【中考数学总复习】第14课时 二次函数的综合应用 课件

(共83张PPT)
第三单元 函 数
第14课时　二次函数的综合应用
(每年第24题必考，10分)
目
录
典例“串”考点
1
2
陕西5年真题、副题“明”考法
典例“串”考点
一、二次函数表达式的确定
类型一　表达式已知
1. 已知抛物线 y＝x2－bx＋c的顶点坐标为(－1，2)，求抛物线的表达式．
解：∵抛物线的表达式中a＝1，
∴将抛物线表达式写成y＝(x－h)2＋k，
代入顶点坐标(－1，2)，得y＝(x＋1)2＋2＝x2＋2x＋3，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x＋3.
2. 已知抛物线y＝－ax2＋2x＋c经过点(－1，3)，(0，3)，求抛物线的表达式．
解：∵抛物线经过点(0，3)．
∴c＝3，
将(－1，3)代入y＝－ax2＋2x＋3中得，3＝－a－2＋3，
∴a＝－2，
∴抛物线的表达式为y＝2x2＋2x＋3.
类型二　 表达式未知
3. 已知抛物线的顶点坐标为(2，3)，且经过点(1，2)，求抛物线的表达式．
解：∵抛物线的顶点坐标为(2，3)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋3，
将点(1，2)代入，得2＝a＋3，
解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋4x－1.
4. 已知抛物线与x轴的交点为(－2，0)、(2，0)，且经过点(1，3)，求抛物线的表达式．
解：∵抛物线与x轴的交点为(－2，0)、(2，0)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－2)，
将点(1，3)代入，得3＝－3a，
解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋2)(x－2)＝－x2＋4.
5. 已知抛物线经过点(0，－6)，(2，－4)和(3，0)，求抛物线的表达式．
解：设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c，
将点(0，－6)，(2，－4)和(3，0)代入，
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－6.
【提分要点】待定系数法求抛物线表达式方法如下：
表达式已给出 找出抛物线上的两个点或三个点坐标代入即可
表达式未给出 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常设表达式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点时，通常设表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)
当已知抛物线上任意三点时，通常设抛物线的表达式为
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
二、二次函数综合题
类型一　二次函数与特殊三角形判定
1. 如图，线段AB与直线l交于点A，且AB不与直线l垂直，请在l上找一点P，使△ABP为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法．
第1题图
解：如解图，①以AB为腰，A为顶角顶点作图得P1，P2；②以AB为腰，B为顶角顶点作图得P3；②以AB为底，作图得P4.所作P1，P2，P3，P4即为所求．
第1题解图
【作法提示】①以A为圆心，AB长为半径画圆，交直线l于P1，P2两点；②以B为圆心，AB长为半径画圆，交直线l于点P3；③作AB的垂直平分线，分别以A，B为圆心，大于 AB的任意长为半径画圆，交AB两侧于两点，过两点的直线与l的交点即为P4.
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，0)，若在y轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
第2题图
解：设点C的坐标为(0，c)，
∵A(2，2)，B(4，0)，根据勾股定理得，AB2＝(4－2)2＋22＝8，
AC2＝22＋(2－c)2＝c2－4c＋8，BC2＝42＋c2＝c2＋16.
分情况讨论：
①当AB＝AC时，AB2＝AC2，即8＝c2－4c＋8. 解得c1＝0，c2＝4.
当c＝4时，A，B，C在同一直线上，不合题意；∴当c＝0时，C与原点O重合，即C(0，0)；
②∵AB③当AC＝BC时，AC2＝BC2，即c2－4c＋8＝c2＋16. 解得c＝－2，∴点C(0，－2)．
综上所述，满足条件的点C的坐标为(0，0)或(0，－2)．
3. 如图，线段AB在直线l上方，请在直线l上求作一点P，使△PAB是直角三角形，请在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法．
第3题图
解：存在点P，使△PAB是直角三角形，如解图中点P1，P2，P3，P4即为满足条件的点P.
