初中数学湘教版九年级下册第一章 二次函数 单元测试（提高篇）

初中数学湘教版九年级下册第一章 二次函数 单元测试（提高篇）
一、单选题
1．（新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（　　）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系。
D．正方形的周长C与边长a之间的关系。
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意，A的解析式为 ，B的解析式为 ，C的解析式为 ，D的解析式为 ，唯有B是二次函数关系，故选C．
【分析】能够运用实际问题的意义列出正确的解析式，并进行分析判断是否是二次函数，要根据二次函数的定义的基本要求．
2．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0。
其中错误结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。
3．（2020九上·福州月考）二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
①当 时，当 时，y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 (舍去)或 (舍去)；
②当 时，当 时y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可.
4．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
【分析】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和，根据二次函数的性质可得最大值.
5．（2020九上·台州月考）已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1 y2.当﹣2 x 1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（　　）
A．-5 B．-10 C．-2 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： y＝ax2+2ax+2a+5 ，
=a(x+1)2+a+5，
∵对称轴x=-1，
∴（﹣2，y1）离对称轴较近，（1，y2），离对称轴较远，
∵y1 y2 ，
∴a<0，
当-2≤x≤1时，x=1取最小值，
即二次函数经过（1，-5），
∴-5=a+2a+2a+5，
∴a=-2.
故答案为：C.
【分析】首先配方求出抛物线的对称轴方程，比较两点离对称轴的远近，结合其函数值的大小得出a<0，从而由函数的性质可知当x=1取最小值，把最小值代入函数式即可求出a值.
6．（2020九上·路桥月考）我们定义一种新函数：形如 （a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图：
①∵（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 ，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为 或 ，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，存在函数值要大于当 时的 ，因此⑤是不正确的.
故答案为：A.
【分析】由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到图象与x轴的交点坐标，由x=0求出y的值，可得到图象与y轴的交点坐标，可对①作出判断；利用对称轴方程，可得到抛物线的对称轴，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可得到函数值y随x值的增大而增大时自变量x的取值范围可对③作出判断；观察函数图象，利用函数解析式可求出函数的最小值为0时自变量x的值，可对④作出判断；由图象可知函数的最大值不能确定，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y= B． y= C． y= D．y=
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
8．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为 ，点B的坐标为 ．将二次函数 的图象经过左（右）平移 个单位再上（下）平移 个单位得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．下列关于a，b的取值范围，叙述正确的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵ = ，
∴二次函数的顶点坐标为（1，-2），
∵点A坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，
∴平移后的顶点坐标为（1-a，-2+b）
∵图象M的顶点落在线段AB上，
∴-2≤1-a≤0，2≤-2+b≤3，
解得：1≤a≤3，4≤b≤5，
故答案为：B．
【分析】先求出二次函数 = 的顶点坐标（1，-2），根据题意，二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，平移后的顶点坐标为（1-a，-2+b），进而得到满足条件的a、b的不等式，解之即可．
9．（2020九上·福州月考）已知二次函数 （a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列4个判断中：①a+b=-1；②a＞b﹣1；③b﹣a＜0；④﹣1＜a＜﹣ ，正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将（1，0）代入解析式，得 ，即a+b=-1，
故①符合题意；
②∵a＜0
∴抛物线在对称轴左侧时，y随x的增大而增大
∵﹣2＜x1＜﹣1，另一交点为（1，0）
∴
∴当x=-1时，y>0，即
∴
故②符合题意；
③，由②得知 ，且a＜0
∴ ，即
故③不符合题意；
④由根与系数的关系得到
∴
∴ ，解得﹣1＜a＜﹣
故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】 将（1，0）代入中，可得，据此判断①；由于a＜0，可得抛物线在对称轴左侧时，y随x的增大而增大，由﹣2＜x1＜﹣1，另一交点为（1，0），可得，从而求出当x=-1时，y= ，据此判断②；由且a＜0，可得，据此判断③；由根与系数的关系得到 ，从而求出，即得，求出a的范围判断④即可.
10．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；图形的旋转
【解析】【解答】解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x
1=0，x
2=5，则A
1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，
即m=﹣6．
故答案为：C
【分析】先求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数个抛物线都在x轴上方，第偶数个抛物线都在x轴下方，2018÷5=403·····3，可判断点P在第404个抛物线上，用待定系数法先求出该抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
11．（2020九上·绍兴月考）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是绍兴特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意知，函数p=at2+bt+c，
∴，
解得，
∴p=0.25t2+1.5t-1.7=-0.2（t-3.75）2+0.2×3.752-1.7
=-0.2（t-3.75）2+1.1125.
