，
可得：，矛盾，故不存在一个实数使得，
本选项正确；
④由方程组得：，
由题意得：，
把代入得：
，
解得：，本选项错误；
正确的选项有②③两个．
故选：．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．本题属于基础题型，难度不大．2·1·c·n·j·y
24．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．49 D．无法确定
【答案】A
【分析】
首先解方程组求得方程组的解是：，则3＋m是10和15的公约数，且是正整数，据此即可求得m的值，求得代数式的值．21*cnjy*com
【详解】
解：两式相加得：（3＋m）x＝10，
解得：，
代入第二个方程得：，
当方程组有整数解时，3＋m是10和15的公约数．
∴3＋m＝±1或±5．
即m＝ 2或 4或2或 8．
又∵m是正整数，
∴m＝2，
∴m2＝4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了求方程组的解，正确理解3＋m是10和15的公约数是关键．
25．关于x，y的方程组的解中x的值比y的值的相反数大2，则k为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
根据“x的值比y的值的相反数大2“，得到x ( http: / / www.21cnjy.com )（ y）＝x＋y＝2，与4x＋3y＝10联立，组成二元一次方程组，解之，代入kx （k 1）y＝ 8，得到关于k的一元一次方程，解之即可．
【详解】
解：∵x的值比y的值的相反数大2，
∴x （ y）＝x＋y＝2，
根据题意得：，解得：，
把代入kx （k 1）y＝ 8得：4k＋2（k 1）＝ 8，
解得：k＝ 1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
26．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的个数有（ ）
①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①把a=10代入方程组求出解，即可做出 ( http: / / www.21cnjy.com )判断；②根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；③假如x=y，得到a无解，即可做出判断；④根据题中等式x-3a=5，代入方程组求出a的值，即可做出判断．
【详解】
解：①把代入方程组得：，
解得：，本选项正确；
②由与互为相反数，得到，即，
代入方程组解得：，本选项正确；
③若，则有，可得，矛盾，
故不存在一个实数使得，本选项正确；
④方程组解得：，
∵，
把代入得：，
解得：，本选项正确，
故选：．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
27．下列各组数是二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
此方程组利用加减消元法进行消元，即可求出方程组的解．
【详解】
解：，
①+②得：5y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入①得：x＝1，
则方程组的解为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解答此题的关键．
28．已知关于x，y的二元一次方程组，下列说法中正确的有（ ）
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，不论n取什么实数，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组的解为．
④当时，若方程有自然数解，则n的值为2或．
A．①③ B．②③ C．①② D．①②④
【答案】C
【分析】
将代入原方程组，求出m和n值，可判断①；将m=3代入原方程组，可判断②；根据原方程组的解为，可得，求出x和y值，可判断③；将m=1代入原方程组，求出x和y，再找到当方程组的解为自然数时n的部分值，可判断④．
【详解】
解：①将代入中，得，解得：，
则m+n=3，故正确；
②当m=3时，有，
则，故正确；
③当方程组的解是时，
则有，
则方程组的解为，故错误；
④当m=1时，方程组为，解得：，
∵方程有自然数解，
当n=2时，，当n=时，，当n=时，，故错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，和解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
29．我国民间流传的数学名题：“只 ( http: / / www.21cnjy.com )闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
30．在“幻方拓展课程” ( http: / / www.21cnjy.com )探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y﹣x＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C．﹣6 D．6
【答案】C
【分析】
根据各行、各列及对角线上的三 ( http: / / www.21cnjy.com )个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（y-x）中即可求出结论．
【详解】
解：依题意，得，
解得，
∴y﹣x＝﹣6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
31．已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将方程组变形为类似的形式，解方程组即可．
【详解】
解：方程组可化为：，
方程组的解是，
方程组的解满足，
即解为：，
故选：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的解出方程组的解是解题的关键．
32．已知关于、的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④，的都为自然数的解有4对．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①将x＝5，y＝﹣1代入检验即可做出判断；② ( http: / / www.21cnjy.com )将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y＝3来判断；③将a＝1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④有x+y＝3得到x、y都为自然数的解有4对．
