11.4.1 直线与平面垂直 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
11.4.1直线与平面垂直
观察图中立柱与地面,立柱与天花板面之间是怎样的位置关系
旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．
1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
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问题1：直线与直线所成角
思考：两条相交直线所成角怎么定义
知识点1：相交直线所成角
两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.
知识点2:异面直线所成的角
(4)空间两条直线所成角θ的取值范围：0°≤θ≤90°.
【即时训练】
1．思考辨析
(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　 　)
(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　 　)
(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.
答案：65°　因为B1C1∥BC，所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
【即时训练】
问题2:直线与平面垂直
知识点：直线与平面垂直的定义
(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)符号表示：l⊥a m α，l⊥m.
(3)图形表示：
【即时训练】
思考
1.如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗 这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的
提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.
2.做一做
(1)判断正误.
①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( )
②垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )
③垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ）
④垂直于同一个平面的两条直线平行. ( )
√
×
×
√
(2)直线l⊥平面α,直线m α,则l与m不可能 ( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
解析:因为直线l⊥平面α,所以l与α相交,
又因为m α,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
答案:A
A
日常生活中，很多线面的形象可以抽象成直线与平面垂直，如图所示。
由于平面内过指定点的直线有无数条，因此利用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直是不便于操作的，所以我们有必要寻求其他方法来判定直线与平面垂直。
问题3：直线与平面垂直的判定定理
知识点：直线与平面垂直的判定定理
(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
如果m α，n α，m∩n≠ ，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.
(4)作用：证明直线与平面垂直.
【即时训练】
1.垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何
答案:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA'⊥α,AA'⊥β,求证:α∥β.
证明:如图所示,设经过直线AA'的两个平面γ,δ分别与平面α,β相交于直线b,b'和a,a'.因为AA'⊥α,AA'⊥β,所以AA'⊥a,AA'⊥a'.
因为AA',a,a'都在平面δ内.
所以a∥a',所以a'∥α(线面平行的判定定理).
同理b'∥α.又因为a'∩b'=A',所以α∥β.
2.做一做
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.
证明:因为AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以AA1⊥平面ABCD.
又因为EF⊥平面ABCD,
所以EF∥AA1.
例1.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由
分析：根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理来检测。
3直线与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(2)图形语言：
(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.
(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.
(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
(2)图形语言：
(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示,猜测结果并说明理由.
性质定理2
(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.
上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。
1．思考辨析
(1)垂直于同一条直线的两直线平行．(　 　)
(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．( )
(3)垂直于同一个平面的两直线平行．( )
(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．( 　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则(　　)
A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
答案：B　因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B．
B
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
[分析]　欲证MN∥AD1，只需证出MN，AD1垂直于同一个平面即可，由题目中的条件可知，只需证出AD1⊥
平面A1DC；欲证M为AB的中点，只需证出AM＝ AB＝ DC＝ON即可．
证明　(1) 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，
所以MN∥AD1.
变式训练1. 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,
且EF⊥平面ABCD.
求证:EF∥AA1.
证明:因为AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,
AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以AA1⊥平面ABCD.
又因为EF⊥平面ABCD,
所以EF∥AA1.
2：直线与平面所成角
斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯距减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.
(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗
提示:不同.
(2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗
提示:能.
(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗
提示:能.
相交
垂直
直线PA
交点
点A
斜足
直线AO
垂线
垂足
概念解析
直角
A
2.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　　.
解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=
45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
答案:45°
分析：为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是找到S在底面的射影
点到平面的距离
利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.
1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
三垂线定理
例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”
三垂线定理
(2)图形语言：
(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l α，
①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC．
当堂检测
C
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．以上都有可能
答案：B　因为D1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥D1B．
B
4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)求证:AE⊥平面PCD.
(1)解:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,AB 平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.
所以PB在平面PAD内的射影为PA,
即∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA,
故∠APB=45°.
(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥PA.
因为CD⊥AC,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC,所以AE⊥CD.
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
直线与平面垂直
判定定理及应用
定义
直线与平面所成的角
转化思想：线面垂直 线线垂直
定义
判定定理
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(　 　)
A.①③ B.② C.②④ D.①②④
A
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　 　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
C
垂直
【证明】连结BD，所以AC⊥BD.
又因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
又因为DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面D1DB，
又因为BD1 平面D1DB，所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥AB1，
又因为AB1∩AC＝A，所以BD1⊥平面ACB1.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。