故当t=3.75时，p有最大值.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，配方求出顶点坐标，即可得出加工煎炸臭豆腐的最佳时间.
12．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
二、填空题
13．（2020九上·河北期末）如果二次函数 （m为常数）的图象有最高点，那么m的值为　 　．
【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵二次函数 （m为常数）的图象有最高点，
∴
解得：m=-2，
故答案为-2．
【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
14．（2017·广水模拟）如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，
得出二次函数解析式为：y= （x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0= （﹣6+3）2+h，
解得：h=﹣ ，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣ ），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=|﹣3|×|﹣ |= ．
故答案为： ．
【分析】可转化阴影部分面积，进行分割，根据两抛物线形状相同，具有对称性，因此把x轴上侧的阴影面积补到下侧空白部分，构成完整的矩形.
15．（2020·广东模拟）对于一个函数，如果它的自变量x与对应的函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝－x均是“闭函数”．已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，－1）和点B(－1，1），则a的取值范围是　 　.
【答案】－ ≤a＜0或0＜a≤
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】将A、B两点代入抛物线，可得出b=-1，a+c=0，
所以抛物线为y=ax2-x-a（a≠0）
对称轴为
a＜o，抛物线开口向下，对称轴＜0
因为抛物线经过A、B
画图可得出当对称＜0或≥1时，符合题意，a的趋势范围为
【分析】将A、B两点代入，求得解析式，再根据对称轴进行判断。
16．（2019九上·包河期中）已知二次函数 为常数)，当 时，y的最大值是15，则m的值是　 　．
【答案】6和-19
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=-x2+mx+m=-（x- ）2+ +m，
当4＜ 时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6.2（舍去）；
当 ＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19，
当-2≤ ≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x= 时取得最大值，则15= +m，得m1=6，m2=-10（舍去），
由上可得，m的值是6和-19，
故答案为：6和-19．
【分析】根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
17．（2018九下·新田期中）关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是　 　
【答案】 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜ ＜0，
∴a＜ ，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴ ＜a＜-2，
故答案为： ＜a＜-2．
【分析】首先根据根的情况利用判别式解得a的取值范围，然后根据已知中两个根的范围可知两个根的和大于-1且小于0，求出a的范围，画出草图可观察到x=1和x=0时ax2-3x-1的值都小于0，据此即可确定出a的范围.
18．（2020·淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　 　个．
【答案】210
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；探索数与式的规律；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1 n﹣1
2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
… …
n 0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
三、解答题
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册二次函数图象与系数的关系）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．
【答案】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵ ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵ ＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－ b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.∴P＞Q.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】根据抛物线的开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a，b异号，根据抛物线的对称轴直线是1，得出b＋2a＝0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故3b－2c＞0，根据抛物线与y轴的正半轴相交，得出c＞0，故3b＋2c＞0，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再按整式加减的方法分别化简P，Q的值，再利用作差法，即可得出P，Q的大小。
20．（2017·西安模拟）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴ ．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
21．（2019·嘉定模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点 定义为点 的“关联点”. 已知点 在函数 的图像上，将点A的“关联点”记为点 .
（1）请在如图基础上画出函数 的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点 在函数 的图像上，求点 的坐标；
（3）将点 称为点 的“待定关联点”（其中 ），如果点 的“待定关联点” 在函数 的图像上，试用含 的代数式表示点 的坐标.
【答案】（1）解：如图
将图9中的抛物线 向下平移2个单位长，可得抛物线
画法：①列表；②描点（五点画图法）；③用光滑的曲线连接这五个点.
（2）解：由题意，得点 的“关联点”为
由点 在抛物线 上，可得 ，
又∵ 在抛物线 上，∴
解得 .将 代入 ，得
（3）解：点 的“待定关联点”为 ，
∵ 在抛物线 的图像上，∴ .
∴ ， .又∵ ，∴ .
当 时， ，故可得
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）利用图像的平移规律，将 向下平移2个单位长度即可得到 （2）先根据题意求出 ，再代入到 中，联合A代入到 即可求出答案.（3）将 代入 中解出x的值，可点 的坐标即可用含n的代数式表示.
22．（2020九上·合肥月考）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k- 1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解： 函数的图象与x轴相交于O，.
，
二次函数的解析式为y=x-3x.
（2）解：假设存在点 ，过点 作 轴于点 ， 的面积等于6。
.