【详解】
解：①将x＝5，y＝-1代入方程组得：，
由①得a＝2，由②得a＝，故①不正确．
②解方程，
①-②得：8y＝4-4a，
解得：y＝，
将y的值代入①得：x＝，
所以x+y＝3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a＝1代入方程组得：，
解此方程得：，
将x＝3，y＝0代入方程x+y＝3，方程左边＝3＝右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y＝3，所以x、y都为自然数的解有，，，．故④正确．
则正确的选项有②③④．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
33．长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，设DE=x，EF=y，然后由边长的数量关系列出方程组，解方程组求出x、y，即可得到答案．
【详解】
解：如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
设DE=x，EF=y，根据题意，则
，
解得：，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程组进行解题．21·世纪*教育网
34．已知与互为相反数，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】
根据相反数和非负数的性质即可求出x、y的值，再代入中即可．
【详解】
根据绝对值和偶次方的性质可知，，
又∵和是相反数，即．
∴ ，
解得：，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查相反数和非负数的性质、代数式求值以及求解二元一次方程组．根据题意列出二元一次方程组求出x、y的值是解答本题的关键．
35．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由角平分线的定义可以得到，，设，假设，，通过角的等量代换可得到，代入的值即可．
【详解】
∵平分，平分
∴，
设
∵
∴可以假设，
∴
∵
∴
∴
设，则
∴
∴
∵
∴
故答案选：C
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键．
36．小明去文具店购买了笔和本子共 ( http: / / www.21cnjy.com )5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子
【答案】A
【分析】
设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可．
【详解】
解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ，
当x=1时，原方程组为，解得，符合题意；
当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
故选：A．
【点睛】
本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组．21·cn·jy·com
37．七（1）班全体同学进行了 ( http: / / www.21cnjy.com )一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．38 B．40 C．42 D．45
【答案】A
【分析】
根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解】
解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【点睛】
考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程组，即可求出结果．
38．现有如图（1）的小 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比．
【详解】
解：根据题意、结合图形可得：
，
解得：，
∴阴影部分面积，
整个图形的面积，
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比，
故选B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．
39．甲、乙两地相距360千米，一轮船往 ( http: / / www.21cnjy.com )返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A．
40．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a＝20；③当时，a＝18；④不存在一个实数a使得x=y．
A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】
①把代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
③根据题中等式得到，代入方程组求出的值，即可做出判断；
④假如，得到无解，本选项正确．
【详解】
解：①把代入方程组得：，
解得：，本选项错误；
②由与互为相反数，得到，即，
代入方程组得：，
解得：，本选项正确；
③方程组解得：，
，
，
，解得：，本选项正确；
④若，则有，可得，矛盾，故不存在一个实数使得，本选项正确．
综上所述：正确的选项有②③④．
故选：．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组解法，注意方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，有根必代是解题关键．
二、填空题
41．两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在木桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的总长度的，另一根露出水面的长度是它的总长度的，两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是_________．
【答案】80
【分析】
设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为.根据两根铁棒之和为，两棒未露出水面的长度相等，列方程组求解即可
【详解】
设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为.
