2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（13）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .
【解析】如图所示，
,
作轴于点D1,则由，得
,所以,即,由椭圆的第二定义又由,得,整理得.两边都除以,得.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（14）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为 .
【解析】此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，
已知条件少，没有具体的线段长度，应根据三条棱两两垂直
的特点，以，，为棱，补成一个长方体.
通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长
，，分别为1，2，3得.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（15）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.
①； ②； ③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关.
【解析】此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应根据题意及概念逐个判断.易见是两两互斥的事件，事件的发生受到事件的影响，所以这两事件不是相互独立的.而
.
所以答案②④.
【特别提醒】容易忽略事件的发生受到事件的影响，在求事件发生的概率时没有分情况考虑而导致求解错误.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（16）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
已知函数= 若均不相等，且，则的取值范围是 （ ）
A.（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24)
【解析】解：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，故答案选C．
另解：不妨设，则由，再根据图像易得.实际上中较小的两个数互为倒数.
【特别提醒】此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得出答案.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（17）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
将函数的图像向左平移个单位.若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】解：逐项代入验证即可得答案选B.
实际上，函数的图像向左平移个单位所得函数为
，此函数图像与原函数图像重合，即，于是为4的倍数.
【特别提醒】的图像向左平移个单位所得函数解析式，应将原解析式中的变为，图像左右平移或轴的伸缩变换均只对产生影响，其中平移符合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（18）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形结合的思想进行求解.
曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线。作图分析：
，，又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知
【特别提醒】（1）忽略曲线方程：表示的是两条直线（2）求直线与曲线相切时的值时不结合图像取值导致错误.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（19）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率与日产量 （）件间的关系为 每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元．
（Ⅰ）将日利润（元）表示为日产量(件)的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时,日利润最大？
（）
解 ：（Ⅰ）
（Ⅱ）当时,.
当时, 取得最大值33000(元).
当时，. 令，得.
当时，；当时，.
在区间上单调递增,在区间上单调递减.
故当时,取得最大值是 (元).
, 当时,取得最大值(元).
答: 该厂的日产量为25件时, 日利润最大.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（20）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
某已知求证：
【解析】证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立，
当且仅当时等号成立， 即
证法2：（分析法） 要证，只要证 即证
，即证 即
由 得，
所以原不等式成立
【特别提醒】综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.
（1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（21）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
如图，是圆的直径，于，且，为的中点，连接并延长交圆于．若，则_______，_________．
【答案】3，
【解析】∵AB是⊙O直径，∴AC⊥BC∵AD=2BD
∴,
在Rt△ABC中，∴
∴∴
∵E为AD中点∴,
∴O为ED中点，∴，∴
,∴
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（22）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，
．
（Ⅰ）若点在线段上，且满足,
求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
证明：（Ⅰ）过作于，连结，
则，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，，故
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得
.
显然.
则，
所以.
即，故平面.
（Ⅲ）因为，所以与确定平面，
由已知得，，.
因为平面，所以.
由已知可得且，
所以平面，故是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量是.
由得 即
令，则.
所以.
由题意知二面角锐角，
故二面角的余弦值为.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（23）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
是曲线上的一个动点，曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点，点是坐标原点. 给出三个命题：①；②的周长有最小值；③曲线上存在两点，使得为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（A）１ （B）２ （C）３ （D）０
【答案】C
【解析】设点
故①正确的周长故②正确；如图所示，存在点M.N使得为等腰直角三角形，且
设
,可求得故③正确.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（24）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
我校学生校篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（I）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
（II）第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
【解析】：（I）的所有可能取值为0，1，2．
设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
，
，
．
所以的分布列为
0
1
2
的数学期望为．
（II）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．
而事件、、互斥，
所以，．
由条件概率公式，得
，
，
．
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
．
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（25）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．
(I) 求双曲线的方程；
(II) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】：(I) 设双曲线的方程为，
则．
由，得，即．
∴
解之得，∴．
∴双曲线的方程为．