当 时， ，解得 或3
， ，即 ，解得 或 (舍去).
又 顶点坐标为 ， ， 下方不存在 点.
点 的坐标为
（3）解： 点 的坐标为 ， ， 当 时， .
设P点横坐标为 ，则纵坐标为 ，即 ，解得 或 .
在抛物线上仅存在一点
的面积为：
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点的坐标代入抛物线，即可得到k的值；
（2）根据得到的抛物线的解析式求出点A的坐标，即可得到OA的长度，根据△OAB的面积求出B点纵坐标的绝对值，代入抛物线中，计算得到点B的坐标即可；
（3）根据点B的坐标计算直线OB的解析式，求出点P的坐标特点，代入解析式计算得到坐标即可。计算△POB的面积，求出OB和OP的长度，即可得到答案。
23．（2019九下·常德期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与直线BC相交于点E.
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当△PBC的面积最大时，请求出P点的坐标和△PBC的最大面积；
（3）点Q是线段BD上的一动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△ ，是否存在点Q使得△ 与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BQ的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点A(－1，0)、B(3，0)代入抛物线解析式y＝ax2－2x+c可得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，
当x=0时，y=-3，所以C的坐标为C（0，-3）
（2）解：∵B(3，0)，C（0，-3），可得直线BC解析式为：y=x-3，
设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，△PBC的面积最大，
联立解析式 ，
可得 ，
整理得： ，
∴ ，解得：b= ，
即 ，解得：x= ，将x= 代入抛物线解析式可得 ，
所以P ，
如图1，过点P作PM⊥y轴于M，∴M(0， )，
∴
∴△PBC的最大面积为
（3） 或 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）根据（1）中解析式可得：D(1，-4)，直线x=1交x轴于F，BD= ，
分类讨论：
①如图3，EQ⊥DB于Q，△DEQ沿边EQ翻折得到△D’EQ，
∵∠EDQ＝∠BDF，
∴Rt△DEQ∽Rt△DBF，
∴ ，即 ，
解得DQ＝ ，
∴BQ＝BD DQ＝
②如图4， ED′⊥BD于H，
∵∠EDH＝∠BDF，
∴Rt△DEH∽Rt△DBF，
∴ ，即 ，
解得DH＝ ，EH＝ ，
在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH HQ＝
，D′H＝D′E EH＝DE EH＝2 ，
∴ ，解得x＝1 ，
∴BQ＝BD DQ＝BD （DH HQ）＝BD DH＋HQ＝ ，；
③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，易得EI＝ ，BI＝ ，
∵△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，
∴∠EQD＝∠EQD′，
∴EG＝EI＝ ，
∵BE＝ ，
∴BG＝BE EG＝
∵∠GBQ＝∠IBE，
∴△BQG∽△BEI，
∴ ，即
∴BQ＝
综上所述，当BQ为 或 或 时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形．
【分析】（1）将点A(－1，0)、B(3，0)代入抛物线解析式可求出a，c的值，得到抛物线的解析式，令x=0可求出c的坐标；（2）直线BC解析式为：y=x-3，设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，△PBC的面积最大，联立解析式，求出当 时x的值，即为P点横坐标，再根据分割面积法求出此时 ；（3）根据（1）中解析式可得：D(1，-4)，直线x=1交x轴于F，BD= ，然后分情况讨论，分别求出BQ的长即可.]
24．（2020·黄石模拟）以△ABC的边AC为直径的半圆交AB边于D点，∠A、∠B、∠C所对边长为a、b、c，且二次函数y＝ (a＋c)x2-bx＋ (c-a)顶点在x轴上，a是方程z2＋z-20＝0的根.
（1）证明：∠ACB＝90°；
（2）若设b＝2x，弓形面积S弓形AED＝S1，阴影面积为S2，求(S2-S1)与x的函数关系式；
（3）在(2)的条件下，当BD为何值时，(S2-S1)最大？
【答案】（1）证明：因为二次函数y＝ (a＋c)x2-bx＋ (c-a)的顶点在x轴上，
∴Δ＝0，即：b2-4× (a＋c)× (c-a)＝0，
∴c2＝a2＋b2，
得∠ACB＝90°.
（2）解：∵z2＋z-20＝0.
∴z1＝-5，z2＝4，
∵a＞0，得a＝4.
