【中考数学总复习】第20课时 相似三角形的实际应用 课件

(共31张PPT)
第四单元　三角形
第20课时　相似三角形的实际应用
(5年4考，7分)
目
录
典例“串”考点
1
2
陕西5年真题、副题“明”考法
典例“串”考点
模型一　利用“标杆”测高
图形
题设 已知BC、DE、BD，求AB
构建等量关系式 利用△ABC∽△ADE可求得AD，AB＝AD－BD
1. 如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆AB的高度．将一根5米高的标杆CD竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛离地面的距离EF为1.6米，求旗杆AB的高度．
第1题图
解：如解图，过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G.
由题意可得四边形EFDG、GDHB都是矩形，AB∥CD∥EF.
∴△ECG∽△EAH，
由题意可得EG＝FD＝3，GH＝BD＝30，
CG＝CD－GD＝CD－EF＝5－1.6＝3.4，
∴AH＝34米，∴AB＝AH＋HB＝34＋1.6＝35.6米．
答：旗杆AB的高为35.6米．
第1题解图
模型二　 中心投影
图形
题设 已知：CG、CD、CE、EF、HE，求AB的高 已知：AD、DG、CH、EF、BE，求DE的长
构建等量关系式 由投影可知△DCG∽△DBA和△FEH∽△FBA，联立两个比例式，可求出BC和AB 由投影可知△AGD∽△ACH和△BFE∽△BCH，列比例式可求得AH、BH，DE＝AH＋BH－AD－BE
2. 某天晚上，小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度．如图，相邻的两盏路灯AC、BD高度相等，小颖站在E点处，此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部；小华站在F点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．这时，小林测得EF＝10.2米．已知AB＝20米，小颖身高ME＝1.6米，小华身高NF＝1.75米，AC、BD、ME、NF均与地面垂直．请你根据以上数据计算路灯的高度．(结果精确到0.1米)
第2题图
解：设AE＝x，则BF＝20－10.2－x＝9.8－x，
∵ME∥BD，
∴△AME∽△ADB，
∵NF∥AC， ∴△BNF∽△BCA，
∴BD≈6.8，
答：路灯的高度约为6.8米．
模型三　平行投影
图形
题设 已知：AB、BE、CD，求DF的高 已知：AB、AC、DE、EF，求DG的高
构建等量关系式 直接得出△ABE∽△CDF，列比例式求解 过点F作FH⊥DG，垂足为H，由题知△ABC∽△HFG，求出GH, DG＝EF＋GH
3. 如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请你根据以上测量数据，求电线杆AB的高度．
第3题图
解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G，则四边形CDBG为矩形，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8米，
答：电线杆AB的高为8米．
第3题解图
模型四　镜面反射、投影
图形
题设 已知∠α、AB、AO、OC，求CD的高 已知AB在水中的倒影为BD，及EF、EC、CB，求AB
构建等量关系式 直接得出△ABO∽△CDO，列比例式求解 直接得出△FEC∽△DBC，列比例式求解
4. 小雁塔位于唐长安城安仁坊荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是西安的标志性建筑之一．在一次社会实践中，小梅和小鹏想通过测量小雁塔的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图，由于无法直接到塔的底部，小梅在D处利用测角仪测得塔顶A的仰角为25°，同时小鹏在C、B之间的地面上放置一平面镜(平面镜厚度不计)，当小鹏移动平面镜至E处时，小梅恰好通过平面镜看到了塔顶A.经测量，DC＝1.5米，CE＝3米．已知DC⊥CB，AB⊥CB，且C、E、B在同一条直线上，不考虑其它因素，请你根据题中提供的相关信息，计算小雁塔的高AB.(结果精确到0.1米，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)．
第4题图
解：如解图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形BCDF是矩形，
∴BC＝DF，BF＝CD＝1.5米，
∵∠DEC＝∠AEB，∠DCE＝∠ABE＝90°，∴△DCE∽△ABE，
设AB＝x，则BE＝2x，∴AF＝x－1.5，DF＝BC＝3＋2x，
在Rt△AFD中，tan25°＝
解得x≈48.5，即AB≈48.5米，
答：小雁塔的高AB约为48.5米．
第4题解图
模型五　固定视角
图形
题设 已知AB、BC、BE，求BD
构建等量关系式 由一对直角和一锐角相等构造相似三角形，即△ABD∽△CBE，再列比例关系式求解
5. 如图，小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥MN上DQ段的运行距离，设计了如下的测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼AB(楼顶AB与高架桥MN在同一水平面上，且AB与点D正好在同一直线上)，测得AB＝35米，小明先站在A处，测得视线与高架桥MN的垂直距离AH＝15米，小明又站在B处，使得视线与BQ在一条直线上，此时测得BQ＝45米，且∠QBA＝90°，求此高架桥上DQ段的运行距离．
第5题图
解：根据题意得∠AHD＝∠QBA＝90°，∠ADH＝∠QDB，
∴△ADH∽△QDB，
∵AH＝15米，BQ＝45米，AB＝35米，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得AD2＝AH2＋DH2，∴(3DH－35)2＝152＋DH2，
解得AD＝3DH－35.
