6.2.3向量的数乘运算 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为 ，
那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位
移对应的向量怎样表示？是 吗？兔子在相反方向
上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎
样表示？是 吗 请同学们自己思考.
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义．
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
3.理解两个向量共线的含义.
1.运用向量的数乘运算培养学生的数学运算能力,数乘向量可以判断几何中三点共线和两直线平行等问题，培养学生的逻辑推理能力。
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
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课
堂
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 ，如何求作向量 ＋ ＋ 和（－ ）＋（－ ）＋ （－ ）？
提示:
O
A
B
C
N
M
O
P
（－ ）＋（－ ）＋（－ ）
思考2：向量 ＋ ＋ 和(- )+(- )+(- )分别如何简化其表示形式？
提示:
＋ ＋ 记为3 ，
（－ ）＋（－ ）＋（－ ）记为－3 .
思考3：向量3 和－3 与向量 的大小和方向有什么关系？
O
A
B
C
O
M
N
P
思考4：设 为非零向量，那么 还是向量吗？它们分别与
向量 有什么关系？
提示:
思考5：一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘.记作λ ，该向量的长度及方向与向量 有什么关系？
提示:
（1）|λ |=|λ|| |；
（2）λ>0时,λ 与 方向相同；
λ<0时,λ 与 方向相反；
λ=0时,λ = .
【即时训练】
C
向量数乘的运算律及共线向量基本定理
思考1：你认为－2×（5 ），2 ＋2 ，
可分别转化为什么运算？
提示:
-2× (5 )= -10 ；
2 ＋ 2 = 2( + )；
(3＋ ) =3 ＋
思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μ )，
(λ＋μ) ，λ( ＋ )分别等于什么？
=
提示:
B
C
A
D
E
提升总结：向量数乘的运算律
思考3：对于向量 （ ）和 ，若存在实数λ，
使 ，则向量 与 的方向有什么关系？
提示：共线
思考4：若向量 （ ）与 共线，则一定存在实
数λ，使 成立吗？
提示：一定存在
思考5：综上可得向量共线定理：向量 （ ）与
共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 =λ .
若 ＝ ，上述定理成立吗？
提示：不成立
【即时训练】
B
例1.计算
（1）（－3）×4 ；
（2）3（ ＋ ）－2（ － ）－ ；
（3）（2 ＋3 － ）－（3 －2 ＋ ）.
【解析】
向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.
【变式练习】
例2.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且 = ，
= ，你能用 , 表示 ， 吗？
M
A B
D C
【变式练习】
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且
有BN= BD，求证：M，N，C三点共线.
提示：设 ，
则
所以M，N，C三点共线.
例3.如图，已知任意两个非零向量 试作
你能判断A，B，C三点之间的
位置关系吗？为什么？
O
A
B
C
分析：
A，B，C三点共线.
【解析】分别作向量 ，过点A，C作直线AC.观察发现，不论向量 怎样变化，点B始终在直线AC
上，猜想A，B，C三点共线.
事实上，因为
1. 向量数乘
的定义.
2.向量数乘的运算律.
3.共线向量定
理.
1.向量的数乘运算可类似于代数多项式运算.
2.用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表
示即可.
数学抽象：
向量数乘概念
逻辑推理：
向量共线的充要条件及其应用
数学运算：
向量的线性运算
向量的数乘运算中，“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数
D
A
B
-2
黎明的曙光对暗夜是彻底的决裂，对彩霞是伟大的奠基。
停止前进的脚步，江河就会沦为一潭死水。