设b＝AC＝2x，有S△ABC＝ AC·BC＝4x，S半圆＝ p x2
∴S2-S1＝S△ABC-(S半圆-S1)-S1＝S△ABC-S半圆＝- x2＋4x
（3）解： S2-S1＝- (x- )2＋ ，
∴当x＝ 时，(S2-S1)有最大值 .
这时，b＝ ，a＝4，c＝ ，
如图，连接
为圆的直径，
BD＝ .
当BD为 时，(S2-S1)最大.
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；相似三角形的判定与性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】(1)由抛物线的顶点在x轴上，得到 从而可得结论.(2)利用a是z2＋z-20＝0的根，求解 的值，再利用S2-S1＝S△ABC-(S半圆-S1)-S1＝S△ABC-S半圆，从而可得答案，(3)由（2）的函数关系式求解（ ）最大时 ，利用直径所对的圆周角是直角，得到 利用相似三角形的性质可得答案.
25．（2021九上·鹿城期末）某公司有一块如图所示的平行四边形ABCD的绿化地，中间四边形EFGH是正方形，种上甲类花； AGD和 BEC是全等的等腰直角三角形，种上乙类花； ABH和 CDF是全等的直角三角形，种上丙类花；三类花的价格如下表：
花的种类 甲 乙 丙
价格（元/米2） 200 100 150
已知AH＝3米，设BE的长为x米，绿化的总费用为y元.
（1）用含有x的代数式表示：EF＝，FD＝　 　；
（2）求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）如果FD的长比CF至少多4米，求总费用y的最小值.
【答案】（1）x－3，2x－3
（2）解：由题意得：
y＝200(x－3)2＋100× x2×2＋150× ×3×(2x－3)×2
＝200(x－3)2＋100x2＋450(2x－3)
＝300x2－300x＋450，
∴y＝300x2－300x＋450（x＞3）
（3）解：由题意得：2x－3≥3＋4，
解得：x≥5，
∵y＝300x2－300x＋450（x＞3）；
∴y＝300(x－ )2＋375
∵a＝300＞0，对称轴为直线x＝ ，
∴当x＞ 时，y随着x的增大而增大，
又∵x≥5，
∴当x＝5时，y取得最小值，最小值为6450，
答：总费用y的最小值为6450元.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵ ABH和 CDF是全等的直角三角形，AH＝3米，
∴CF＝AH＝3米，
∵ AGD和 BEC是全等的等腰直角三角形，BE＝x米，
∴AG＝GD＝EC＝BE＝x米，
∴EF＝EC－CF＝x－3，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG＝EF＝x－3，
∴FD＝FG＋GD
＝x－3＋x
＝2x－3，
故答案为：x－3，2x－3；
【分析】（1）由题意可得CF＝AH＝3米，AG＝GD＝EC＝BE＝x米，由此可得EF＝EC－CF＝x－3，再由正方形EFGH可得FG＝EF＝x－3，由此即可表示出FD的长；（2）根据总费用等于各部分的费用之和即可列出y关于x的函数解析式；（3）由2x－3≥3＋4可得x≥5，由y＝300x2－300x＋450可得y＝300(x－ )2＋375，再根据二次函数的增减性即可求得x≥5的y的最小值.
26．（2020九上·温州月考）知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段.第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以曲线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹弹头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段.
某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如下表格：
时间 0 1 2 4 5 6 9 13 14 16 19 24 …
离地高度 0 24 96 386 514 616 850 994 1000 976 850 400 …
已知导弹在第 分钟（ 为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面100千米时进入第三阶段.
（1）该导弹在发射多少时间后达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是多少千米？
（2）请用学过的函数模型来确定第二阶段的曲线解析式，并求出 的值.
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
【答案】（1）解：根据表格中的数据可知，发射14分时到达轨道的远地点，此时距离地面的高度为1000千米.
（2）解：根据表中数据可知第二阶段的曲线为抛物线，
可设抛物线为 ，将点 代入，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
当 ，1，2，4，5时， 依次为 ， ，136，400，514.
∴ .
∴导弹在第5分钟开始进入飞行第二阶段；
（3）解：令 ，则 ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
答：导弹发射 分钟熄火.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格的数据，即可得到答案；
（2）结合表格中的数据，设函数解析式为 ，利用待定系数法进行解题，即可求出答案；
（3）令 ，代入函数解析式，即可求出答案.