根据题意得：，
解得：，
∴木桶中水的深度为．
故答案为：80
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，选择适当的未知数，准确列出方程组是解题的关键．
42．已知方程组的解为，则的值为__________．
【答案】6
【分析】
把方程组的解回代转化为关于a，b的新方程组，求得a，b的值后计算即可
【详解】
∵方程组的解为，
∴，
解得，
∴==6，
故答案为：6
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，熟练运用方程解的定义化已知方程组为被求字母为未知数的新方程组是解题的关键．
43．若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则__________；
【答案】
【分析】
由题意建立关于x，y的新的方程组，求得x，y的值，再代入x＋ay＝2中，求得a的值．
【详解】
解：由题意得，
解得，
代入方程x＋ay＝2，
解得a＝ ．
故本题答案为： ．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的解，解决本题的关键是熟记二元一次方程组的解．
44．现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成个正方形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）用含n的代数式表示___________；
（2）当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，a的最小值为_______．
【答案】 52
【分析】
（1）根据图1和图2的火柴棒的总数相同，列出等式，从而得到关系式；
（2）可设图3中有3p个正方形，可得等式a=3m+1=5n+2=7p+3，求出最小正整数解，从而得到a的最小值．
【详解】
解：（1）图1中火柴棒的总数是（3m+1）根，图2中火柴棒的总数是（5n+2）根，
∵图1和图2的火柴棒的总数相同，
∴3m+1=5n+2，
∴m=；
（2）设图3中有3p个正方形，那么火柴棒的总数是（7p+3）根，由题意得
a=3m+1=5n+2=7p+3，
∴p=，
∵m，n，p均是正整数，
∴m=17，n=10，p=7时a的值最小，a=3×17+1=5×10+2=7×7+3=52．
故答案为：（1）；（2）52．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是由火柴棒的总数相同列出等式，本题有一定的难度．
45．若与互为相反数，则=_______．
【答案】
【分析】
根据非负数的性质列二元一次方程组，解方程组求出的值，代入即可．
【详解】
解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和解二元一次方程组，解题关键是根据非负数的性质列出二元一次方程组，准确的解方程组．
三、解答题
46．（1）解二元一次方程组：
（2）已知，，求的值
【答案】（1）；（2）19．
【分析】
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用公式变形求解即可．
【详解】
（1）∵
∴①×3-②×2，得5y=5，
解得y=1，
把y=1代入①，得2x+3=9，
解得x=3，
∴原方程组的解为；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴=19．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，完全平方公式，熟练掌握二元一次方程组的解法，灵活进行公式变形是解题的关键．
47．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)用代入法解方程组即可；
(2)化简方程组，用代入法解方程组即可．
【详解】
解：(1)
把①代入②得，，解得，，
把代入①得，
所以原方程组的解是.
(2)原方程组化简，得，
由①，得.③
把③代入②，得.解得.
把代入③，得.
所以原方程组的解是．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是熟练运用代入法解方程组．
48．解方程组：．
【答案】
【分析】
根据代入消元法解方程即可；
【详解】
解方程组：．
解：把①代入②得，
解得．
把代入①
得．
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的求解，准确计算是解题的关键．
49．解方程组：
【答案】
【分析】
先消去y，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可．
【详解】
解：
①+③得，
①3+②2，得
④与⑤组成方程组，得
解得：
把代入①，得
解得：
原方程组的解为：．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的解法，解题关键是熟练运用消元法把三元化为二元，再解二元一次方程组．
50．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）先将原方程组进行变形整理，然后利用代入消元法解二元一次方程组．
【详解】
解：（1）
将①-②，得： ，解得：
将代入①，得：，解得：
∴方程组的解为：
（2）
解：整理，得：
将①代入②，得：，解得：
将代入①，得：
∴方程组的解为：
【点睛】
本题考查消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤和计算法则准确计算是解题关键．
51．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③
把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，
所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【答案】（1）；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）或
【分析】
（1）把第2个方程变形为3（3x 2y）＋2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；www-2-1-cnjy-com
（2）把第2个方程变形为，再与第1个方程相加，即可求解；
（3）在（2）的条件下可知x，y同号，进而即可求解．
【详解】
解：（1），
把②变形为9x 6y＋2y＝19，即3（3x 2y）＋2y＝19③．
把①代入③，得3×5＋2y＝19，
∴y＝2．
把y＝2代入①，得3x 2×2＝5，
∴x＝3．
∴方程组的解为；
（2），
把②变形为：③，
由①+③得：，解得：x2+4y2=17，
把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2，
