重庆市实验外国语学校2021-2022学年七年级下学期入学考试数学试卷

重庆市实验外国语学校2021-2022学年七年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．（2022七下·重庆开学考）实数 ，0， ， ， ，0.1，-0.313313331…（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022七下·重庆开学考）下列式子变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020七上·惠城期末）如图，从左面看如图所示的几何体得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022七下·重庆开学考）如果 是关于 的方程 的解，则 的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．6
5．（2022七下·重庆开学考）若 的补角是 ，则 的余角是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021七上·瑞安月考）若 ，其中 ， 为两个连续的整数，则 的值为（　　）
A．7 B．12 C．64 D．81
7．（2022七下·重庆开学考）下列说法中正确的个数为（　　）
（1） 一定是正数；（2）单项式 的系数是 ，次数是3；（3）小数都是有理数；（4）多项式 是五次三项式；（5）连接两点的线段叫做这两点的距离；（6）射线比直线小一半.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021七上·瓜州期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（　　）
A．3（x﹣2）＝2x＋9 B．3（x＋2）＝2x﹣9
C． ＋2＝ D． ﹣2＝
9．（2022七下·重庆开学考）如图，线段 ，延长 到点 ，使 ，若点 是线段 的中点，则线段 的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．12
10．（2022七下·重庆开学考）如图所示， 是平角， 是射线， 、 分别是 、 的角平分线，若 ，则 的度数为（　　）
A．56° B．62° C．72° D．124°
11．（2022七下·重庆开学考）如图，小明用棋子摆了几个“开”字，其中第①个“开”字用了14个棋子，第②个“开”字用了20个棋子，第③个“开”字用了26个棋子…，照此规律继续摆下去，第7个图需用到的棋子数为（　　）
A．38 B．44 C．50 D．56
12．（2022七下·重庆开学考）妞妞和馨月都有一个比自己大3岁的姐姐，若妞妞姐姐的年龄是馨月姐姐的3倍，且妞妞的年龄是馨月年龄的 倍，则所有满足要求的正整数 的值的和为（　　）
A．11 B．15 C．20 D．24
二、填空题
13．（2022七下·重庆开学考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术.可根据不同项目分区域、分标准制冰.将数据12000用科学记数法表示为　 　.
14．（2022七下·重庆开学考） 与 是同类项.则常数n的值为　 　.
15．（2022七下·重庆开学考）已知：x-2的平方根是±2， 的立方根为3，则 的算术平方根为　 　.
16．（2022七下·重庆开学考）已知 ，则 　 　.
17．（2022七下·重庆开学考）已知线段 ，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为　 　.
18．（2022七下·重庆开学考）有理数 ， ， 在数轴上表示的点如图所示，化简 　 　.
19．（2022七下·重庆开学考）一列火车正在匀速行驶，它先用25秒的时间通过了长300米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长120米的隧道乙，下列说法正确的是　 　.（填番号）
①这列火车长150米；②这列火车的行驶速度为10米每秒；
③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时18秒；
④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半.
20．（2020七上·鹿城月考）如图，这是一个数据转换器的示意图三个滚珠可以在槽内左右滚动，输入 的值，当滚珠发生撞击，就输出相撞滚珠上代数式所表示的数的和 .已知当三个滚珠同时撞击时，不论输入 的的值为多大，输出的 的值总不变.若输入一个整数 ，某些滚珠相撞，输出 值恰好为 ，则 　 　.
三、解答题
21．（2022七下·重庆开学考）计算：
（1）
（2）
22．（2022七下·重庆开学考）解方程：
（1）
（2）
23．（2022七下·重庆开学考）先化简，再求值： ，其中 .
24．（2022七下·重庆开学考）如图， 是 内部的一条射线， 是 内部的一条射线， 是 内部的一条射线.
（1）如图1， 、 分别是 、 的角平分线，已知 ， .求 的度数；
（2）如图2，若 ， ， ，求 的度数.
25．（2022七下·重庆开学考）如图，点 、 、 是线段 上依次排列的三个点， ， .
（1）若 ， ，求线段 的长；
（2）若点 、 、 在线段 上运动，始终保持 ， .请问 的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若改变，请说明理由.