1 / 1初中数学湘教版九年级下册第一章 二次函数 单元测试（提高篇）
一、单选题
1．（新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（　　）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系。
D．正方形的周长C与边长a之间的关系。
2．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0。
其中错误结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020九上·福州月考）二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（　　）
A． B．4 C． D．
5．（2020九上·台州月考）已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1 y2.当﹣2 x 1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（　　）
A．-5 B．-10 C．-2 D．5
6．（2020九上·路桥月考）我们定义一种新函数：形如 （a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y= B． y= C． y= D．y=
8．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为 ，点B的坐标为 ．将二次函数 的图象经过左（右）平移 个单位再上（下）平移 个单位得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．下列关于a，b的取值范围，叙述正确的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．（2020九上·福州月考）已知二次函数 （a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，下列4个判断中：①a+b=-1；②a＞b﹣1；③b﹣a＜0；④﹣1＜a＜﹣ ，正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程 同步练习）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
11．（2020九上·绍兴月考）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是绍兴特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
12．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020九上·河北期末）如果二次函数 （m为常数）的图象有最高点，那么m的值为　 　．
14．（2017·广水模拟）如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2020·广东模拟）对于一个函数，如果它的自变量x与对应的函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝－x均是“闭函数”．已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，－1）和点B(－1，1），则a的取值范围是　 　.
16．（2019九上·包河期中）已知二次函数 为常数)，当 时，y的最大值是15，则m的值是　 　．
17．（2018九下·新田期中）关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是　 　
18．（2020·淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是　 　个．
三、解答题
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册二次函数图象与系数的关系）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．
20．（2017·西安模拟）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
21．（2019·嘉定模拟）在平面直角坐标系xOy中，将点 定义为点 的“关联点”. 已知点 在函数 的图像上，将点A的“关联点”记为点 .
（1）请在如图基础上画出函数 的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点 在函数 的图像上，求点 的坐标；
（3）将点 称为点 的“待定关联点”（其中 ），如果点 的“待定关联点” 在函数 的图像上，试用含 的代数式表示点 的坐标.
22．（2020九上·合肥月考）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k- 1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由
23．（2019九下·常德期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与直线BC相交于点E.
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当△PBC的面积最大时，请求出P点的坐标和△PBC的最大面积；
（3）点Q是线段BD上的一动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△ ，是否存在点Q使得△ 与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BQ的长，若不存在，请说明理由.
24．（2020·黄石模拟）以△ABC的边AC为直径的半圆交AB边于D点，∠A、∠B、∠C所对边长为a、b、c，且二次函数y＝ (a＋c)x2-bx＋ (c-a)顶点在x轴上，a是方程z2＋z-20＝0的根.
（1）证明：∠ACB＝90°；
（2）若设b＝2x，弓形面积S弓形AED＝S1，阴影面积为S2，求(S2-S1)与x的函数关系式；
（3）在(2)的条件下，当BD为何值时，(S2-S1)最大？
25．（2021九上·鹿城期末）某公司有一块如图所示的平行四边形ABCD的绿化地，中间四边形EFGH是正方形，种上甲类花； AGD和 BEC是全等的等腰直角三角形，种上乙类花； ABH和 CDF是全等的直角三角形，种上丙类花；三类花的价格如下表：
花的种类 甲 乙 丙
价格（元/米2） 200 100 150
已知AH＝3米，设BE的长为x米，绿化的总费用为y元.
（1）用含有x的代数式表示：EF＝，FD＝　 　；
（2）求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）如果FD的长比CF至少多4米，求总费用y的最小值.
26．（2020九上·温州月考）知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段.第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以曲线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹弹头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段.
某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如下表格：
时间 0 1 2 4 5 6 9 13 14 16 19 24 …
离地高度 0 24 96 386 514 616 850 994 1000 976 850 400 …
已知导弹在第 分钟（ 为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面100千米时进入第三阶段.
（1）该导弹在发射多少时间后达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是多少千米？
（2）请用学过的函数模型来确定第二阶段的曲线解析式，并求出 的值.
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意，A的解析式为 ，B的解析式为 ，C的解析式为 ，D的解析式为 ，唯有B是二次函数关系，故选C．
【分析】能够运用实际问题的意义列出正确的解析式，并进行分析判断是否是二次函数，要根据二次函数的定义的基本要求．
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
①当 时，当 时，y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 (舍去)或 (舍去)；
②当 时，当 时y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
【分析】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和，根据二次函数的性质可得最大值.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： y＝ax2+2ax+2a+5 ，
=a(x+1)2+a+5，
∵对称轴x=-1，
∴（﹣2，y1）离对称轴较近，（1，y2），离对称轴较远，
∵y1 y2 ，
∴a<0，
当-2≤x≤1时，x=1取最小值，
即二次函数经过（1，-5），
∴-5=a+2a+2a+5，
∴a=-2.