综上所述：x2+4y2=17，xy=2；
（3）在（2）的条件下：x，y同号，
∵x，y为整数，
∴或．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用．
52．已知关于，的二元一次方程组的解是试求关于，的二元一次方程组的解．
【答案】
【分析】
根据二元一次方程组的解的定义可设，，则可得出，解此方程组后即可求解．
【详解】
解：设，，
则由的解是可知，
，
解得．
所以原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解的定义及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
53．解方程组．
【答案】
【分析】
①式适当变形后，结合②式用加减消元法求解即可．
【详解】
解：，
①式整理得：③，
③-②得，解得，
将代入②式得，解得，
故该方程组的解为：．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的两种方法，并能灵活运用是解题关键．
54．为了创建国家卫生城 ( http: / / www.21cnjy.com )市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的两种类型的分类垃圾桶的数量和总价如下表所示．
甲型垃圾桶数量（套） 乙型垃圾桶数量（套） 总价（元）
A 10 8 3680
B 5 9 3140
C a b 2680
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求a，b的值．
【答案】（1）甲型垃圾桶的单价是160元/套，乙型垃圾桶的单价是260元/套；（2）a的值为7，b的值为6．21教育网
【分析】
（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答．
（2）根据图表中的数据列出关于a、b的二元一次方程，结合a、b的取值范围来求它们的值即可．
【详解】
解：（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．
依题意得：
解得，
答：甲型垃圾桶的单价是160元/套，乙型垃圾桶的单价是260元/套；
（2）由题意得：，
整理，得8a+13b=134，
因为a、b都是正整数，
所以 ，
答：a的值为7，b的值为6．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程（组）．21世纪教育网版权所有
55．阅读探索：
解：设，原方程组变为
解得，即
此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高：运用上述方法解方程组
（2）能力运用，已知关于的方程组的解为
求关于的方程组的解．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设，，根据（1）中的结论确定出关于与方程组，求出解得到与的值，即可求出与的值；
（2）设，根据已知方程组的解确定出与的值即可．
【详解】
解：（1）设，，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（2）设，
可得，
解得：．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
56．李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有和两种款式的瓷砖，且款正方形瓷砖的边长与款长方形瓷砖的长相等，款瓷砖的长大于宽，已知一块款瓷砖和一块款瓷砖的价格和为140元；3块款瓷砖价格和4块款瓷砖价格相等．请回答以下问题：2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）分别求出每款瓷砖的单价；
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且款瓷砖的数量比款多，则两种瓷砖各买了多少？
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若款瓷砖的用量比款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则款瓷砖的宽为________米．（直接写出答案）
【答案】（1）A款瓷砖单价为80元，B款瓷砖单价为60元；（2）买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖；（3）米或米
【分析】
（1）设款瓷砖单价为元，款瓷砖单价为元，则，解方程组即可得出结果；
（2）设款瓷砖买了块，款瓷砖买了块，且，则，即，由，为正整数，且，即可得出结果；
（3）设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，则，解得，由题意知是正整数，设为正整数），解得，将为正整数代入即可得出结果．
【详解】
解：（1）设款瓷砖单价为元，款瓷砖单价为元，
则，
解得：；
答：款瓷砖单价为80元，款瓷砖单价为60元．
（2）设款瓷砖买了块，款瓷砖买了块，且，
则，
即：，
，为正整数，且，
时，；时，；
答：买了11块款瓷砖，2块款瓷砖或8块款瓷砖，6块款瓷砖；
（3）设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，
则，
解得：，
由题意得：是正整数，
设为正整数），
解得：，
当时，，舍去）；
当时，，舍去）；
当时，；
当时，．
故答案为：米或米．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．
57．已知，求下列式子的值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用完全平方公式的变形公式，即可求解；
（2）利用立方和公式分解因式，结合第（1）题的结果，即可求解；
（3）利用完全平方公式的变形公式，求出，进而求出b的值，再代入求值，即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当时，==，
当时，=，
综上所示：．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，二元一次方程组是解法，熟练掌握完全平方公式，立方和公式是解题的关键．
58．如图，，A，B分别在直线MN，PQ上，且，若射线AN绕点A逆时针旋转至AM后立即回转，射线BP绕点B顺时针转至BQ后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线AN转动的速度是/秒，射线BP转动的速度是/秒，且a，b满足方程式，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求a，b的值．
