【中考数学总复习】第18课时 全等三角形 课件

(共27张PPT)
第四单元　三角形
第18课时　全等三角形
(5年6考，除2016年2道外，其余每年1道，5～10分)
目
录
点对点“过”考点
1
典例“串”考点
2
3
陕西5年真题、副题“明”考法
点对点“过”考点
【对接教材】北师：七下第四章P73－P85、P89－P90；
人教：八上第十二章P30－P47.
全等三角形
全等三角形的
概念及性质
全等三角形
的判定
判定定理
三角形全等的证明思路
概念
全等三角形的性质
全等三角形的概念及性质
考点
1
1. 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2. 全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边________，对应角________．
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长________，面积________．
相等
相等
相等
相等
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全等三角形的判定
考点
2
1. 判定定理
(1)________分别相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)
(2)两边和它们的________分别相等的两个三角形全等(简写成“________”)
(3)两角和它们的________分别相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)
(4)两角分别相等且 也相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)
(5)斜边和 分别相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)
三条边
夹角
SAS
夹边
其中一角的对边
一条直角边
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2. 三角形全等的证明思路
证
明
两
个
三
角
形
全
等
已知两边相等
找夹角→SAS
找另一边→SSS
已知一边和一角相等
边为角的对边→找任一角→AAS
边为角的一边
找已知角的另一边→SAS
找已知边上的另一角→ASA
找已知边的对角→AAS
已知两角相等
找夹边→ASA
找任一已知角的对边→AAS
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典例“串”考点
模型一　 平移型
图示
总结 此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等 1. 如图，△ABC中，EF∥BC，PG∥AB，AP＝CF.
求证：△AEF≌△PGC.
【自主解答】
第1题图
证明：∵EF∥BC，PG∥AB，
∴∠AFE＝∠C，∠A＝∠GPC.
又∵AP＝CF，
∴AP＋PF＝CF＋PF，
∴AF＝PC，
∴△AEF≌△PGC(ASA)．
模型二　轴对称型
图示
总结 此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E.
求证：BD＝CE.
【自主解答】
第2题图
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
在△BCD和△CBE中，
∴△BCD≌△CBE(AAS)，
∴BD＝CE.
模型三　 三垂直型
图示
总结 有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等 3. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E.
求证：CD＝BE.
【自主解答】
第3题图
证明：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC.
∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴BE＝CD.
模型四　旋转型
类型一　不共顶点旋转型
图示
总结 所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三角形，两个三角形有一组边共线，这一组边同时加(减)公共(或这组边中间的一条)线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等 4. 如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF.
求证：AE∥DF.
【自主解答】
第4题图
证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB.
又∵AE＝DF，CE＝BF，
∴△ACE≌△DBF(SSS)，
∴∠EAC＝∠FDB，
∴AE∥DF.
类型二　共顶点旋转型
图示
总结 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角.注：遇到共顶点，等线段，考虑用旋转. 5. 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2.
求证：∠D＝∠B.
【自主解答】
第5题图
证明：∵∠1＝∠2 ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC.
在△DAE和△BAC中，
∴△DAE≌△BAC(SAS)， ∴∠D＝∠B.
【提分要点】找满足三角形全等的边相等或角相等的方法：
1. 寻找等角的常用方法：
(1)有对顶角的，对顶角常是对应角；(2)涉及角平分线，有两个角相等；(3)两直线平行，内错角、同位角相等；(4)在直角三角形中，两锐角互余；(5)特殊几何图形中隐含的条件(如等腰三角形两底角相等；等边三角形三个角都等于60°；平行四边形、菱形对角相等，邻角互补；矩形、正方形四个角都是90°)；(6)三角形的外角等于与它不相邻的两内角和；(7)涉及高线，有两个90°角；(8)有公共角的，公共角常是对应角，若仅含有一部分公共角，可考虑运用角的和差寻找等角．
2. 寻找等边的常用方法：
(1)角平分线上的点到角两边的距离相等；(2)有公共边的，公共边常是对应边，若仅有一部分公共边，可考虑运用线段的和差寻找等边；(3)特殊几何图形中隐含的条件(如：等腰三角形两腰相等；等边三角形三边相等；平行四边形、矩形对边相等；菱形、正方形四边相等)；(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(5)涉及中点、中位线时可得到线段相等．
陕西5年真题、副题“明”考法
全等三角形的判定(2016.8)
命题点
1
1. (2016陕西8题3分)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有(　　)
A. 2对　　 B. 3对　　
C. 4对　　 D. 5对
第1题图
C
2. (2016陕西副题8题3分)如图，在三边互不相等的△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点．连接DE，过点C作CM∥AB交DE的延长线于点M，连接CD、EF交于点N，则图中全等三角形共有(　　)
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
第2题图
C
与全等三角形有关的证明(必考)
命题点
2
3. (2019陕西18题5分)如图，点A、E、F、B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD.
求证：CF＝DE.
证明：∵AE＝BF，
∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.(2分)
∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE.
又∵AC＝BD，
∴△ACF≌△BDE(SAS)，(4分) ∴CF＝DE.(5分)
第3题图
4. (2019陕西副题18题5分)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF.
求证：AF∥BC.
证明：∵DE∥AB，D为BC的中点，
∴AE＝CE.(1分)
又∵EF＝ED，∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△CED(SAS)．(3分)
∴∠F＝∠EDC.
∴AF∥BC.(5分)
第4题图
5. (2018陕西18题5分)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H，若AB＝CD.
求证：AG＝DH.
证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D.
又∵EC∥BF， ∴∠AHB＝∠DGC.(2分)
在△ABH和△DCG中，
∴△ABH≌△DCG(AAS)， ∴AH＝DG，
∴AH－GH＝DG－GH，即AG＝DH.(5分)
第5题图
6. (2018陕西副题18题5分)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边BC的中点，延长BA到点D，使AD＝AB，延长CA到点E，使AE＝AC，连接OD，OE.
求证：∠BOE＝∠COD.
证明：∵AB＝AC，AD＝AB，AE＝AC，
∴∠B＝∠C，BD＝CE.
∵O是BC的中点，
∴OB＝OC.
∴△BOD≌△COE(SAS)，(3分)
∴∠BOD＝∠COE，
∴∠BOE＝∠COD.(5分)
第6题图
7. (2015陕西19题7分)如图，在△ABC中，AB＝AC.作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于点E.
求证：AD＝CE.
第7题图
证明：∵AE∥BD，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠B，(4分)
又∵∠BAD＝∠ACE＝90°，
∴△ABD≌△CAE(ASA)，(6分)
∴AD＝CE.(7分)
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