【中考数学总复习】第13课时 二次函数的图象与性质 课件

(共29张PPT)
第三单元 函 数
第13课时　二次函数的图象与性质
(每年第10题必考，3分)
目
录
点对点“过”考点
1
典例“串”考点
2
3
陕西5年真题、副题“明”考法
点对点“过”考点
【对接教材】北师：九下第二章P28－P63；
人教：九上第二十二章P27－P57.
二次函数表
达式的确定
二次函数
图象的平移
二次函数与
一元二次方程、
不等式的关系
二次函数的概念
与一元二次
方程的关系
与不等式的关系
二次函数的
图象与性质
二次函数
的图象与性质
根据二次函数解析
式判断函数性质
根据二次函数解析
式判断函数图象
根据二次函数图象
判断相关结论
二次函数的概念
考点
1
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
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二次函数的图象与性质
考点
2
1. 根据二次函数解析式判断函数性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
对称轴 (1)直接利用公式x＝________
(2)配方转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为________
注：还可利用x＝ (其中x1、x2为y值相等的两点的横坐标)求解
顶点坐标 (1)直接利用顶点坐标公式_________________
(2)配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为________
(3)将对称轴x＝x0代入函数表达式求得对应的y0
x＝h
(h，k)
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函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 增减性 a>0 对称轴左侧，即x< , y随x的增大而________
对称轴右侧，即x> , y随x的增大而________
a<0 对称轴左侧，即x< , y随x的增大而________
对称轴右侧，即x> , y随x的增大而________
最大值或最小值 a>0 当x＝________时，y最小值＝
a<0
当x＝________时，y最大值＝
减小
增大
增大
减小
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2. 根据二次函数解析式判断函数图象
一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a的正负决定开口方向 a>0 开口向________
a<0 开口向________
a，b决定对称轴位置 b＝0 对称轴为______轴
a、b同号 对称轴在y轴________侧
a、b异号 对称轴在y轴________侧
上
下
y
左
右
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一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) c决定与y轴交点位置 c＝0 抛物线过原点
c>0 抛物线与y轴交于________半轴
c<0 抛物线与y轴交于________半轴
b2－4ac决定与x轴交点个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点)
b2－4ac>0 与x轴有________交点
b2－4ac<0 与x轴没有交点
正
负
两个
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3. 根据二次函数图象判断相关结论
图象
结论 a________0 b________0 c________0 b2－4ac________0 a________0 b________0 c________0 b2－4ac________0 a________0 b________0 c________0 b2－4ac________0 a________0
b________0
c________0
b2－4ac________0
>
>
<
>
<
＝
>
>
>
>
>
<
<
<
>
＝
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图象
结论 a________0 b________0 c________0 b2－4ac________0 a________0 b________0 c________0 b2－4ac________0 a________0 b________0 c________0 b2－4ac________0 a________0
b________0
c________0
b2－4ac________0
>
>
>
<
>
>
>
＝
<
>
>
＝
>
＝
＝
＝
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二次函数表达式的确定
考点
3
表达式的三种形式
1. 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c为常数)；
2. 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k为常数)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标；
3. 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a为常数，x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标)．
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二次函数图象的平移
考点
4
平移前的解析式 平移方向 平移后的解析式 简记
y＝a(x－h)2＋k 向左平移m个单位 y＝a(x－h )2＋k 左“＋”
向右平移m个单位 y＝a(x－h )2＋k 右“－”
向上平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k 上“＋”
向下平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k 下“－”
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【提分要点】(1)在一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，左右平移给x加减平移单位，上下平移给等号右边整体加减平移单位．
(2)二次函数图象平移的实质是图象上点的整体平移(研究顶点坐标为主)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可．
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二次函数与一元二次方程、不等式的关系
考点
5
1. 二次函数与一元二次方程的关系
方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标值
抛物线与x轴有两个交点 方程有两个______的实数根 b2－4ac＞0
抛物线与x轴有一个交点 方程有两个相等的实数根 b2－4ac______0
抛物线与x轴无交点 方程__________ b2－4ac______0
不相等
＝
无实数根
<
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2. 二次函数与不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c>0的解集 函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴________对应的点的横坐标的取值范围；
(2)ax2＋bx＋c<0的解集 函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴________对应的点的横坐标的取值范围．
上方
下方
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典例“串”考点
例1　已知抛物线y＝x2－2bx＋b2－1.