(II) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即 ①
∵，
，
∴．
即． ②把①代入②，得
③
把代入并整理得
其中且，即且．
．
代入③，得 ，
化简得 ．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使．
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（26）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
双曲线的右是焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
答案：C
解析：本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．双曲线的右焦点是抛物线的焦点可知，又可知到抛物线的准线的距离为5，可设，根据两点间距离公式可得到，将双曲线方程化为，代入点的坐标并求解关于的一元二次方程，可求得或. 又，可将舍去，可知，即，（或根据双曲线定义得2a=|PF2|－|PF1|=2），综上可知双曲线的离心率为. 故选C.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（27）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
如图，在直角梯形中，，∥，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设（，），则取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：以D为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
A（0，0），D（0，1），B（2，0），C（1，1）
直线BD的方程为x+2y-2=0
C到BD的距离为
∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为(x-1)2+（y-1）2=
设P（x，y）则
解得
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（28）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
下列说法：
①“”的否定是“”；
②函数的最小正周期是；
③命题“函数在处有极值，则”的否命题是真命题；
④是上的奇函数，x>0时的解析式是，则时的解析式为..其中正确的说法是. ______________
【答案】①④
【解析】对于①，“，”的否定是“，”，因此①正确；对于②，注意到，因此函数
的最小正周期是，②不正确；对于③，注意到命题“函数在处有极值，则”的否命题是“若函数在处无极值，则”，容易得知该命题不正确，如取，当时，③不正确；对于④，依题意得知，当时，，，因此④正确.综上所述，其中正确的说法是①④.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（29）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
在区间[0,1]上任取三个数，若向量，则的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得知，实数满足，这样的点可视为空间直角坐标系下的单位正方体区域（其中原点是该正方体的一个顶点）内的点，其中满足，即，，这样的点可视为位于空间直角坐标系下的单位正方体区域内的点且还处于以原点为球心、为半径的球形区域内，该部分的体积恰好等于该球体积的，因此的概率等于，选D.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（30）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
已知函数．规定：给定一个实数，赋值，若，则继续赋值；若，则继续赋值；…，以此类推. 若，则，否则停止赋值．已知赋值次后该过程停止，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】 依题意得，，，.依题意有，，即，由此解得，即的取值范围是，选B
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（31）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
已知定义在R上的函数满足： 且，，则方程在区间[-8，3]上的所有实根之和为 ．
【答案】
【解析】记，，则方程在区间上的根与方程在区间上的根相同.
令，则有，当时，，方程，即，，在同一坐标系下画出函数，的图象与，的图象，结合图象不难得知，它们的图象共有五个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为、、、、，则有，，，，
，因此方程在区间上的根的和等于.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（32）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为正实数，则，要使为三边的三角形存在，则，
即恒成立，故
令，则，取，，递增，所以时，；
同理取，递增，可知时，，故实数的取值范围是。
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（33）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
为双曲线的左右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，满足，则此双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】由双曲线的性质可推得，则 在△中，，， ，由余弦定理可知
，又，
可得，即，因此渐近线方程为.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（36）
特约解析人：辽宁数学名师群官方
曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出
下列三个结论：
① 曲线关于轴对称；
② 若点在曲线上，则；
③ 若点在曲线上，则.
其中，所有正确结论的序号是___________．
【答案】① ② ③．
【解析】设点在曲线上，则有两边平方化简得：
。将x换为-x，表达式不变，故（1）正确；
（2）正确；
当
当故，（3）正确.
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（49）
特约解析人：浙江数学名师群官方
直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 。
【答案】。
【解析】由，得，即，
由已知方程有四个不同的实数解，
画出的图象，如图所示，
直线与抛物线有四个不同的交点，因此。
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（50）
特约解析人：浙江数学名师群官方
已知为锐角，则“且”是“”的
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由于为锐角，注意到“或”时均有：“”，
反之也成立．不妨设的解为，设的解为．
结合图像由单调性可知且的解为：(关
于对称)，故（），
由于，故成立，即充分性成立．
由于为锐角，故以上过程可逆推，即必要性也成立．
综上得：“且”是“”的充分必要条件．
【答案】A
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（51）
特约解析人：浙江数学名师群官方
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，为等边三角形，
又平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求的取值范围；
（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．
【解析】（Ⅰ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD
建立如图的空间直角坐标系，则,设Q（t，2，0），
则 ＝（t，2，－），＝（t，2，0）． ∵PQ⊥QD，∴．
∴,等号成立当且仅当t=2．
故的取值范围为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，=8时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．
此时Q（2，2，0），D（4，0，0）, ．
设是平面的法向量，＝（2，2，），
＝（-2，2，0）． 由，得．
取，则 是平面的一个法向量．
而是平面的一个法向量，
设二面角A－PD－Q为，由．
∴二面角A－PD－Q的余弦值为．
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（52）
特约解析人：浙江数学名师群官方
已知数列的前项和，且，其中 ，
（1）求，并猜想数列的通项公式；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）设数列满足，为的前项和，求证：
．
【解析】解：（1）
（2）已知式即, 故
因为, 当然, 所以.