故答案为：C.
【分析】首先配方求出抛物线的对称轴方程，比较两点离对称轴的远近，结合其函数值的大小得出a<0，从而由函数的性质可知当x=1取最小值，把最小值代入函数式即可求出a值.
6．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图：
①∵（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 ，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当 或 时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为 或 ，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，存在函数值要大于当 时的 ，因此⑤是不正确的.
故答案为：A.
【分析】由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到图象与x轴的交点坐标，由x=0求出y的值，可得到图象与y轴的交点坐标，可对①作出判断；利用对称轴方程，可得到抛物线的对称轴，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可得到函数值y随x值的增大而增大时自变量x的取值范围可对③作出判断；观察函数图象，利用函数解析式可求出函数的最小值为0时自变量x的值，可对④作出判断；由图象可知函数的最大值不能确定，可对⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
7．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵ = ，
∴二次函数的顶点坐标为（1，-2），
∵点A坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，
∴平移后的顶点坐标为（1-a，-2+b）
∵图象M的顶点落在线段AB上，
∴-2≤1-a≤0，2≤-2+b≤3，
解得：1≤a≤3，4≤b≤5，
故答案为：B．
【分析】先求出二次函数 = 的顶点坐标（1，-2），根据题意，二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，平移后的顶点坐标为（1-a，-2+b），进而得到满足条件的a、b的不等式，解之即可．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将（1，0）代入解析式，得 ，即a+b=-1，
故①符合题意；
②∵a＜0
∴抛物线在对称轴左侧时，y随x的增大而增大
∵﹣2＜x1＜﹣1，另一交点为（1，0）
∴
∴当x=-1时，y>0，即
∴
故②符合题意；
③，由②得知 ，且a＜0
∴ ，即
故③不符合题意；
④由根与系数的关系得到
∴
∴ ，解得﹣1＜a＜﹣
故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】 将（1，0）代入中，可得，据此判断①；由于a＜0，可得抛物线在对称轴左侧时，y随x的增大而增大，由﹣2＜x1＜﹣1，另一交点为（1，0），可得，从而求出当x=-1时，y= ，据此判断②；由且a＜0，可得，据此判断③；由根与系数的关系得到 ，从而求出，即得，求出a的范围判断④即可.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；图形的旋转
【解析】【解答】解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x
1=0，x
2=5，则A
1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣6，
即m=﹣6．
故答案为：C
【分析】先求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数个抛物线都在x轴上方，第偶数个抛物线都在x轴下方，2018÷5=403·····3，可判断点P在第404个抛物线上，用待定系数法先求出该抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
11．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意知，函数p=at2+bt+c，
∴，
解得，
∴p=0.25t2+1.5t-1.7=-0.2（t-3.75）2+0.2×3.752-1.7
=-0.2（t-3.75）2+1.1125.
故当t=3.75时，p有最大值.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，配方求出顶点坐标，即可得出加工煎炸臭豆腐的最佳时间.
12．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
13．【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵二次函数 （m为常数）的图象有最高点，
∴
解得：m=-2，
故答案为-2．
【分析】根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，
得出二次函数解析式为：y= （x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0= （﹣6+3）2+h，
解得：h=﹣ ，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣ ），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=|﹣3|×|﹣ |= ．
故答案为： ．
【分析】可转化阴影部分面积，进行分割，根据两抛物线形状相同，具有对称性，因此把x轴上侧的阴影面积补到下侧空白部分，构成完整的矩形.
15．【答案】－ ≤a＜0或0＜a≤
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】将A、B两点代入抛物线，可得出b=-1，a+c=0，
所以抛物线为y=ax2-x-a（a≠0）
对称轴为
a＜o，抛物线开口向下，对称轴＜0
因为抛物线经过A、B
画图可得出当对称＜0或≥1时，符合题意，a的趋势范围为
【分析】将A、B两点代入，求得解析式，再根据对称轴进行判断。
16．【答案】6和-19
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=-x2+mx+m=-（x- ）2+ +m，
当4＜ 时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6.2（舍去）；
当 ＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19，
当-2≤ ≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x= 时取得最大值，则15= +m，得m1=6，m2=-10（舍去），
由上可得，m的值是6和-19，
故答案为：6和-19．
【分析】根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
17．【答案】 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，
解得：a＞
设f（x）=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜ ＜0，
∴a＜ ，
且有f（-1）＜0，f（0）＜0，
即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0，
解得：a＜-2，
∴ ＜a＜-2，
故答案为： ＜a＜-2．
【分析】首先根据根的情况利用判别式解得a的取值范围，然后根据已知中两个根的范围可知两个根的和大于-1且小于0，求出a的范围，画出草图可观察到x=1和x=0时ax2-3x-1的值都小于0，据此即可确定出a的范围.
