【中考数学总复习】第21课时 锐角三角函数及其实际应用 课件

(共32张PPT)
第四单元　三角形
第21课时　锐角三角函数及其实际应用
(每年必考1道，3分)
目
录
点对点“过”考点
1
典例“串”考点
2
3
陕西5年真题、副题“明”考法
点对点“过”考点
【对接教材】北师：九下第一章P1－P27；
人教：八下第十七章P21－P39，九下第二十八章P60－P85.
锐角三
角函数
直角三角形
的边角关系
锐角三角形函数
的实际应用
锐角三角函数定义
特殊角的
三角函数值
锐角三角函数
及其实际应用
锐角三角函数
考点
1
1. 锐角三角函数的定义
图①
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA.
sinA＝斜边(∠A的对边)＝________．
∠A的余弦：cosA＝斜边(∠A的邻边)＝________.
∠A的正切：tanA＝∠A的邻边(∠A的对边)＝________．
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2. 特殊角的三角函数值
(1)图表记忆法
角度α三角函数值三角函数 30° 45° 60° 图形
sinα ______
cosα ______ tanα ______ 1
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(2)规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、 、 ；30°、45°、60°角的余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值．
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直角三角形的边角关系(如图④)
考点
2
三边关系：勾股定理： ；
三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°；
边角间关系：sinA＝cosB＝ ；
cosA＝sinB＝ ；
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
图④
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锐角三角函数的实际应用
考点
3
仰角、俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图⑤
方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)x度，如图⑥，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
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坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．如图⑦，i＝tanα＝
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典例“串”考点
模型一　背靠背型
【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键．
【等量关系】CD为公共边，AD＋BD＝AB
模型演变
图①
图②
【等量关系】如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.
1. 周六下午，王武和父亲开车出去办事．如图，他们在A处测得其北偏东30°处有一座移动信号发射塔C，当车以每小时60公里的速度向正东方向行驶10分钟到达B处后，此时他们测得信号发射塔C在其北偏西15°处，请你求出此时车和发射塔之间的距离BC.(结果保留根号)
第1题图
解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，
∠BAC＝90°－30°＝60°，∠ABC＝90°－15°＝75°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝45°，AD＝
∵∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
第1题解图
2. 小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“垃圾分类从我做起”的竖直标语牌CD.如图，她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°(B，C，D在同一条直线上)，AB＝10 m，隧道高6.5 m(即BC＝6.5 m)，求标语牌CD的高(结果精确到0.1米，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， ≈1.73)
第2题图
解：如解图，过点A作AE⊥BD于点E.
在Rt△AEB中，∵∠EAB＝30°，AB＝10 m，
∴BE＝ AB＝5 m，AE＝ m，
在Rt△ADE中，DE＝AE·tan42°≈7.79 m，
∴BD＝DE＋BE≈12.79 m，
∴CD＝BD－BC≈12.79－6.5≈6.3 m，
答：标语牌CD的高约为6.3 m.
第2题解图
模型二　母子型
图①
图②
【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作垂线BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．
【等量关系】BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB.
图③
图④
模型演变1
【等量关系】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
模型演变2
图⑤
图⑥
图⑦
【等量关系】如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.
图⑧
图⑨
【等量关系】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.
模型演变3
3. (2019湘潭)我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．(结果精确到0.1千米)(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
第3题图
解：在Rt△AMN中，cos∠ANM＝ ，
∵∠ANM＝30°，AN＝8，
∴MN＝AN·cos∠ANM＝8cos30°＝
在Rt△BMN中，∠BNM＝45°，
∴MB＝MN＝ ≈4×1.73≈6.9(千米)．
答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9千米．
4. (2019陕师大附中模拟)某校在“建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C处测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E处测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
第4题图
解：如解图，过点C作CN⊥BM于点N，则四边形CDMN是矩形，点E在线段CN上．
∴BN＝BM－CD＝17－1＝16米，
在Rt△BCN中，BN＝16米，∠BEN＝37°，
在Rt△AEN中，∵EN＝CN－CE≈17.33米，∠AEN＝45°，
∴AN＝EN·tan45°≈17.33米，
∴AB＝AN－BN≈17.33－16≈1.3米．
答：宣传牌AB的高度约为1.3米．
第4题解图
模型三　拥抱型
【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键．
【等量关系】BC为公共边
【模型演变】
图①
图②
图③
【等量关系】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，
AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
5. (2019西安铁一中模拟)如图所示，某数学活动小组为了测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是60°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．
第5题图
解：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，则DG∥EC.
∵∠FAE＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠ADG＝30°，∠DAB＝90°.
又∵∠BDG＝30°.
∴∠BDA＝∠BDG＋∠ADG＝60°.
在Rt△ABD中，AD＝6米，
∴AB＝AD·tan∠BDA＝ (米)．
在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝
答：大树的高度为9米．
第5题解图
陕西5年真题、副题“明”考法
锐角三角函数的实际应用(5年2考)
注：2018年开始陕西中考取消使用科学计算器，为了计算简便，以下真题参考数据统一改为两位小数．
命题点
类型一　 仰角、俯角(2017.20)
1. (2018陕西副题20题7分)如图所示，某集团的项目组计划在山脚下A点与山顶B点之间修建一条索道，现利用无人机测算A、B两点间的距离．无人机飞至山顶点B的正上方点C处时，测得山脚下A点的俯角约为45°，C点与A点的高度差为400 m，BC＝100 m，求山脚下A点到山顶B点的距离AB.
第1题图
解：如解图，延长CB与A点所在水平面相交于点D，
由题意，知CD⊥AD，CD＝400，∠CAD＝45°.∴AD＝CD＝400.(2分)
∵CB＝100，∴BD＝CD－BC＝300.(4分)
在Rt△ABD中，
＝500 m.
答：山脚下A点到山顶B点的距离AB为500 m．(7分)
第1题解图
2. (2017陕西20题7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离．测量方案如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米；然后，小军在A处蹲下，用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为 1米．请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果
精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，
tan23°≈0.42，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)
第2题图
解：如解图，过点B作BD⊥MN，垂足为D，过点C作CE⊥MN，垂足为E.
设AN＝x米，则BD＝CE＝x米，
在Rt△MBD中，MD＝x·tan23°.
在Rt△MCE中，ME＝x·tan24°.(4分)
∵ME－MD＝DE＝BC，
∴x·tan24°－x·tan23°＝1.7－1，
解得x≈23.
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为23米．(7分)
第2题解图
类型二　方向角
3. (2016陕西副题20题7分)某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区．小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西
两端之间AB的长．(结果精确到 1米)
(参考数据：sin73°≈0.96，cos73°≈0.29，
tan73°≈3.27， ≈1.41)
第3题图
解：在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，BC＝350米，
∴BD＝BC·sin∠BCD＝350·sin45°＝ 米，(3分)
∴CD＝BD＝ 米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝73°，
∴AD＝CD·tan∠ACD＝ · tan73°米，(5分)
∴AB＝AD＋BD＝ ·tan73°＋ ≈1054(米)．
答：“东州湖”东西两端之间AB的长约为1054米．(7分)
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