26．（2022七下·重庆开学考）北京冬奥会速滑项目某场次门票价格为110元/人，若购买团体票有如下优惠：
购票人数 不超过50人的部分 超过50人，但不超过100人的部分 超过100人的部分
优惠方案 无优惠 每张票价优惠20% 每张票价优惠50%
例如：200人作为一个团体购票，则需要支付票款
元
北京某中学初一年级一班和二班全体学生准备去观看该场比赛，如果两个班作为一个团体去购票，则应付票款10175元.请列一元一次方程解决下列问题：
（1）已知两个班总人数超过100人，求两个班总人数；
（2）在（1）条件下，若一班人数多于50人，二班人数不足50人，但至少25人，如果两个班单独购票，一共应付票款11374元.求两个班分别有多少人？
27．（2022七下·重庆开学考）对于任意一个四位数 ，若 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”.将一个“智慧数” 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为 .例如“智慧数” ，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123.这四个新三位数的和为 ， ，所以 .
（1）计算： 　 　； 　 　；
（2）若“智慧数” （ ， ， ， 都是正整数）， 也是“智慧数”，且 能被12整除，求满足条件的 的值.
28．（2022七下·重庆开学考）在数轴上，把原点记作点 ，表示数1的点记作点 .对于数轴上任意一点 （不与点 ，点 重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点 的特征值，记作 ，即 ，例如：当点 是线段 的中点时，因为 ，所以 .
（1）如图，点 为数轴上的一个点，点 表示的数是 ，则 　 　；
（2）数轴上的点 满足 ，求 ；
（3）数轴上的点 表示有理数 ，已知 且 为整数，求所有满足条件的 的倒数之和.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的认识
【解析】【解答】解： ， ，
∴无理数有： ， ，-0.313313331…（每两个1之间依次增加一个3），
∴无理数有3个.
故答案为：B.
【分析】首先立方根与算术平方根的定义将需要化简的数进行化简；无理数常见三种形式如下：①开方开不尽的数；②与π有关的式子；③无限不循环小数，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、 ， 故原题变形错误，不符合题意；
B、 ，故原题变形错误，不符合题意；
C、 ，故原题变形正确，符合题意；
D、 ，故原题变形错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的非负性可判断A；先去括号，括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘，据此可判断B、D；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】由立体图形的三视图可直接排除A、C、D，只有B符合该立体图形的左视图；
故答案为：B．
【分析】根据所给的几何体求解即可。
4．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】将x=1代入方程中可得关于m的方程，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α的补角等于130°，
∴∠α=50°，
∴∠α的余角等于：90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据互为补角的两角之和为180°可得∠α的度数，然后根据互为余角的两角之和为90°可得∠α的余角.
6．【答案】D
【知识点】平方根；估算无理数的大小；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵32=9<11<42，
∴3<<4，
∴a=3，b=4，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据平方根的定义先确定的范围，即在哪两个整数之间，则可确定a、b的值，最后代值计算即可.
7．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；无理数的认识；单项式的次数和系数；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：（1）当a=0时，4a=0，故此说法错误；
（2）单项式 的系数是 ，次数是3，故此说法正确；
（3）无限不循环小数是无理数，故此说法错误；
（4）多项式 是三次三项式，故此说法错误；
（5）连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故此说法错误；
（6）射线与直线是不可度量的，故射线比直线小一半的说法错误，
所以正确的说法有1个.
故答案为：A.
【分析】当a=0时，4a=0，据此判断（1）；单项式的次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此判断（2）；无限不循环小数是无理数，据此判断（3）；几个单项式的和叫做多项式，其中每一个单项式叫做多项式的项，多项式中，每一项都有次数，次数最高的项的次数就是多项式的次数，据此可判断（4）；根据两点的距离的概念可判断（5）；根据直线、射线不可度量可判断（6）.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x辆车，则可列方程：
3（x﹣2）＝2x＋9.
故答案为：A.
【分析】设有x辆车，根据相等关系“总人数不变”可列方程.
9．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∵点M是线段AC 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据AB的值结合BC=2AB可得BC的值，根据AC=BC+AB求出AC，然后利用中点的概念求出AM，接下来根据BM=AM-AB进行计算.
10．【答案】B
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ OE 平分∠BOC
∴∠BOC=2∠COE=2×28°=56°
∵∠AOC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180° ∠BOC=124°
∵ OD平分∠AOC
∴
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的概念可得∠BOC=2∠COE=56°，结合邻补角的性质可得∠AOC的度数，然后根据角平分线的概念进行计算.