18．【答案】210
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；探索数与式的规律；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号 在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1 n﹣1
2 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
… …
n 0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
19．【答案】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵ ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵ ＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－ b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.∴P＞Q.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】根据抛物线的开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a，b异号，根据抛物线的对称轴直线是1，得出b＋2a＝0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故3b－2c＞0，根据抛物线与y轴的正半轴相交，得出c＞0，故3b＋2c＞0，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再按整式加减的方法分别化简P，Q的值，再利用作差法，即可得出P，Q的大小。
20．【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 即 ，解得﹣5＜c≤﹣1．综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．又该抛物线的对称轴 ，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴ ．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象， 可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
21．【答案】（1）解：如图
将图9中的抛物线 向下平移2个单位长，可得抛物线
画法：①列表；②描点（五点画图法）；③用光滑的曲线连接这五个点.
（2）解：由题意，得点 的“关联点”为
由点 在抛物线 上，可得 ，
又∵ 在抛物线 上，∴
解得 .将 代入 ，得
（3）解：点 的“待定关联点”为 ，
∵ 在抛物线 的图像上，∴ .
∴ ， .又∵ ，∴ .
当 时， ，故可得
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）利用图像的平移规律，将 向下平移2个单位长度即可得到 （2）先根据题意求出 ，再代入到 中，联合A代入到 即可求出答案.（3）将 代入 中解出x的值，可点 的坐标即可用含n的代数式表示.
22．【答案】（1）解： 函数的图象与x轴相交于O，.
，
二次函数的解析式为y=x-3x.
（2）解：假设存在点 ，过点 作 轴于点 ， 的面积等于6。
.
当 时， ，解得 或3
， ，即 ，解得 或 (舍去).
又 顶点坐标为 ， ， 下方不存在 点.
点 的坐标为
（3）解： 点 的坐标为 ， ， 当 时， .
设P点横坐标为 ，则纵坐标为 ，即 ，解得 或 .
在抛物线上仅存在一点
的面积为：
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点的坐标代入抛物线，即可得到k的值；
（2）根据得到的抛物线的解析式求出点A的坐标，即可得到OA的长度，根据△OAB的面积求出B点纵坐标的绝对值，代入抛物线中，计算得到点B的坐标即可；
（3）根据点B的坐标计算直线OB的解析式，求出点P的坐标特点，代入解析式计算得到坐标即可。计算△POB的面积，求出OB和OP的长度，即可得到答案。
23．【答案】（1）解：将点A(－1，0)、B(3，0)代入抛物线解析式y＝ax2－2x+c可得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，
当x=0时，y=-3，所以C的坐标为C（0，-3）
（2）解：∵B(3，0)，C（0，-3），可得直线BC解析式为：y=x-3，
设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，△PBC的面积最大，
联立解析式 ，
可得 ，
整理得： ，
∴ ，解得：b= ，
即 ，解得：x= ，将x= 代入抛物线解析式可得 ，
所以P ，
如图1，过点P作PM⊥y轴于M，∴M(0， )，
∴
∴△PBC的最大面积为
（3） 或 或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）根据（1）中解析式可得：D(1，-4)，直线x=1交x轴于F，BD= ，
分类讨论：
①如图3，EQ⊥DB于Q，△DEQ沿边EQ翻折得到△D’EQ，
∵∠EDQ＝∠BDF，
∴Rt△DEQ∽Rt△DBF，
∴ ，即 ，
解得DQ＝ ，
∴BQ＝BD DQ＝
②如图4， ED′⊥BD于H，
∵∠EDH＝∠BDF，
∴Rt△DEH∽Rt△DBF，
∴ ，即 ，
解得DH＝ ，EH＝ ，
在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH HQ＝
，D′H＝D′E EH＝DE EH＝2 ，
∴ ，解得x＝1 ，
∴BQ＝BD DQ＝BD （DH HQ）＝BD DH＋HQ＝ ，；
③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，易得EI＝ ，BI＝ ，
∵△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，
∴∠EQD＝∠EQD′，
∴EG＝EI＝ ，
∵BE＝ ，
∴BG＝BE EG＝
∵∠GBQ＝∠IBE，
∴△BQG∽△BEI，
∴ ，即
∴BQ＝
综上所述，当BQ为 或 或 时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形．
【分析】（1）将点A(－1，0)、B(3，0)代入抛物线解析式可求出a，c的值，得到抛物线的解析式，令x=0可求出c的坐标；（2）直线BC解析式为：y=x-3，设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，△PBC的面积最大，联立解析式，求出当 时x的值，即为P点横坐标，再根据分割面积法求出此时 ；（3）根据（1）中解析式可得：D(1，-4)，直线x=1交x轴于F，BD= ，然后分情况讨论，分别求出BQ的长即可.]
