【中考数学总复习】第24课时 圆的基本性质 课件

(共27张PPT)
第六单元　圆
第24课时　圆的基本性质
（每年必考1道，3分）
目
录
点对点“过”考点
1
典例“串”考点
2
3
中考试题中的数学文化
4
陕西5年真题、副题“明”考法
点对点“过”考点
【对接教材】北师：九下第三章P64－P88；
人教：九上第二十四章P79－P91、P105－P110.
圆的基本
概念及性质
圆的有关
概念及性质
圆的有关概念
圆的性质
弦、弧、
圆心角的
关系
定理
推论
圆周角定
理及其推论
定理
推论
垂直定理
及其推论
垂直定理
垂直定理的推论
三角形的外接圆
定义
圆心
性质
圆与多边形
圆的有关概念及性质
考点
1
1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中定点称为______，定长称为半径．如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径．
2. 确定圆的条件：
(1)圆心确定圆的位置，________确定圆的大小；
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
圆心
半径
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3. 圆的有关概念：
(1)弦：连接圆上任意两点的________叫做弦，如AC、BC；
(2)直径：经过________的弦叫做直径，直径等于半径的2倍；
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做______，如 ，小于半圆的弧叫做______，如 、 、 ；
(4)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如∠ACB；
(5)圆心角：顶点在________的角叫做圆心角，如∠AOB；
(6)弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，如OD.
4. 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任意一条____ 所在的直线，对称中心是________．
线段
圆心
优弧
劣弧
圆心
直径
圆心
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垂径定理及其推论
考点
2
1. 定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧；
如图，在⊙O中，
CD⊥AB
CD是直径

AM＝BM＝______AB,
＝　　　　,
＝
2. 推论：平分弦(不是直径)的直径______于弦，并且______弦所对的两条弧；
如图，在⊙O中，
AM＝BM
CD是直径

CD⊥AB
＝
＝
平分
平分
垂直
平分
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【提分要点】垂径定理及其推论的延伸：根据圆的对称性，在以下五个结论中：① ＝ ；② ＝ ；③AM＝BM；④AB⊥CD；⑤CD是直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三”．
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弦、弧、圆心角的关系
考点
3
1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧____，所对的弦也______；
如图，在⊙O中，∠AOB＝∠COD
＝　　,
AB＝_____
2. 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弦______；
如图，在⊙O中， ＝ 　　　　　 ；
∠AOB＝　 　,
AB＝_____
相等
相等
CD
相等
相等
∠COD
CD
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(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的优弧与劣弧分别______；
AB＝CD
∠AOB＝　 　,
＝______
【提分要点】(1)理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条弧，一条弧对应无数个圆周角．(2)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等．
相等
相等
∠COD
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圆周角定理及其推论
考点
4
1. 定理
内容 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______ 常见图形
结论 ∠APB＝______ 一半
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2. 推论
(1)同弧或等弧所对的圆周角____；如图，在⊙O中，∠A和____是 所对的圆周角 ∠A＝____； ＝ ∠A＝______；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是___________，90°的圆周角所对的弦是______；如图，在⊙O中，AB是直径 ∠ACB＝______．
【提分要点】在遇到与直径有关的问题时，一般要构造直径所对的圆周角，由直径转化出直角．
相等
∠D
∠D
∠BCD
直角(或90°)
直径
90°
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三角形的外接圆
考点
5
1. 定义：经过三角形的三个顶点形成的圆．
2. 圆心：外心(三角形外接圆的圆心或三角形 __________________的交点)．
3. 性质：三角形的外心到三角形__________的距离相等．
三边垂直平分线
三个顶点
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圆与多边形
考点
6
1. 圆内接四边形的概念：如图，四边形ABCD的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形．
2. 圆内接四边形的性质：(如图)
(1)圆内接四边形的对角______，如∠A＋∠BCD＝_____，∠B＋∠D＝_____；
(2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的______，如∠DCE＝______．
互补
180°
180°
内对角
∠A
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3. 圆与正多边形
如图，设正n边形的边长为a，则边心距r＝ ；正n边形的周长L＝na；正n边形的面积S＝ Lr＝ nar；中心角θ＝ .
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回归教材
题图
证明：圆内接四边形对角互补．
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．
求证：∠B＋∠D＝180°.
【自主解答】
解图①
证明：
证法一：如解图①，连接AO、CO，由圆周角定理得：
证法二：
如解图②，连接CA、BD，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ADC＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠2＋∠4＋∠ABC＝180°.
解图②
典例“串”考点
例题图
例　如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的点．
(1)如图①，∠ACB＝________°.
(2)如图①，连接OC，若∠COB＝110°，则∠CAB＝____°.
(3)如图②，点D为⊙O上异于A、B、C的一点，且位于AB上方，连接AD、BD、CD，并延长BD至点E，若∠ABC＝30°.
①∠CDE＝________°；
②连接OC，OD，若AC＝BD，则∠COD＝________°；
90
55
60
60
③若点C是弧 的中点，连接OC交AD于点F，AD＝8，则∠CAD＝________°，⊙O的半径为________．
(4)如图③，点D为⊙O上异于A、B、C的一点，且位于AB下方，连接BD、CD.
①若∠CAB＝50°，CD＝BD，则∠ABD＝______°；
②若AB⊥CD于点E，CD＝8，AE＝2，则⊙O的半径为______；
③若点D为弧 的中点，连接OD，cos∠ABC＝ ，AC＝6，则BD的长为______，CD的长为______．
30
25
5
陕西5年真题、副题“明”考法
垂径定理及圆周角定理的相关（5年4考）
命题点
1
第1题图
类型一　圆周角定理的相关计算(5年2考)
1. (2021陕西9题3分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(　　)
A. 15°　　B. 35°　　C. 25°　　D. 45°
A
第2题图
2. (2021襄阳9题3分)如图，AB是⊙O的直径，EF、EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是(　　)
A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°
第3题图
3. (2021南阳副题9题3分)如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是 上一点，连接PB、PC.若AD＝2AB，则sin∠BPC的值为(　　)
A. 　　　 B. C. 　　 　D.
B
B
类型二　垂径定理与圆周角定理结合的相关计算(5年2考)
4. (2021福州副题9题3分)如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D.若点P是⊙O上异于点A、B的任意一点，则∠APB＝(　　)
A．30°或60° B．60°或150° C．30°或150° D．60°或120°
第4题图
5. (2021厦门9题3分)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(　　)
A. B. C. D.
第5题图
D
B
6. (2021烟台9题3分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为(　　)
A. 5 B. C. D.
第6题图
7. (2019陕西副题9题3分)如图，⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，且BC＝8，AB＝AC，点D在 上．若∠AOD＝∠BAC，则CD的长为(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第7题图
D
B
圆内接四边形
命题点
2
8. (2021烟台副题9题3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC.若∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是(　　)
A. AB＝2CD B. AB＝ CD
C. AB＝ CD D. AB＝ CD
B
第8题图
命题点
3
与圆有关的最值问题（2015.14，近4年填空题未考查此题型，但在第25题利用辅助圆解题时会涉及）
9. (2021兰州 14题3分)如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是____．
10. (2021陕西副题14题3分)如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA＋PB的最小值为_____．
第9题图
第10题图
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