【中考数学总复习】第23课时 矩形、菱形、正方形 课件

(共34张PPT)
第五单元　四边形
第23课时　矩形、菱形、正方形
（每年必考1～2道，3～10分）
目
录
点对点“过”考点
1
典例“串”考点
2
3
中考试题中的数学文化
4
陕西5年真题、副题“明”考法
点对点“过”考点
【对接教材】北师：九上第一章P1－P29；
人教：八下第十八章P52－P69.
矩形
平行四边形、矩形、
菱形和正方形的关系
性质
判定
面积
性质
判定
面积
菱形
矩形、菱形、
正方形
正方形
性质
判定
面积
中点四边形
矩形的性质及判定
考点
1
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
图形
性质 1．边：对边________且相等
2．角：四个角都是________
3．对角线：对角线互相平分且________
4．既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有______条对称轴
平行
直角
相等
2
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判定 1.有一个角是________的平行四边形是矩形
2．对角线________的平行四边形是矩形
3．有三个角是________的四边形是矩形
面积计算 S＝______(a、b分别表示矩形的长和宽)
【提分要点】矩形、菱形、正方形均是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的任意一条直线平分图形的面积，且矩形、菱形、正方形均被其两条对角线分成面积相等的四个三角形．
直角
相等
直角
ab
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菱形的性质及判定
考点
2
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
图形
性质 1．边：对边平行，四边都__________
2．角：对角__________
3．对角线：对角线互相________，每条对角线_______一组对角
4．既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有______条对称轴
相等
相等
垂直平分
平分
2
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判定 1．有一组________相等的___________是菱形
2．对角线_________的平行四边形是菱形
3．________条边都相等的四边形是菱形
面积计算 S＝________(l1、l2表示两条对角线的长)
邻边
平行四边形
互相垂直
四
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正方形的性质及判定
考点
3
定义 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形
图形
性质 1．边：对边平行，四边都__________
2．角：四个角都是__________
3．对角线：对角线互相_________且相等，每条对角线平分一组对角
4．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有____条对称轴
相等
直角
垂直平分
4
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判定 1．有一组邻边______，并且有一个角是_______的平行四边形是正方形
2．对角线互相________的矩形是正方形
3．有一个角是________的菱形是正方形
4．对角线________的菱形是正方形
5．有一组邻边________的矩形是正方形
6．对角线互相垂直___________的四边形是正方形
面积计算 S＝______(a表示边长)＝________(l表示对角线的长)
相等
直角
垂直
直角
相等
相等
平分且相等
a2
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平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系
考点
4
矩形
平行四边形
菱形
正方形
一组邻边_______
有一组邻边相等，一个直角90°
有一个角是_______
有一个角是_______
一组邻边_______
相等　
直角
直角
相等　
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中点四边形
考点
5
1. 定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形
2. 常见结论：
原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
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证明：矩形的对角线相等．
1. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC＝DB.
【自主解答】
第1题图
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC(矩形的对边相等)．
在△ABC和△DCB中，
∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB，∴AC＝DB.
第2题图
证明：有三个角是直角的四边形是矩形．
2. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形．
【自主解答】
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
第3题图
证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3. 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形．
【自主解答】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
第4题图
证明：四边都相等的四边形是菱形．
4. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.
求证：四边形ABCD是菱形．
【自主解答】
证明：∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)．
典例“串”考点
例1　如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
例1题图
(1)要使平行四边形ABCD为矩形，可添加的条件为____________；
【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.
(2)已知四边形ABCD为矩形．
①若AB＝3，BC＝4，则AC的长为________；
AC＝BD
对角线相等的平行四边形是矩形．
5
②若∠AOB＝60°，AB＝4，则BD的长为________；
③若点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是________形；
④过点A作AE⊥BD于点E，若AB＝5，tan∠BAE＝ ，则AE的长为______，矩形ABCD的面积为________．
8
菱
50
例2题图
例2　如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
(1)要使平行四边形ABCD为菱形，则可添加的条件为________；
【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.
(2)若四边形ABCD为菱形，AB＝5.
