11.4.2 平面与平面垂直 课件（共33张PPT）

11.4.2平面与平面垂直
1.使学生正确理解和掌握 “二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念.2.掌握两个平面垂直的判定定理并能进行简单应用.
1.逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
2.直观想象：求解二面角的问题
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问题1：二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
(2)图形表示：
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
(2)图形表示：
(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C－AB－D.
(4)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．
如图，O∈l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．
(6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小．范围为0°＜θ≤90°.
【即时训练】
判断正误.
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( )
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( )
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
【变式练习1】
四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：
(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2) 二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意知∠BAD=90°,
所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.
【变式练习1】
四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：
(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2) 二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.
(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.
所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
【变式练习1】
四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：
(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.
(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.
由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,
从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.
所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB=a,则PA=AB=BC=a,
【解题方法】
方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
问题2：平面与平面垂直
1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
2．画法
3．判定定理
(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)图形表示：
(3)符号表示：如果l?α，l⊥β，则α⊥β.
(4)作用：证明平面与平面垂直.
注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面。
【即时训练】
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 _ _______个．
答案：1个或无数个　
设平面外一点为A，平面内一点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
2．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
答案：3　平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．
1个或无数
3
问题2：平面与平面垂直的判定和性质定理综合应用
【变式练习1】
如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
解:(1)BC⊥平面PAC.
证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.
又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAC.
(2)因为BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.
2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.
(1)求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.
证明　(1)因为ABC－A1B1C1为正三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以AD⊥BB1，又D为BC的中点，
所以AD⊥BC，又BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1.
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADA1，
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(2)因为ABC－A1B1C1为正三棱柱，
所以AA1⊥平面ABC，又DE?平面ABC，
所以AA1⊥DE，因为DE⊥A1E，
又A1E∩AA1＝A1，
所以DE⊥平面ACC1A1，
又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.
【变式练习2】
【解题方法】
面面垂直的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
【变式练习】　若本例改为：在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，求证：平面AB1F⊥平面ACC1A1.
【变式练习3】
如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明:方法一:(利用定义证明)
因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
令SA=SB=SC=AB=AC=a,
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,
方法二:(利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
所以△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又所以AD?平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.
【变式练习4】
如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
易错提醒
核心知识
方法总结
核心素养
直观想象：求解二面角的问题
求二面角时注意是锐角还是钝角
平面与
平面垂直
（一）
面面垂直的判断方法：
（1）利用定义：作二面角的平面角→证明为直角
（2）判定定理：转化为证线面垂直，即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直
二面角的求法：作出二面角的平面角并证明，将作出的角放在三角形中求解
逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想
在证明面面垂直时注意满足的条件
二面角
定义
判定定理
应用
D
D
不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想想有笑声的日子吧！