画图依据：①AB作为直角边：分别过点A，B作线段AB的垂线，交l于点P1，P2；②AB作为斜边：以AB为直径画圆，交l于点P3，P4，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形．
第3题解图
4. 如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，－3)．在直线x＝1上有一点Q，使△QBC为直角三角形，求点Q的坐标．
第4题图
解：∵点Q在直线x＝1上， ∴可设Q点坐标为(1，t )，
∵B(3，0)，C(0，－3)， ∴BQ2＝(1－3)2＋t2＝t2＋4，
CQ2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10， BC2＝18.
要使△QBC为直角三角形，可分为∠BQC＝90°、∠CBQ＝90°和∠BCQ＝90°三种情况，
①当∠BQC＝90°时，则有BQ2＋CQ2＝BC2，
即t2＋4＋t2＋6t＋10＝18
②当∠CBQ＝90°时，则有BC2＋BQ2＝CQ2，
即t2＋4＋18＝t2＋6t＋10. 解得t＝2.
此时点Q坐标为(1，2)；
③当∠BCQ＝90°时，则有BC2＋CQ2＝BQ2，
即18＋t2＋6t＋10＝t2＋4. 解得t＝－4.
此时点Q坐标为(1，－4)．
综上，点Q的坐标为
5. 如图，已知点M，N是抛物线y＝－x2＋2x＋3上的两点(点M在点N的左侧)，连接MN.若MN∥x轴，则在x轴上求作一点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形，求点Q的坐标．
【思维教练】要使△MNQ为等腰直角三角形，则需分M，N，Q三点中哪个点为直角
顶点进行分类讨论，此外需满足斜边是直角边的 倍．
第5题图
解：如解图，△QMN是直角三角形，直角顶点不确定，则分以下三种情况讨论：
①当点Q是直角顶点时，根据等腰直角三角形的对称性可知点Q1(1，0)；
②当点M或N是直角顶点，且点M、N在x轴上方时，设点Q2(x，0)(x＜1)，
∴Q1Q2＝1－x，
∴MN＝2Q1Q2＝2(1－x)，
∵△Q2MN为等腰直角三角形，
∴y＝2(1－x)，即－x2＋2x＋3＝2(1－x)(其中x＜1)．
③若点M或点N是直角顶点，且点M、N在x轴下方时，设点Q4(x，0)(x＜1)，
∴Q1Q4＝1－x，
∴MN＝2Q1Q4＝2(1－x)．
∵△Q4MN为等腰直角三角形，
∴－y＝2(1－x)，
即－(－x2＋2x＋3)＝2(1－x)(其中x＜1)．
第5题解图
【提分要点】二次函数与等腰三角形或直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：
1. 用点坐标表示三角形三边长的平方；
2. 根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三组方程；根据直角三角形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分别列方程；
3. 分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形．
此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算：
1. 等腰三角形利用两圆一线找交点，①已知边为腰时，作圆找点；②已知边为底时，作线段垂直平分线找点；
2. 直角三角形利用两线一圆找交点，①已知边为直角边，分别过边的两端点作边的垂线找点；②已知边为斜边，作以斜边为直径的圆找点．
类型二　二次函数与特殊四边形判定
1. 如图，已知平面上不共线三个点A，B，C，求一点P，使得以A，B，C，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法．
第1题图
解：如解图，点P1、P2、P3即为所求．
第1题解图
【作法提示】连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P.
2. 在如图所示的网格中，点A、B都在格点上，请找出两组格点C、D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．
第2题图
解：以AB为边的平行四边形ABCD如解图①(答案不唯一)；
以AB为对角线的平行四边形ACBD如解图②(答案不唯一)．
第2题解图
【作法提示】分两种情况讨论：①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定C、D的位置；②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定C、D的位置．
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A(4，2)，B(－1，－3)，P是x轴上的一点，Q是y轴上的一点．若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．
第3题图
解：如解图，当AB为边时，
①当四边形QPBA是平行四边形，
∴AB＝PQ，QA＝PB， ∴Q点的坐标是(0，5)；
②当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，
∴AP1＝Q1B，AQ1＝BP1. ∴Q1点的坐标是(0，－1)．
③当四边形ABQ2P2是平行四边形时，
∴AB＝P2Q2，AP2＝BQ2.