①四边形ABCD的周长为________；
②若∠BAD＝100°，则∠ACD＝________° ；
AB＝AD
有一组邻边相等的平行四边形为菱形．
20
50
③若∠ABC＝60°，则对角线AC的长为________ ，BD的长为________ ，菱形ABCD的面积为________；
④如图②，点E、F分别是BC、AD上的点，若四边形AECF为矩形，且AE＝2AF，则AE的长为________．
5
4
(1)若∠ABC＝90°，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为_______；
【解题依据】此问所用的判定定理为_________________________________________ _____________________________
(2)连接AC，BD，若AC⊥BD，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________ ________________________________________________.
例3　如图，四边形ABCD为平行四边形．
有一 个角是直角的平行四边形是矩形，
有一组邻边相等的矩形是正方形．
例3题图
AB＝BC
∠ABC＝90°
对角线互相垂直的平行四
边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
(3)如图②，若四边形ABCD为正方形．点E是CD上一点，连接BE，且AB＝4.
①连接AC，则AC＝________，∠BAC＝________；
②连接AC，若点E是CD的中点，BE交AC于点P，则AP＝________，
S△ABP∶S△CEP＝________；
③过点A作AF⊥BE交BC于点F，交BE于点G，
求证：AF＝BE.
45°
4∶1　
证明：如解图②，∵四边形ABCD为正方形，AF⊥BE，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠AGB＝90°，
∴∠ABG＋∠EBC＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠EBC＝∠BAG.
在△ABF和△BCE中，
∴△ABF≌△BCE(ASA)．
∴AF＝BE.
例3题解图②
(4)如图③，若四边形ABCD为正方形，连接AC，BD，交于点O.
①点H，K分别是OB，OD上的点，连接AH，CH，CK，AK，若四边形AHCK是菱形，且 ＝ ，则 ＝________，S正方形ABCD∶S菱形AHCK＝________；
②点N是OC的中点，点M是BC上一点，P为对角线BD上一点，若AB＝4，BM＝3，则PM＋PN的最小值为________．
陕西5年真题、副题“明”考法
矩形性质的相关计算（5年2考）
命题点
1
1. (2020陕西8题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为(　　)
第1题图
A. 　 　 B. 　　 C. 　 　 D.
B
2. (2021陕西8题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6.若点E，F分别在AB、CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
第2题图
3. (2020陕西副题8题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2.若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为(　　)
A. 8 B. C. D.
第3题图
C
D
4. (2019陕西副题9题3分)如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12.若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为(　　)
A. B. C. D.
第4题图
B
菱形性质的相关证明与计算（5年2考）
命题点
2
5. (2019陕西8题3分)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是(　　)
A. AB＝ EF B. AB＝2EF C. AB＝ EF D. AB＝ EF
第5题图
D
6. (2021陕西副题14题3分)如图，O为菱形ABCD的对称中心，AB＝4，∠BAD＝120°.若点E、F分别在AB、BC边上，连接OE、OF，则OE＋OF的最小值为____．
7. (2016陕西14题3分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为________．
第6题图
第7题图
8. (2021陕西副题19题7分)如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF.
求证：BE＝CF.
第8题图
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.(2分)
∴∠A＝∠CBF.(3分)
又∵AE＝BF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，(5分)
∴BE＝CF.(7分)
正方形性质的相关证明与计算（5年3考）
命题点
3
9. (2021陕西9题3分)在 ABCD中，AB＝10，BC＝14，E、F分别为边BC、AD上的点．若四边形AECF为正方形，则AE的长为(　　)
A. 7 B. 4或10 C. 5或9 D. 6或8
10. (2017陕西副题8题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝2.若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为(　　)
A. B. 2 C. D.
第10题图
D
C
11. (2020陕西副题7题3分)如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝4，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD和DA上，且EF∥AC. 若四边形EFGH是正方形，则EF的长为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
12. (2019陕西14题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为________．
第11题图
第12题图
C
2
13. (2021兰州副题14题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝1.若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN＋MF的最小值为________.
14. (2017陕西19题7分)如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点G.
求证：AG＝CG.
第14题图
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD.
∵AE＝CF，
∴DE＝DF.(2分)
∴△ADF △CDE(SAS)．
∴∠DAF＝∠DCE.(4分)
又∵∠AGE＝∠CGF，
∴△AGE △CGF(AAS)．
∴AG＝CG.(7分)
≌
≌
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