11．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1个图需用到的棋子数为 ，
第2个图需用到的棋子数为 ，
第3个图需用到的棋子数为 ，
……，
由此发现规律，第n个图需用到的棋子数为8+6n，
所以第7个图需用到的棋子数为 .
故答案为：C.
【分析】根据图形可得后一个图形比前一个图形多用6个棋子，据此推出第n个图需用到的棋子数，据此解答.
12．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设馨月的年龄为x岁，其中x为正整数，则妞妞的年龄为mx 岁，馨月姐姐的年龄为 （x+3） 岁，妞妞姐姐的年龄为（mx+3）岁，根据题意得：
，
整理得： ，
∴ m-3 和x是6的因数，
∵m为正整数，x为正整数，
∴ m-3取1、2、3、6，
∴当m取4、5、6、9时，x为正整数，
∴所有满足要求的正整数m的值的和为 .
故答案为：D.
【分析】设馨月的年龄为x岁，则妞妞的年龄为mx岁，馨月姐姐的年龄为(x+3)岁，妞妞姐姐的年龄为 (mx+3)岁，根据妞妞姐姐的年龄是馨月姐姐的3倍可列出方程，化简可得(m-3)x=6，根据m、x为正整数可得m、x的值，进而可求出正整数m的和.
13．【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
14．【答案】2
【知识点】同类项
【解析】【解答】解： 与 是同类项，
故答案为：2.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，可得n的值.
15．【答案】10
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵x-2的平方根是±2，
∴ ，解得 ，
又∵ 的立方根为3，
∴ ，解得 ，
∴ ，
100的算术平方根为10，
∴ 的算术平方根为10.
故答案为：10.
【分析】根据平方根、立方根的概念可得x-2=4，2x+y+7=27，求出x、y的值，然后计算出x2+y2的值，结合算术平方根的概念进行计算.
16．【答案】3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】待求式可变形为1+2(a-5b)，然后将已知条件代入进行计算.
17．【答案】1cm或2cm
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：当M是AB的左三等分点，
∵AB=6cm，
∴AM= cm，
∵N是AM的中点，
∴AN=NM= ，
当M是AB的右三等分点，
∵AB=6cm，
∴AM= cm，
∵N是AM的中点，
∴AN=NM= ，
线段MN的长度为1cm或2cm.
故答案为：1cm或2cm.
【分析】当M是AB的左三等分点时，AM=AB=2cm，根据中点的概念可得AN=MN；当M是AB的右三等分点时，AM=AB=4cm，由中点的概念可得AN=NM，据此计算.
18．【答案】-3b-3c
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴得 ，
∴ ， ， ，
∴
.
故答案为：-3b-3c.
【分析】由数轴可得a19．【答案】③④
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设火车的长度为x米，根据题意，
得： ，
解得： ，故①错误；
∴火车行驶速度为 （米/秒），故②错误；
（秒），故③正确；
（秒），故④正确.
故答案为：③④.
【分析】设火车的长度为x米，则速度可表示为米每秒或米每秒，根据速度相同列出方程，求出x的值，据此判断①②；利用160+200的和除以速度可求出时间，据此判断③；利用300+200的和除以40可得时间，据此判断④.
20．【答案】2
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（2x 1）＋3＋ax＝2x 1＋3＋ax＝（2＋a）x＋2.
∵当三个滚珠同时相撞时，不论输入x的值为多大，输出y的值不变，
∴2＋a＝0，
解得：a＝ 2.
当y＝2x 1＋3＝2x＋2时，令y＝ 1，即 1＝2x＋2，
解得：x＝ 1.5（不合题意，舍去）；
当y＝3＋（ 2x）＝ 2x＋3时，令y＝ 1，即 1＝ 2x＋3，
解得：x＝2.
∴x的值为2.
故答案为：2.
【分析】当前两个滚珠相撞时，由输出结果为 1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，舍去；当后两个滚珠相撞时，由输出结果为 1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．
21．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算；含乘方的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）先计算乘方及去绝对值符号，然后计算除法，再计算加法即可得出答案；
（2）根据乘法分配律用36与括号内的每一个数相乘，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，然后计算乘法，最后计算加减法即可.