解得DH＝20或DH＝6.25(舍去)，
答：此高架桥上DQ段的运行距离为75米．
解得DQ＝75(米)．
陕西5年真题、副题“明”考法
相似三角形的实际应用(5年4考)
命题点
1. (2018陕西20题7分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽，测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测量示意图
如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.
第1题图
解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴CB∥ED.
又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，(3分)
∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，AD＝AB＋BD，
∴AB＝17 m，
答：河宽AB为17 m. (7分)
2. (2015陕西20题7分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步．小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，
AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高
BE的长．(结果精确到0.01米)
第2题图
解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND，
∴MN＝9.6.(3分)
又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，
∴△EBF∽△MNF，(5分)
解得BE≈1.75.(6分)
答：小军的身高BE约为1.75米．(7分)
3. (2015陕西副题20题7分)周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处．这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，
MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.测得GE＝5米，
EN＝12.3米，NN′＝6.2米．请你根据以上信息，求出
遮阳篷的宽AB是多少米？(结果精确到0.01米)
第3题图
解：如解图，延长MM′交DE于点P，
∵AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，
∴四边形M′MNN′和四边形PMNE均为矩形，
∴MM′＝NN′＝6.2，PM＝EN＝12.3.(2分)
∵AB∥CD∥PM，∴△ACD∽△DPM，
△ABD∽△MM′D，
解得AB≈2.52.
答：遮阳篷的宽AB约为2.52米．(7分)
第3题解图
4. (2016陕西20题7分)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；
然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．
如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
第4题图
解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF. ∴△ABC∽△EDC，
△ABF∽△GFH，(3分)
解得AB＝99米．
答：“望月阁”的高AB为99米．(7分)
5. (2019陕西20题7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是，他们先在古树周围的空地上选择了一点D，并在点D处安装了测倾器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5 m，并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平
面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2 m，
小明眼睛与地面的距离EF＝1.6 m，测倾器的高CD ＝0.5 m．
已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均
垂直于FB，求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计)
第5题图
解：如解图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5.(1分)
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD.
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5.(2分)
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG.(4分)
解得BD＝17.5 m．(6分)
∴AB＝17.5＋0.5＝18(m)．
答：这棵古树的高AB为18 m．(7分)
第5题解图
6. (2019陕西副题20题7分)新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA.如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2 m，小华身高EF＝1.6 m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6 m，DF＝6 m，旗台高BP＝1.2 m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，
AB、CD、EF均垂直于BG.求旗杆的高度PA.
(参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2)
第6题图
解：如解图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.6.
在Rt△AHC中，tan49°＝
∴AH＝1.2BD.
∴AB＝AH＋HB＝1.2BD＋0.6.(3分)
连接AF、EG.由题意，可得△EFG∽△ABF.
解得BD＝10.5，∴AB＝13.2.(6分) ∴PA＝AB－PB＝13.2－1.2＝12(m)．
答：旗杆的高度PA约为12 m．(7分)
第6题解图
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