11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课件（共33张PPT）
文档属性
| 名称 | 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课件（共33张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-06 13:00:19 | ||
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文档简介
11.1.6祖暅原理与几何体的体积
引入：
祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。
“势”即是高，“幂”即是面积。
祖暅原理
祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。
祖冲之父子是
我们中华民族的
骄傲和自豪
1.了解祖暅原理．2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台、球体积.3.熟悉棱柱、棱锥、棱台之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力.
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体体积；3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
知识点1：祖暅原理
答案：被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．
答案：根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．
问题2：柱体的体积
探究：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？
(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.
(2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.
问题3：锥体的体积
探究：棱锥和圆锥的体积如何计算？
(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
(2)体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为
V锥体＝ Sh.
【即时训练】
1．圆锥的底面半径为4，母线长为6，则体积为________.
问题4：台体的体积
探究：棱台、圆台的体积如何求解？
因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.
【即时训练】
已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________.
28
思考：柱体、锥体、球体的体积有什么关系？
问题5：球的体积
尝试与发现：
（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？
（2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？
【即时训练】
1．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( )
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
C
求多面体表面积的方法 1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
棱柱、棱锥、棱台的体积
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
棱锥
棱台
棱柱
棱柱、棱锥、棱台的体积
祖暅原理
祖暅原理：利用祖暅原理求不规则几何体的体积。
求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分分别求体积
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48 B.64 C.16 D.96
B
2.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积；
(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
2.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积；
(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
3. (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积；
(2)如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
(2)作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D．
不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日之梦叫做希望。
引入：
祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。
“势”即是高，“幂”即是面积。
祖暅原理
祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。
祖冲之父子是
我们中华民族的
骄傲和自豪
1.了解祖暅原理．2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台、球体积.3.熟悉棱柱、棱锥、棱台之间的转换关系，培养转化与化归的思想与空间想象能力.
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体体积；3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
知识点1：祖暅原理
答案：被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．
答案：根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．
问题2：柱体的体积
探究：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？
(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.
(2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.
问题3：锥体的体积
探究：棱锥和圆锥的体积如何计算？
(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
(2)体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为
V锥体＝ Sh.
【即时训练】
1．圆锥的底面半径为4，母线长为6，则体积为________.
问题4：台体的体积
探究：棱台、圆台的体积如何求解？
因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.
【即时训练】
已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________.
28
思考：柱体、锥体、球体的体积有什么关系？
问题5：球的体积
尝试与发现：
（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？
（2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？
【即时训练】
1．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( )
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
C
求多面体表面积的方法 1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
棱柱、棱锥、棱台的体积
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
棱锥
棱台
棱柱
棱柱、棱锥、棱台的体积
祖暅原理
祖暅原理：利用祖暅原理求不规则几何体的体积。
求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分分别求体积
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48 B.64 C.16 D.96
B
2.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积；
(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
2.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积；
(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
3. (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积；
(2)如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
(2)作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D．
不能把希望叫做白日做梦，也不能把白日之梦叫做希望。