∵点A(4，2)，B(－1，－3)， ∴AB＝ ，则OP2＝OQ2＝5.
∴点Q2的坐标是(0，－5)；
综上所述，符合题意的点Q的坐标为(0，5)或(0，－1)或(0，－5)．
第3题解图
4. 如图，在平面直角坐标系中，A(－2，0)，C(0，－6)，连接AC.若点M是y轴上的一点，点N是坐标平面内任意一点，若要使以AC为边，且以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，求出点N的坐标．
第4题图
解：∵A(－2，0)，C(0，－6)，
∴OA＝2，OC＝6，
如解图，在菱形ACN1M1中，N1坐标为(2，0)；
在菱形ACM3N3中，
第4题解图
5. 如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，3)．若点D是直线x＝2上一点，点E是平面内任意一点，要使四边形ABDE为矩形，求出点D、E的坐标．
第5题图
解：如解图，要使四边形ABDE为矩形，设直线x＝2交x轴于点F，则∠ABD＝90°，△BDC∽△FAC，
∵C(2，1)，F(2，0)，A(3，0)，B(0，3)，
∴D(2，5)，
∵AB∥DE，AB＝DE，根据点平移及矩形性质可得，E(5，2)．
∴使得四边形ABDE为矩形，点D、E的坐标分别为D(2，5)、E(5，2)．
第5题解图
6. 如图，已知抛物线交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C(0，2)，点D为抛物线的顶点．点P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
第6题图
【思维教练】要以B、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形，B、C、D三点确定，
则需分CD、BC、BD分别为对角线三种情况讨论．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，2)代入得，
∵C(0，2)，B(3，0)，
①当CD、BP为平行四边形的对角线时，CD与BP互相平分，
②当BC、PD为平行四边形的对角线时，BC与PD互相平分，
③当BD、PC为平行四边形的对角线时，BD与PC互相平分，
以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
【提分要点】二次函数与特殊四边形判定问题，解题思路如下：
1. 判定平行四边形时，一定要学会分类讨论：
(1)已知四个顶点A、B、C、D中的两点A、B，则分：①线段AB为边，根据AB∥CD且AB＝CD；②线段AB为对角线，根据AB、CD互相平分；
(2)已知四个顶点A、B、C、D中的三点A、B、C，则分：①线段AB为对角线，过点C找点D；②线段AC为对角线，过点B找点D；③线段BC为对角线，过点A找点D；
2. 判定菱形时，在平行四边形的基础上满足邻边相等或对角线互相垂直即可；
3. 判定矩形时，在平行四边形的基础上满足有一个角为直角或对角线相等即可；
4. 判定正方形时，在平行四边形的基础上，满足有一个角为直角且邻边相等或对角线互相垂直且相等即可．
类型三　二次函数与图形面积
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，2)．求△OAB的面积．
第1题图
解：由题意得OA＝1，
在△AOB中，以AO为底，则△AOB的高是点B的纵坐标的绝对值，
2. 如图，在平面直角坐标系中，线段BC⊥x轴，垂足为B，点C的坐标为(4，3)，点A在y轴上，求△ABC的面积．
第2题图
解：∵BC⊥x轴，∴BC的长度为点C的纵坐标的绝对值，当以BC为底边，△ABC的高是点C的横坐标的绝对值，
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求△ABC的面积．
第3题图
解：如解图，过点B作y轴的平行线交直线AC于点D.
第3题解图
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将点A、C代入得，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求四边形AOBC的面积；
第4题图
解：如解图，连接AB，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E.
∵A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，
∴DE＝|xC|－|xA|＝4，DB＝|xB|－|xA|＝2，BE＝|xC|－|xB|＝2.