22．【答案】（1）解： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： .
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1；
（4）先去分母（两边同时乘以20，左边的1也要乘以20，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
23．【答案】解：
∵ ， ，且
∴ ，
即m+4=0，n+3=0
∴ ，
当 ， 时，原式
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值；非负数之和为0
【解析】【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简；接着根据绝对值的非负性以及二次根式的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0，可得m+4=0，n+3=0，求出m、n的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
24．【答案】（1）解：∵ 、 分别是 、 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ .
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线概念得∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOC，由∠MON=∠BOM+∠BON进行计算；
（2）设∠AOM=x，则∠BON=4x，∠BOM=5x，由∠AOC=∠AOM+∠CON+∠BON+∠BOM可得x的值，据此计算.
25．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴DE=6，
∴BD=DE+BE=8，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： 的值不变，理由如下：
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】（1）易得DE=6，则BD=DE+BE=8，然后根据BD=AD求出AD，根据CD=3AC可知AC=AD，据此计算；
（2）设AC=m，则CD=3m，BD=m，AB=AD+BD=m，DE=4m，CE=CD+DE=7m，据此求解.
26．【答案】（1）解：设有x人，
则两个班的总人数是105人
（2）解：设一班有y人，则二班有 人，
则二班有 （人），
即一班有58人，二班有47人.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设有x人，根据题干给出的优惠方案可知：前50张门票需付款(50×110)元，51至100张门票部分需付款(100-50)×110×(1-20%)元，超过100的部分门票需付款(x-100)×110×(1-50%)元，然后根据共付款10175元建立方程，求解即可；
（2）设一班有y人，则二班有(105-y)人，则一班需付款50×110+(y-50)×110×(1-20%)，二班需付款(105-y)×110，根据共付款11374元建立方程，求解即可.
27．【答案】（1）262；875
（2）解： （ ， ，x，y都是正整数）
∴千位数字为9，百位数字为7，十位数字为x，个位数字为y，且 ，去掉千位上的数字得到 ，去掉百位上的数字得到 ，去掉十位上的数字得到 ，去掉个位上的数字得到 ，这四个新三位数的和为： ，
即
又∵ 也是“智慧数”，千位数为1，则百位数至少为2，
∴
∵ ， ，x，y都是正整数
∴
∴
∵ 能被12整除
∴ 的取值可以是1212和1224
当 时， ，有 ，此时无满足要求的 的值；
当 时， ，有 ，此时 ；
故满足条件的n的值为 .
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1） ，去掉千位上的数字得到131，去掉百位上的数字得到231，去掉十位上的数字得到211，去掉个位上的数字得到213，这四个新三位数的和为 ， ，所以 ；
，去掉千位上的数字得到876，去掉百位上的数字得到576，去掉十位上的数字得到586，去掉个位上的数字得到587，这四个新三位数的和为 ， ，所以 ；
故答案为：262；875；
【分析】（1）m=2131，去掉千位上的数字得到131，去掉百位上的数字得到231，去掉十位上的数字得到211，去掉个位上的数字得到213，求出这四个新三位数的和，除以3可得F(2131)的值，同理可得F(5876)的值；
（2）易得F(n)=1180+7x+y，根据F(n) 是“智慧数”可得F(n)的范围，根据F(n)能被12整除可得F(n)的值，进而求出x、y的值，据此解答.
28．【答案】（1）
（2）解： ，
∴ 或 ，
当 ， ，
∴ ；
当 ， ，
∴ ；
综上可得： 或 ；
（3）解：∵ 且 为整数，
∴ 为整数，
∴ 且PO为PA的倍数，
当 时， ，即点P为OA的中点，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为2或 ；
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为 或 ；
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为 或 ；
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
，
，
，
，
∴所有满足条件的p的倒数之和为198.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；定义新运算
【解析】【解答】 解：（1）∵ 表示的数是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据点P1表示的数可得P1O、P1A，然后根据进行计算；
（2）根据已知条件可得点M的坐标，然后求出MA，接下来根据 进行计算；
（3）由已知条件可知PO≥PA且PO为PA的倍数，当 时，点P为OA的中点，据此可得p的值；当 时，PO=2PA，当点P在OA之间时，P=2(1-p)求解可得P的值；当点P在A的右侧时，P=2(P-1)，求解可得P的值；同理可求出 、……时，P的值，然后求出所有满足条件的p的倒数之和即可.