由于, 且, 故.
于是, ,
所以
(3) 由, 得,
故.
从而.
.
因此
设
故.
注意到, 所以.
特别地, 从而.
所以
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（53）
特约解析人：浙江数学名师群官方
向量满足: ,,在上的投影为,,
，则的最大值是 ．
【解析】 不妨设向量有相同的起点，终点分别为.由在上的投影为知，由知：在以为直径的圆上. 故当向量过中点时，其模最大，此时：=（）=，
由知，在以为圆心，1为半径的圆上，故当共线时最大，故==
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（54）
特约解析人：浙江数学名师群官方
已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
（Ⅰ）求抛物线的方程;
（Ⅱ）已知动直线过点,交抛物线于、两点.
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
【解析】解: （Ⅰ）由题意,可设抛物线方程为.
由,得. 抛物线的焦点为,.
抛物线D的方程为.
（Ⅱ）设,.
直线的方程为：,
联立,整理得:
=.
(ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得:
即=
=
==
当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.
因此存在直线满足题意
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（55）
特约解析人：浙江数学名师群官方
设函数
（1）若在点x=0处的切线方程为y=x，求m,n的值。
（2）在（1）条件下，设求a的取值范围.
【解析】解：（1）由
（2）由（1）得
1）
2）
若
此时
3）[来源:Zxxk.Com]
令
①若 h(x)单调递增
②
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（56）
特约解析人：浙江数学名师群官方
已知数列共有8项,且满足,,若的前8
项和,则满足条件的数列的个数为 ( )
A. 37 B．38 C．70 D．322
【解析】以中出现的个数作为对象来讨论.（1）若中没有（即全为1），则中只有一个1，数列种数为.（2）若中有一个（即还有两个1），则中有三个1，数列种数为.（3）若中有两个（即还有一个1），则中有五个1，数列种数为.综上：数列种数共有.故选B
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（57）
特约解析人：浙江数学名师群官方
下列结论：
①log2.56.25＋lg＋ln=；
②函数的最小值为且它的图像关于y轴对称；
③椭圆的离心率为；
④“a = 1”是“圆x2 + y2－2x－2y = 0上有3个点到直线x + y－a = 0的距离都等于”的充要条件。
其中正确命题的序号为 .（把你认为正确的命题序号都填上）。
【答案】①③。
【解析】①正确，log2.56.25＋lg＋ln=；
②错误，显然函数的最小值为0，它是偶函数，图象关于轴对称；
因此“”是“”的充分不必要条件；
③正确，椭圆中，，，离心率为；
④错误，若圆x2 + y2－2x－2y = 0上有3个点到直线x + y－a = 0的距离都等于，
因为圆x2 + y2－2x－2y = 0的半径为，
则圆心（1，1）到直线x + y－a = 0的距离都等于，
从而，，解得或。
因此“a = 1”是“圆x2 + y2－2x－2y = 0上有3个点到直线x + y－a = 0的距离都等于”
的充分而不必要要条件。
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（58）
特约解析人：浙江数学名师群官方
设，求的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 得 ； （1），
令得； （2） 令得 ； （3） （2）＋（3）得 ，故， 再由（1）得。
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（59）
特约解析人：浙江数学名师群官方
一个直角三角形的周长为，面积为S，给出：
①（6，2）； ②（25，5）； ③（10，6）； ④ ．
其中可作为取值的实数对的序号是 （ ）[来
A．① ② B．① ③ C．③ ④ D．② ④
【答案】D
【解析】设直角三角形两个直角边分别为则；
且无解；①错；且无解，③错；②（25，5）与④ ．有解，所以选D;
2013 届新课标高三数学精华试题每天一练（60）
特约解析人：浙江数学名师群官方
已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是抛物线与双曲线的一个交点，满足，则的值为
A、－1 B、1 C、2 D、3
【答案】B
【解析】解：由双曲线方程得
由抛物线方程，设为抛物线的焦点，其准线为，过F1点
由得
又双曲线左准线为，离心率
∴
故选B