(1)抛物线开口向______，化为顶点式为 ；
(2)抛物线的对称轴为直线____________；
(3)抛物线的顶点坐标为____________；
(4)该二次函数有最________值(填“大”或“小”)，为____________；
(5)抛物线与y轴的交点坐标为____________，与x轴的交点坐标为
；
(6)若抛物线对称轴在直线x＝1右侧，则抛物线不经过第______象限；
(7)若点(b－3，y1)、(b＋3，y2)都在抛物线上，则y1与y2的大小关系为__________；
上
y＝(x－b)2－1
x＝b
(b，－1)
小
－1
(0，b2－1)
(b＋1，0)或(b－1，0)
三
y1＝y2
(8)当－1＜b＜1，若x＝2b，则y____0(填“＞”、“＜”或“＝”)；
(9)若b＝2.
①在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象；
②若y随x的增大而增大，则x的取值范围为________；
③当－2≤x≤5时，y的最大值为__________，最小值为________．
例1题图
＜
x≥2
15
－1
例1题解图
（9）①画出函数图像如解图：
例2　在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．
例2题图
判断下列结论的正误：
(1)abc＜0 (　　)
(2)4ac－b2＜0 (　　)
(3)2a＋b＝0 (　　)
(4)3a＋b＜0 (　　)
√
√
×
×
(5)3a＋c＜0(　　)
(6)二次函数的最小值为a－b＋c(　　)
(7)9a－3b＋c＝0(　　)
(8)当y＜0时，－3＜x＜1(　　)
(9)对于任意实数m，a－b≥m(am＋b)总成立(　　)
(10)若该函数与y轴的交点在(0，－1)和(0，－2)之间(包括端点)，则 ≤a≤ (　　)
(11)方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根一个小于1，另一个大于－3 (　　)
√
√
√
√
×
×
×
例3　已知抛物线y＝－x2＋3x＋4.
(1)将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后的抛物线表达式为______________
(2)将抛物线平移后，得到的新的抛物线的顶点为( ， )，则平移方式为 ；
(3)抛物线关于原点对称的抛物线表达式为 ，关于x轴对称的抛物线的表达式为 ，关于y轴对称的抛物线的表达式为 ；
(4)抛物线关于直线x＝1对称的抛物线的表达式为 ；
(5)抛物线关于直线y＝－2对称的抛物线的表达式为 ；
y＝－x2－x＋7
向下平移6个单位长度
y＝x2＋3x－4
y＝x2－3x－4
y＝－x2－3x＋4
y＝－x2＋x＋6
y＝x2－3x－8
【提分要点】抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的平移、轴对称、旋转变换可以对应看作其顶点(h，k)的平移、轴对称、旋转变换，掌握各种变化后的a值和顶点(h′，k′)便可轻松得到变换后的二次函数表达式，具体如下：
y＝a(x－h)2＋k a 顶点(h，k)
平移变换 不变 变
轴对称变换 x轴 相反数 (h，－k)
y轴 不变 (－h，k)
旋转变换 绕顶点(180°) 相反数 (h，k)
绕原点(180°) 相反数 (－h，－k)
陕西5年真题、副题“明”考法
命题点
1
二次函数的图象与性质(必考)
类型一　函数增减性
1. (2018陕西副题10题3分)已知抛物线y＝x2＋(m＋1)x＋m，当x＝1时，y>0，且当x<－2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是(　　)
A．m>－1　　　　　　　　　B．m<3
C．－1C
类型二　与函数图象的对称轴或顶点有关的问题(5年4考)
2. (2018陕西10题3分)对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. (2019陕西10题3分)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则符合条件的m、n的值为(　　)
A. m＝ ，n＝　　　　　　　　 B. m＝5，n＝－6
C. m＝－1，n＝6 D. m＝1，n＝－2
C
D
4. (2015陕西副题10题3分)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距10个单位长度．若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2＋6x＋m，则m的值是(　　)
A. －4或－14　 　 B. －4或14　 　 C. 4或－14　 　 D. 4或14
5. (2017陕西10题3分)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′.若点M′ 在这条抛物线上，则点M的坐标为(　　)
A. (1，－5) B. (3，－13) C. (2，－8) D. (4，－20)
6. (2017陕西副题10题3分)已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝1，且它与x轴交于A、B两点．若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为(　　)
A. (1，9) B. (1，8) C. (1，－9) D. (1，－8)
D
C
C
7. (2016陕西10题3分)已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为(　　)
A. B. C. D. 2
D
类型三　函数图象与坐标轴的交点问题(2015.10)
8. (2015陕西10题3分)下列关于二次函数y＝ax2－2ax＋1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是(　　)
A. 没有交点
B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
D
命题点
2
二次函数图象的平移
9. (2019陕西副题10题3分)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－(a－2)x＋a2－1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A(0，3)，则平移后的抛物线的对称轴为(　　)
A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝－2 D. x＝2
10. (2016陕西副题10题3分)将抛物线M：y＝ x2＋2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M′.若抛物线M′与x轴交于A、B两点，M′的顶点记为C，则∠ACB＝(　　)
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
D
C
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