1 / 1重庆市实验外国语学校2021-2022学年七年级下学期入学考试数学试卷
一、单选题
1．（2022七下·重庆开学考）实数 ，0， ， ， ，0.1，-0.313313331…（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的认识
【解析】【解答】解： ， ，
∴无理数有： ， ，-0.313313331…（每两个1之间依次增加一个3），
∴无理数有3个.
故答案为：B.
【分析】首先立方根与算术平方根的定义将需要化简的数进行化简；无理数常见三种形式如下：①开方开不尽的数；②与π有关的式子；③无限不循环小数，据此判断即可.
2．（2022七下·重庆开学考）下列式子变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】去括号法则及应用；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、 ， 故原题变形错误，不符合题意；
B、 ，故原题变形错误，不符合题意；
C、 ，故原题变形正确，符合题意；
D、 ，故原题变形错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的非负性可判断A；先去括号，括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘，据此可判断B、D；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断C.
3．（2020七上·惠城期末）如图，从左面看如图所示的几何体得到的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】由立体图形的三视图可直接排除A、C、D，只有B符合该立体图形的左视图；
故答案为：B．
【分析】根据所给的几何体求解即可。
4．（2022七下·重庆开学考）如果 是关于 的方程 的解，则 的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】将x=1代入方程中可得关于m的方程，求解即可.
5．（2022七下·重庆开学考）若 的补角是 ，则 的余角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α的补角等于130°，
∴∠α=50°，
∴∠α的余角等于：90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据互为补角的两角之和为180°可得∠α的度数，然后根据互为余角的两角之和为90°可得∠α的余角.
6．（2021七上·瑞安月考）若 ，其中 ， 为两个连续的整数，则 的值为（　　）
A．7 B．12 C．64 D．81
【答案】D
【知识点】平方根；估算无理数的大小；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵32=9<11<42，
∴3<<4，
∴a=3，b=4，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据平方根的定义先确定的范围，即在哪两个整数之间，则可确定a、b的值，最后代值计算即可.
7．（2022七下·重庆开学考）下列说法中正确的个数为（　　）
（1） 一定是正数；（2）单项式 的系数是 ，次数是3；（3）小数都是有理数；（4）多项式 是五次三项式；（5）连接两点的线段叫做这两点的距离；（6）射线比直线小一半.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；无理数的认识；单项式的次数和系数；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：（1）当a=0时，4a=0，故此说法错误；
（2）单项式 的系数是 ，次数是3，故此说法正确；
（3）无限不循环小数是无理数，故此说法错误；
（4）多项式 是三次三项式，故此说法错误；
（5）连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，故此说法错误；
（6）射线与直线是不可度量的，故射线比直线小一半的说法错误，
所以正确的说法有1个.
故答案为：A.
【分析】当a=0时，4a=0，据此判断（1）；单项式的次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此判断（2）；无限不循环小数是无理数，据此判断（3）；几个单项式的和叫做多项式，其中每一个单项式叫做多项式的项，多项式中，每一项都有次数，次数最高的项的次数就是多项式的次数，据此可判断（4）；根据两点的距离的概念可判断（5）；根据直线、射线不可度量可判断（6）.
8．（2021七上·瓜州期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（　　）
A．3（x﹣2）＝2x＋9 B．3（x＋2）＝2x﹣9
C． ＋2＝ D． ﹣2＝
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x辆车，则可列方程：
3（x﹣2）＝2x＋9.
故答案为：A.
【分析】设有x辆车，根据相等关系“总人数不变”可列方程.
9．（2022七下·重庆开学考）如图，线段 ，延长 到点 ，使 ，若点 是线段 的中点，则线段 的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．12
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∵点M是线段AC 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据AB的值结合BC=2AB可得BC的值，根据AC=BC+AB求出AC，然后利用中点的概念求出AM，接下来根据BM=AM-AB进行计算.
10．（2022七下·重庆开学考）如图所示， 是平角， 是射线， 、 分别是 、 的角平分线，若 ，则 的度数为（　　）
A．56° B．62° C．72° D．124°
【答案】B
【知识点】邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ OE 平分∠BOC
∴∠BOC=2∠COE=2×28°=56°
∵∠AOC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180° ∠BOC=124°
∵ OD平分∠AOC
∴
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的概念可得∠BOC=2∠COE=56°，结合邻补角的性质可得∠AOC的度数，然后根据角平分线的概念进行计算.