（2）若射线AN和射线BP同时旋转，旋转多少秒时，射线AN和射线BP第一次互相垂直？
（3）若射线AN绕点A逆时针先转动6秒，射 ( http: / / www.21cnjy.com )线BP才开始绕点B顺时针旋转，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动多少秒，射线AN和射线BP互相平行？21cnjy.com
【答案】（1）a=4，b=1；（2）18秒；（3）31.2秒或52秒或103.2秒
【分析】
（1）解方程组解可；
（2）设至少旋转t秒时，射线AN、射线BP互 ( http: / / www.21cnjy.com )相垂直．设旋转后的射线AN、射线BP交于点O，则BO⊥AO，证出∠OBP+∠OAN=90°，得出方程，解方程即可；
（3）求出t＜120s，设射线AN再转动t秒时，射线AN、射线BP互相平行，由题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1），
②×2-①得：9b=9，
∴b=1，
将b=1代入②得：a+3=7，
∴a=4；
（2）设旋转t秒时，射线AN、射线BP第一次互相垂直．
如图1所示：设旋转后的射线AN、射线BP交于点O，则BO⊥AO，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵MN∥PQ，
∴∠ABP+∠BAN=180°，
∴∠OBP+∠OAN=90°，
又∵∠OBP=t°，∠OAN=4t°，
∴t°+4t°=90°，
∴t=18（s）；
（3）∵∠BAN=60°，
∴∠PBA=120°，
∴t＜120s，
设射线AN再转动t秒时，射线AN、射线BP互相平行，射线AN绕点A逆时针先转动6秒，
AN转动了6×4=24°，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
当 时，AN∥BN，则有：
120-t=4t-(60-24)
解得t==31.2
当AN到达AM又返回到达时，AN∥BN，此时有∠=t°
180+t=4（t+6）
t=52
当AN到达AM又返回起点，再次到达 时，AN∥BN, ∠ =t°则有：
4（t+6）=156+180+180-t
t=103.2
综上所诉，在射线BP到达BA之前，射线AN再转动31.2秒或52秒或103.2秒，射线AN和射线BP互相平行．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、二元一次方程组的解法、一元一次方程的应用等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
59．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧．
（1）若，线段在线段上移动．
①如图1，当E为中点时，求的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段上，，求的长；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．
【答案】（1）①；②AD的长为3或5；（2）或
【分析】
（1）①由题意易得，，，然后问题可求解；
②由题意可分当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，然后根据线段的和差关系进行求解即可；
（2）①当点E在点C的右侧时，设，，则，则有，，然后可得；②当点E在点C的左侧时，设，，则，，，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，，
①∵点E为BC的中点，
∴，
∴AE=15，
∴；
②由题意可得：
当点E在点F的左侧时，如图所示：
∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点E在点F的右侧时，如图所示：
∵AC=12，，
∴，
∵，
∴；
综上所述：AD的长为3或5；
（2）∵，，且满足关系式，
∴①当点E在点C的右侧时，如图所示：
设，，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴；
②当点E在点C的左侧时，如图所示：
设，，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键．
60．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12
你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
（3）已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值．
（4）在（3）的情况下，又已知，求代数式的值．
（5）模型应用
有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）图见解析， ；（2）；（3）20；（4）；（5）正五边形为12个，正六边形有20个．
【分析】
（1）数出每种图形的顶点数、面数、 ( http: / / www.21cnjy.com )棱数即可完成表格填写，然后根据表中各种图形顶点数、面数和棱数的关系作出猜想即可得到所求结论；
（2）面数用F表示，则V=F-8，然后根据（1）中所得顶点数、面数和棱数的关系式可以得到关于F的方程，解方程即可得到面数的值；
（3）根据已知的顶点数及每个顶点处的棱数，可以得到实际的棱数，然后利用（1）中关系式可以求得面数即m+n的值；
（4）联立（3）得到的m+n=20及本小题已知m+2q=18，两式相减可以得到n-2q的值，把原代数式稍作变形即可利用n-2q的值算得答案；
（5）设正五边形、正六边形个数分别为x、y，然后根据欧拉公式及正五边形、正六边形的个数比例可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到问题解答．
【详解】
（1）表格如下：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
由表格中数据可得：
关系式为：
（2）由题意得：，
解得：；
（3）∵有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，且两点确定一条直线，
∴共有（条棱）
那么，
解得：，
∴；
（4）∵①，
②
∴②-①得：，
∴
（5）设正五边形个数为，正六边形个数为，
则该足球的面数为，
顶点数为，
棱数为，
由图可知，每个顶点处都遵循一个正五边形，两个正六边形，
由题意得：
解得：
所以正五边形为12个，正六边形有20个．
【点睛】
本题考查欧拉公式的简单推导及应用，熟练掌握不完全归纳法的应用及欧拉公式中各字母的意义是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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