24．【答案】（1）证明：因为二次函数y＝ (a＋c)x2-bx＋ (c-a)的顶点在x轴上，
∴Δ＝0，即：b2-4× (a＋c)× (c-a)＝0，
∴c2＝a2＋b2，
得∠ACB＝90°.
（2）解：∵z2＋z-20＝0.
∴z1＝-5，z2＝4，
∵a＞0，得a＝4.
设b＝AC＝2x，有S△ABC＝ AC·BC＝4x，S半圆＝ p x2
∴S2-S1＝S△ABC-(S半圆-S1)-S1＝S△ABC-S半圆＝- x2＋4x
（3）解： S2-S1＝- (x- )2＋ ，
∴当x＝ 时，(S2-S1)有最大值 .
这时，b＝ ，a＝4，c＝ ，
如图，连接
为圆的直径，
BD＝ .
当BD为 时，(S2-S1)最大.
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；相似三角形的判定与性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】(1)由抛物线的顶点在x轴上，得到 从而可得结论.(2)利用a是z2＋z-20＝0的根，求解 的值，再利用S2-S1＝S△ABC-(S半圆-S1)-S1＝S△ABC-S半圆，从而可得答案，(3)由（2）的函数关系式求解（ ）最大时 ，利用直径所对的圆周角是直角，得到 利用相似三角形的性质可得答案.
25．【答案】（1）x－3，2x－3
（2）解：由题意得：
y＝200(x－3)2＋100× x2×2＋150× ×3×(2x－3)×2
＝200(x－3)2＋100x2＋450(2x－3)
＝300x2－300x＋450，
∴y＝300x2－300x＋450（x＞3）
（3）解：由题意得：2x－3≥3＋4，
解得：x≥5，
∵y＝300x2－300x＋450（x＞3）；
∴y＝300(x－ )2＋375
∵a＝300＞0，对称轴为直线x＝ ，
∴当x＞ 时，y随着x的增大而增大，
又∵x≥5，
∴当x＝5时，y取得最小值，最小值为6450，
答：总费用y的最小值为6450元.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵ ABH和 CDF是全等的直角三角形，AH＝3米，
∴CF＝AH＝3米，
∵ AGD和 BEC是全等的等腰直角三角形，BE＝x米，
∴AG＝GD＝EC＝BE＝x米，
∴EF＝EC－CF＝x－3，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG＝EF＝x－3，
∴FD＝FG＋GD
＝x－3＋x
＝2x－3，
故答案为：x－3，2x－3；
【分析】（1）由题意可得CF＝AH＝3米，AG＝GD＝EC＝BE＝x米，由此可得EF＝EC－CF＝x－3，再由正方形EFGH可得FG＝EF＝x－3，由此即可表示出FD的长；（2）根据总费用等于各部分的费用之和即可列出y关于x的函数解析式；（3）由2x－3≥3＋4可得x≥5，由y＝300x2－300x＋450可得y＝300(x－ )2＋375，再根据二次函数的增减性即可求得x≥5的y的最小值.
26．【答案】（1）解：根据表格中的数据可知，发射14分时到达轨道的远地点，此时距离地面的高度为1000千米.
（2）解：根据表中数据可知第二阶段的曲线为抛物线，
可设抛物线为 ，将点 代入，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
当 ，1，2，4，5时， 依次为 ， ，136，400，514.
∴ .
∴导弹在第5分钟开始进入飞行第二阶段；
（3）解：令 ，则 ，
解得： ， （不合题意，舍去）.
答：导弹发射 分钟熄火.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格的数据，即可得到答案；
（2）结合表格中的数据，设函数解析式为 ，利用待定系数法进行解题，即可求出答案；
（3）令 ，代入函数解析式，即可求出答案.
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