11．（2022七下·重庆开学考）如图，小明用棋子摆了几个“开”字，其中第①个“开”字用了14个棋子，第②个“开”字用了20个棋子，第③个“开”字用了26个棋子…，照此规律继续摆下去，第7个图需用到的棋子数为（　　）
A．38 B．44 C．50 D．56
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1个图需用到的棋子数为 ，
第2个图需用到的棋子数为 ，
第3个图需用到的棋子数为 ，
……，
由此发现规律，第n个图需用到的棋子数为8+6n，
所以第7个图需用到的棋子数为 .
故答案为：C.
【分析】根据图形可得后一个图形比前一个图形多用6个棋子，据此推出第n个图需用到的棋子数，据此解答.
12．（2022七下·重庆开学考）妞妞和馨月都有一个比自己大3岁的姐姐，若妞妞姐姐的年龄是馨月姐姐的3倍，且妞妞的年龄是馨月年龄的 倍，则所有满足要求的正整数 的值的和为（　　）
A．11 B．15 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设馨月的年龄为x岁，其中x为正整数，则妞妞的年龄为mx 岁，馨月姐姐的年龄为 （x+3） 岁，妞妞姐姐的年龄为（mx+3）岁，根据题意得：
，
整理得： ，
∴ m-3 和x是6的因数，
∵m为正整数，x为正整数，
∴ m-3取1、2、3、6，
∴当m取4、5、6、9时，x为正整数，
∴所有满足要求的正整数m的值的和为 .
故答案为：D.
【分析】设馨月的年龄为x岁，则妞妞的年龄为mx岁，馨月姐姐的年龄为(x+3)岁，妞妞姐姐的年龄为 (mx+3)岁，根据妞妞姐姐的年龄是馨月姐姐的3倍可列出方程，化简可得(m-3)x=6，根据m、x为正整数可得m、x的值，进而可求出正整数m的和.
二、填空题
13．（2022七下·重庆开学考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术.可根据不同项目分区域、分标准制冰.将数据12000用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
14．（2022七下·重庆开学考） 与 是同类项.则常数n的值为　 　.
【答案】2
【知识点】同类项
【解析】【解答】解： 与 是同类项，
故答案为：2.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，可得n的值.
15．（2022七下·重庆开学考）已知：x-2的平方根是±2， 的立方根为3，则 的算术平方根为　 　.
【答案】10
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵x-2的平方根是±2，
∴ ，解得 ，
又∵ 的立方根为3，
∴ ，解得 ，
∴ ，
100的算术平方根为10，
∴ 的算术平方根为10.
故答案为：10.
【分析】根据平方根、立方根的概念可得x-2=4，2x+y+7=27，求出x、y的值，然后计算出x2+y2的值，结合算术平方根的概念进行计算.
16．（2022七下·重庆开学考）已知 ，则 　 　.
【答案】3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：3.
【分析】待求式可变形为1+2(a-5b)，然后将已知条件代入进行计算.
17．（2022七下·重庆开学考）已知线段 ，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为　 　.
【答案】1cm或2cm
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：当M是AB的左三等分点，
∵AB=6cm，
∴AM= cm，
∵N是AM的中点，
∴AN=NM= ，
当M是AB的右三等分点，
∵AB=6cm，
∴AM= cm，
∵N是AM的中点，
∴AN=NM= ，
线段MN的长度为1cm或2cm.
故答案为：1cm或2cm.
【分析】当M是AB的左三等分点时，AM=AB=2cm，根据中点的概念可得AN=MN；当M是AB的右三等分点时，AM=AB=4cm，由中点的概念可得AN=NM，据此计算.
18．（2022七下·重庆开学考）有理数 ， ， 在数轴上表示的点如图所示，化简 　 　.
【答案】-3b-3c
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由数轴得 ，
∴ ， ， ，
∴
.
故答案为：-3b-3c.
【分析】由数轴可得a19．（2022七下·重庆开学考）一列火车正在匀速行驶，它先用25秒的时间通过了长300米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长120米的隧道乙，下列说法正确的是　 　.（填番号）
①这列火车长150米；②这列火车的行驶速度为10米每秒；
③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时18秒；
④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半.