∴S四边形AOBC＝S△AOB＋S△ABC＝S△AOB＋S四边形ADEC－S△ADB－S△BCE
第4题解图
5. 如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，在抛物线的第一象限内求作一点C，使得四边形OACB的面积为 ，求点C的坐标．
第5题图
【思维教练】结合题图可知四边形OACB为不规则图形，在涉及与面积相关的计算时，
需将其分割成边在坐标轴上或平行于坐标轴的面积易求解的三角形或四边形，因此想
到过点C作x轴的垂线，再求解即可．
解：如解图，过点C作CD⊥x轴于点D，
设C(n，－n2＋4n＋5)(n＞0)， 则DO＝n，CD＝－n2＋4n＋5，AD＝5－n，
S四边形OACB＝S四边形OBCD＋S△ADC
×(－n2＋4n＋5)
解得n＝2或3.
∴点C的坐标为(2，9)或(3，8)．
第5题解图
【提分要点】二次函数与图形面积问题，解题思路如下：
1. 观察图形，弄清楚所求与面积有关的图形形状；
2. 作出与图形面积有关的辅助线，将所求面积转化为可以用面积公式进行求解的图形(一般转化为三角形的面积进行讨论求解)，一般是作三角形的高或y轴、x轴的垂线，再利用面积公式求解．
类型四　二次函数与三角形相似
1. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点M为直线l外一点，连接MC，∠ACM＝90°，在直线l上找一点P，使得△MCP与△ABC相似，请在图中作图画出所有符合要求的点P.
第1题图
解：如解图，点P1、P2就是所求点．
第1题解图
2. 如图，已知点A(0，4)，C(1，0)，点P(m，－m2＋3m＋4)，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP，在平面内求作一点P，使△AQP∽△AOC，求出点P的坐标．
第2题图
∵P(m，－m2＋3m＋4)， ∴AQ＝|m|，PQ＝|4－(－m2＋3m＋4)|.
∴|m|＝4×|4－(－m2＋3m＋4)|，即4×|m2－3m|＝|m|，
解方程4(m2－3m)＝m得m1＝0(舍去)，m2＝
解方程4(m2－3m)＝－m得m1＝0(舍去)，m2＝
综上所述，点P的坐标为
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，点F是线段AC上任意一点，若△AOF与△ABC相似，求满足条件的点F的坐标．
第3题图
解：如解图①，过O点作BC的平行线，交AC于点F1，过点F1作F1M⊥x轴于点M.
第3题解图①
∵点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，
∴AO＝3，OB＝1，OC＝3，AC＝ ，
∵OF1∥BC，
∴∠AOF1＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOF1∽△ABC，
∵OF1∥BC，
∴∠AOF1＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOF1∽△ABC，
∵∠A＝∠A，∠AMF1＝∠AOC＝90°，
∴△AMF1∽△AOC，
如解图②，过点O作∠AOF2＝∠ACB交AC于点F2，则△AOF2∽△ACB时，
过点F2作F2N⊥x轴于点N，
∴AN＝F2N＝2，ON＝1.
此时F2(－1，2)．
第3题解图②
综上所述，若△AOF与△ABC相似，则点F的坐标为
4. 如图，抛物线y＝ x2＋ x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在抛物线上求作点 Q(点 C除外)，使以点 Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似．求点Q的坐标．
第4题图
【思维教练】要使以点 Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，对应顶点不确定，
故需分①△ABC∽△BAQ；②△ABC∽△AQB；③△ABC∽△BQA三种情况讨论．
【提分要点】二次函数与三角形相似问题，解题思路如下：
一般由相似三角形对应边成比例，建立比例关系．特别是用文字叙述的相似三角形，需要分情况找到对应边，由比例关系得出相应的关系式，列出方程求解，通常会用到方程思想．
解：根据抛物线解析式可得，A(－4，0)，B(6，0)，C(0，3)，
分为三种情况讨论：
①当△ABC∽△BAQ时，如解图①，
即△ABC≌△BAQ，
第4解题图①
第4题解图②
过点Q作QF⊥x轴于点F，由QF＝OC＝3得Q(2，3)；
②当△ABC∽△AQB时，如解图②，
过点Q作QD⊥x轴于点D，
∴Q(12，－12)；
③当△ABC∽△BQA时，如解图③，
第4题解图③
过点Q作QE⊥x轴于点E，
同理可得
∴Q(－10，－12)．
综上所述，点Q的坐标为(2，3)或(12，－12)或(－10，－12)．
陕西5年真题、副题“明”考法
类型一　二次函数与特殊三角形判定(2016.24)
1. (2016陕西24题10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，
且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形
是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
第1题图
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋5.(2分)
对于方程x2－3x＋5＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，
∴抛物线与x轴无交点；(3分)
(2)将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．理由如下：
如解图，∵△AOB是等腰直角三角形，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴上，
∴点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，－2)．(5分)
设平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋mx＋n.
①当平移后的抛物线经过点A(－2，0)、B1(0，2)时，
∴平移后的抛物线为y＝x2＋3x＋2.(7分)
∴该抛物线的顶点坐标为
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；(8分)
②当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，
∴平移后的抛物线为y＝x2＋x－2.(9分)
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平
移5个单位即可获得符合条件的抛物线．(10分)
第1题解图
类型二　 二次函数与特殊四边形判定(2017.24)
2. (2017陕西24题10分)在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
(1)求抛物线C1、C2的函数表达式；
(2)求A、B两点的坐标；
(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存
在一点Q，使得以AB为边，且A、B、P、Q四点为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；
若不存在，请说明理由．
第2题图
解：(1)∵抛物线C1与C2关于y轴对称，
∴C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同．
∴a＝1，n＝－3.(2分) ∴C1的对称轴为直线x＝1.
∴C2的对称轴为直线x＝－1. ∴m＝2.(3分)
∴C1：y＝x2－2x－3，C2：y＝x2＋2x－3；(4分)
(2)令C2中y＝0，则x2＋2x－3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1，
∵点A在点B左侧，∴A(－3，0)、B(1，0)；(6分)
(3)存在．(7分)
如解图，设P(a，b)，则Q(a＋4，b)或(a－4，b)．
第2题解图
①当Q(a＋4，b)时，得：
a2－2a－3＝(a＋4)2＋2(a＋4)－3.
解得a＝－2.
∴b＝a2－2a－3＝4＋4－3＝5.∴P1(－2，5)、Q1(2，5)；(9分)
②当Q(a－4，b)时，得：
a2－2a－3＝(a－4)2＋2(a－4)－3.
解得a＝2.
∴b＝a2－2a－3＝4－4－3＝－3.∴P2(2，－3)、Q2(－2，－3)．
综上所述，所求点的坐标为
P1(－2，5)、Q1(2，5)；P2(2，－3)、Q2(－2，－3)．(10分)
类型三　二次函数与图形面积(5年2考)
3. (2017陕西副题24题10分)如图，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)，OB＝OC＝3OA.
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM
周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，
使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；
若不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)∵A(－1，0)，OB＝OC＝3OA，
∴B(3，0)，C(0，－3)．
∴y＝x2－2x－3；(4分)
(2)存在．
由题意知，抛物线对称轴为直线x＝1.
记直线BC与直线x＝1的交点为M，
∴点M即为所求．(5分)
理由：如解图，连接AM.
第3题解图
∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴AM＝MB. ∴CM＋AM＝CM＋MB＝BC.
∴△ACM的周长＝AC＋BC.
在直线x＝1上任取一点M′，连接CM′、BM′、AM′.
∵AM′＝M′B， ∴CM′＋AM′＝CM′＋M′B≥BC.
∴AC＋CM′＋AM′≥AC＋BC. ∴△ACM的周长最小．(6分)
设直线x＝1与x轴交于点D，则MD∥OC.
∴M(1，－2)；(7分)
(3)存在．
设点N坐标为(n，n2－2n－3)．
∵S△ABC＝2S△OCN，
∴|n|＝2. ∴n＝±2.(8分)
当n＝2时，n2－2n－3＝－3.