【答案】③④
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设火车的长度为x米，根据题意，
得： ，
解得： ，故①错误；
∴火车行驶速度为 （米/秒），故②错误；
（秒），故③正确；
（秒），故④正确.
故答案为：③④.
【分析】设火车的长度为x米，则速度可表示为米每秒或米每秒，根据速度相同列出方程，求出x的值，据此判断①②；利用160+200的和除以速度可求出时间，据此判断③；利用300+200的和除以40可得时间，据此判断④.
20．（2020七上·鹿城月考）如图，这是一个数据转换器的示意图三个滚珠可以在槽内左右滚动，输入 的值，当滚珠发生撞击，就输出相撞滚珠上代数式所表示的数的和 .已知当三个滚珠同时撞击时，不论输入 的的值为多大，输出的 的值总不变.若输入一个整数 ，某些滚珠相撞，输出 值恰好为 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（2x 1）＋3＋ax＝2x 1＋3＋ax＝（2＋a）x＋2.
∵当三个滚珠同时相撞时，不论输入x的值为多大，输出y的值不变，
∴2＋a＝0，
解得：a＝ 2.
当y＝2x 1＋3＝2x＋2时，令y＝ 1，即 1＝2x＋2，
解得：x＝ 1.5（不合题意，舍去）；
当y＝3＋（ 2x）＝ 2x＋3时，令y＝ 1，即 1＝ 2x＋3，
解得：x＝2.
∴x的值为2.
故答案为：2.
【分析】当前两个滚珠相撞时，由输出结果为 1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，舍去；当后两个滚珠相撞时，由输出结果为 1，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值．
三、解答题
21．（2022七下·重庆开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算；含乘方的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）先计算乘方及去绝对值符号，然后计算除法，再计算加法即可得出答案；
（2）根据乘法分配律用36与括号内的每一个数相乘，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，然后计算乘法，最后计算加减法即可.
22．（2022七下·重庆开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： .
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1；
（4）先去分母（两边同时乘以20，左边的1也要乘以20，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
23．（2022七下·重庆开学考）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：
∵ ， ，且
∴ ，
即m+4=0，n+3=0
∴ ，
当 ， 时，原式
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性；利用整式的加减运算化简求值；非负数之和为0
【解析】【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简；接着根据绝对值的非负性以及二次根式的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0，可得m+4=0，n+3=0，求出m、n的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
24．（2022七下·重庆开学考）如图， 是 内部的一条射线， 是 内部的一条射线， 是 内部的一条射线.
（1）如图1， 、 分别是 、 的角平分线，已知 ， .求 的度数；
（2）如图2，若 ， ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：∵ 、 分别是 、 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ .
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线概念得∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOC，由∠MON=∠BOM+∠BON进行计算；
（2）设∠AOM=x，则∠BON=4x，∠BOM=5x，由∠AOC=∠AOM+∠CON+∠BON+∠BOM可得x的值，据此计算.
25．（2022七下·重庆开学考）如图，点 、 、 是线段 上依次排列的三个点， ， .
（1）若 ， ，求线段 的长；
（2）若点 、 、 在线段 上运动，始终保持 ， .请问 的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若改变，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴DE=6，
∴BD=DE+BE=8，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： 的值不变，理由如下：
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】（1）易得DE=6，则BD=DE+BE=8，然后根据BD=AD求出AD，根据CD=3AC可知AC=AD，据此计算；
（2）设AC=m，则CD=3m，BD=m，AB=AD+BD=m，DE=4m，CE=CD+DE=7m，据此求解.
26．（2022七下·重庆开学考）北京冬奥会速滑项目某场次门票价格为110元/人，若购买团体票有如下优惠：
购票人数 不超过50人的部分 超过50人，但不超过100人的部分 超过100人的部分
优惠方案 无优惠 每张票价优惠20% 每张票价优惠50%
例如：200人作为一个团体购票，则需要支付票款
元
北京某中学初一年级一班和二班全体学生准备去观看该场比赛，如果两个班作为一个团体去购票，则应付票款10175元.请列一元一次方程解决下列问题：
（1）已知两个班总人数超过100人，求两个班总人数；
（2）在（1）条件下，若一班人数多于50人，二班人数不足50人，但至少25人，如果两个班单独购票，一共应付票款11374元.求两个班分别有多少人？
【答案】（1）解：设有x人，
则两个班的总人数是105人
（2）解：设一班有y人，则二班有 人，
则二班有 （人），
即一班有58人，二班有47人.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设有x人，根据题干给出的优惠方案可知：前50张门票需付款(50×110)元，51至100张门票部分需付款(100-50)×110×(1-20%)元，超过100的部分门票需付款(x-100)×110×(1-50%)元，然后根据共付款10175元建立方程，求解即可；
（2）设一班有y人，则二班有(105-y)人，则一班需付款50×110+(y-50)×110×(1-20%)，二班需付款(105-y)×110，根据共付款11374元建立方程，求解即可.