∴N(2，－3)．
当n＝－2时，n2－2n－3＝5. ∴N(－2，5)．
综上所述，符合条件的点N有(2，－3)或(－2，5)．(10分)
4. (2018陕西24题10分)已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
解：(1)在y＝x2＋x－6中，令y＝0，得x2＋x－6＝0，
解得x1＝－3，x2＝2，
∴A(－3，0)，B(2，0)．(2分)
令x＝0，得y＝－6， ∴C(0，－6)，(3分) ∴AB＝5，OC＝6，
(2)由题意，得A′B′＝AB＝5，
要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴的交点为C′( 0，－6)或C′(0，6)即可．
设所求抛物线L′的函数表达式为y＝x2＋mx＋6或y＝x2＋nx－6，(7分)
∵抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，
解得m＝±7，n＝±1(n＝1舍去)，
∴抛物线L′的函数表达式为y＝x2＋7x＋6，y＝x2－7x＋6或y＝x2－x－6.(10分)
5. (2015陕西24题10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋5x＋4的顶点为M，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求抛物线y＝x2＋5x＋4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
(3)设(2)中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′、B′两点，与y轴交于C′点．在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．
解：(1)令y＝0，得x2＋5x＋4＝0.
∴x1＝－4，x2＝－1，
令x＝0，得y＝4，
∴A(－4，0)、B(－1，0)、C(0，4)；[或A(－1，0)、B(－4，0)、C(0，4)也正确](3分)
(2)∵点A、B、C关于原点O对称的点分别为(4，0)、(1，0)、(0，－4)，
∴设所求抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx－4.(5分)
将(4，0)、(1，0)代入上式，得
∴y＝－x2＋5x－4；(7分)
(3)如解图，取四点A、M、A′、M′，连接AM、MA′、A′M′、M′A、MM′.
第5题解图
由中心对称性可知，MM′过点O，OA＝OA′，OM＝OM′，
∴四边形AMA′M′为平行四边形．
又知AA′与MM′不垂直，
∴□AMA′M′不是菱形．(8分) 过点M作MD⊥x轴于点D.
（求得符合题意的□BMB′M′的面积为 或□CMC′M′的面积为20亦正确）
又∵A(－4，0)、A′(4，0)，
∴AA′＝8.
∴S□AMA′M′＝2S△AMA′＝
6. (2016陕西副题24题10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A(2，1)．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6题图
解：(1)如解图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D.
∵△AOB为等腰直角三角形，
且A(2，1)，
∴OB＝OA，∠DOA＋∠AOC＝∠DOA＋∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD.
又∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△AOC≌△BOD.
∴BD＝AC＝1，OD＝OC＝2，
∴B(－1，2)；(2分)
第6题解图
(2)设经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx(a≠0)，将点A(2，1)、B(－1，2)代入，
∴经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式为
(3)存在．(6分)
由题意知，点P在线段OA下方的抛物线上，
则0＜m＜2，如解图，过点P作PQ∥y轴交OA于点Q，连接OP、AP.
∵点A(2，1)，
∴S四边形ABOP＝S△AOP＋S△AOB
∴当m＝1时，四边形ABOP的面积最大，此时P(1，－ )．(10分)
类型四　二次函数与三角形相似(2019.24)
7. (2019陕西24题10分)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2＋(c－a)x＋c经过点A(－3，0)和点B(0，－6)，L关于原点O对称的抛物线为L′.
(1)求抛物线L的表达式；
(2)点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作
PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求
符合条件的点P的坐标．
　
第7题图
解：(1)由题意，
∴L：y＝－x2－5x－6；(2分)
(2)∵点A、B在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6.
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，
得b＝－5.
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6.(4分)
∵A(－3，0)，B(0，－6)， ∴AO＝3，OB＝6.
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)．
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)．
∴PD＝m，OD＝m2－5m＋6.
∵Rt△POD与Rt△AOB相似，
∴有两种情况，即
解得m1＝1，m2＝6.
∴P1(1，2)，P2(6，12)．
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或
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