27．（2022七下·重庆开学考）对于任意一个四位数 ，若 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”.将一个“智慧数” 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为 .例如“智慧数” ，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123.这四个新三位数的和为 ， ，所以 .
（1）计算： 　 　； 　 　；
（2）若“智慧数” （ ， ， ， 都是正整数）， 也是“智慧数”，且 能被12整除，求满足条件的 的值.
【答案】（1）262；875
（2）解： （ ， ，x，y都是正整数）
∴千位数字为9，百位数字为7，十位数字为x，个位数字为y，且 ，去掉千位上的数字得到 ，去掉百位上的数字得到 ，去掉十位上的数字得到 ，去掉个位上的数字得到 ，这四个新三位数的和为： ，
即
又∵ 也是“智慧数”，千位数为1，则百位数至少为2，
∴
∵ ， ，x，y都是正整数
∴
∴
∵ 能被12整除
∴ 的取值可以是1212和1224
当 时， ，有 ，此时无满足要求的 的值；
当 时， ，有 ，此时 ；
故满足条件的n的值为 .
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1） ，去掉千位上的数字得到131，去掉百位上的数字得到231，去掉十位上的数字得到211，去掉个位上的数字得到213，这四个新三位数的和为 ， ，所以 ；
，去掉千位上的数字得到876，去掉百位上的数字得到576，去掉十位上的数字得到586，去掉个位上的数字得到587，这四个新三位数的和为 ， ，所以 ；
故答案为：262；875；
【分析】（1）m=2131，去掉千位上的数字得到131，去掉百位上的数字得到231，去掉十位上的数字得到211，去掉个位上的数字得到213，求出这四个新三位数的和，除以3可得F(2131)的值，同理可得F(5876)的值；
（2）易得F(n)=1180+7x+y，根据F(n) 是“智慧数”可得F(n)的范围，根据F(n)能被12整除可得F(n)的值，进而求出x、y的值，据此解答.
28．（2022七下·重庆开学考）在数轴上，把原点记作点 ，表示数1的点记作点 .对于数轴上任意一点 （不与点 ，点 重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点 的特征值，记作 ，即 ，例如：当点 是线段 的中点时，因为 ，所以 .
（1）如图，点 为数轴上的一个点，点 表示的数是 ，则 　 　；
（2）数轴上的点 满足 ，求 ；
（3）数轴上的点 表示有理数 ，已知 且 为整数，求所有满足条件的 的倒数之和.
【答案】（1）
（2）解： ，
∴ 或 ，
当 ， ，
∴ ；
当 ， ，
∴ ；
综上可得： 或 ；
（3）解：∵ 且 为整数，
∴ 为整数，
∴ 且PO为PA的倍数，
当 时， ，即点P为OA的中点，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为2或 ；
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为 或 ；
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为 或 ；
当 时， ，
当点P在OA之间，
∴ ，
∴ ，
当点P在A的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，p的值为 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
，
，
，
，
∴所有满足条件的p的倒数之和为198.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；定义新运算
【解析】【解答】 解：（1）∵ 表示的数是 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据点P1表示的数可得P1O、P1A，然后根据进行计算；
（2）根据已知条件可得点M的坐标，然后求出MA，接下来根据 进行计算；
（3）由已知条件可知PO≥PA且PO为PA的倍数，当 时，点P为OA的中点，据此可得p的值；当 时，PO=2PA，当点P在OA之间时，P=2(1-p)求解可得P的值；当点P在A的右侧时，P=2(P-1)，求解可得P的值；同理可求出 、……时，P的值，然后求出所有满足条件的p的倒数之和即可.
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