初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.3 确定二次函数的表达式
一、单选题
1．（2020九上·合肥月考）已知二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图像经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，
∴将（0，0）代入解析式，得：m（m-2）=0，
解得：m=0或m=2，
又∵二次函数的二次项系数m≠0，
∴m=2．
故答案为：C．
【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m的方程，解之得出m的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．
2．（2020·福州模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3
C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：A．
【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式，
3．（2019九上·港口期中）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），
所以
解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
故答案为：B.
【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可
4．（2018九上·彝良期末）二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，则b，c的值分别为（ ）
A．5，-1 B．-2，3 C．-2，-3 D．2，3
【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解 ：∵y=(x-1)2+2=x2-2x+3，
又∵二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，
∴ b=-2 ，c=3 ；
故应选 ：B .
【分析】将y=(x-1)2+2化为一般形式为 ；y=x2-2x+3，又∵二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，经过对比即可得出b，c的值。
5．（2016九上·宁海月考）如图为抛物线 的图像，A，B，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由OA=OC=1结合图象的特征可得抛物线 经过点（-1，0）、（0，1），再代入函数关系式即可得到结果.
由题意得抛物线 经过点（-1，0）、（0，1）
则可得 ，
故答案为：B.
【分析】由OA=OC=1可得出点A、C的坐标，再将这两点的坐标分别代入函数解析式可得出关于a、b的关系式，可求解。
6．（2019九上·杭州月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3
C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋k，
将（ 3，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y＝ （x＋1）2＋4＝ x2 2x＋3，
故答案为：C.
【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），从而设出抛物线的顶点式，再将（-3,0）与（0,3）分别代入得出关于a,k的二元一次方程组，求解得出a,k的值从而得出抛物线的解析式.
二、填空题
7．（2020九上·绍兴月考）将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，则h= ，k= ．
【答案】1；2
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵ =x2-2x+1+2=(x-1)2+2,
∴h=1,k=2.
故答案为：1,2.
【分析】由完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”可将二次函数的一般形式化为顶点式求解.
8．（2020九上·绍兴月考）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 .
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3，0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为： .
【分析】由对称轴公式可求解参数b，再代入（3，0）即可求解参数c.
9．（2019九上·邗江月考）已知抛物线 图象的顶点为 ，且过 ，则抛物线的关系式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象的顶点为 ，设抛物线
又过 代入抛物线解析式得，
由①②③解得， ，
∴抛物线的关系式为： ．
故答案为
【分析】由题知图象的顶点为 ，设抛物线 ，且过 ，将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．
10．（2020九上·新建期中）抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为 ．
【答案】y= x2﹣x+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，4），B（6，4）两点，
∴抛物线的对称轴是直线x= =2，
即顶点坐标为（2，0），
设y=ax2+bx+c=a（x-2）2+0，
把（-2，4）代入得：4=a（-2-2）2+0，
解得：a= ，
即y= （x-2）2+0= x2-x+1，
故答案为y= x2-x+1.
【分析】先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式.
11．（2020九上·杨浦期末）如果抛物线 经过原点，那么m= .
【答案】1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线 经过点（0，0），
∴ 1＋m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【分析】把原点坐标代入 中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
12．（2018九上·青海期中）二次函数 的图象与 轴交于 、 两点， 为它的顶点，则 ．
【答案】8
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】将二次函数y=﹣x2+2x+3化为y=﹣（x﹣3）（x+1），已知二次函数与x轴交于A、B两点，故x1=3，x2=﹣1．
将一般式化为顶点式为y=﹣（x﹣1）2+4，得出顶点坐标P为（1，4），故S△PAB= ×4×4=8．
【分析】将二次函数的解析式的右边利用因式分解的方法，分解为两个因式的积，得出其两根式，从而得出A，B两点的坐标，再将抛物线的解析式化为顶点式，得出P点的坐标，进而即可算出三角形的面积。
三、解答题
13．用配方法把下列二次函数化成顶点式： ．
【答案】解：
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】会应用配方法进行二次函数三种形式的转化，是学习本节后应掌握的基本知识体系．
14．（2020·顺德模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．
【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】把三个点的坐标分别代入解析式得三元一次方程组，解方程组便可得出a、b、c的值，进而得解析式．
15．（2019九上·潘集月考）已知抛物线的顶点坐标 且过点 ，求该抛物线的解析式．
【答案】解：由题意，设 ，
∵抛物线过点（3，0），
∴ ，
解得 ，
∴
即 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）2+2，然后把（3，0）代入求出a即可．
16．（2020九上·亳州月考）如图，已知点 ，点 ，抛物线 (h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且 ，求k的值．
【答案】解：
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB=4，
∵抛物线y=- （x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD= AB=2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h= =c+1，
∴2=- [c-（c+1）]2+k，
解得，k= ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.3 确定二次函数的表达式
一、单选题
1．（2020九上·合肥月考）已知二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图像经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
2．（2020·福州模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3
C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5
3．（2019九上·港口期中）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018九上·彝良期末）二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，则b，c的值分别为（ ）
A．5，-1 B．-2，3 C．-2，-3 D．2，3
5．（2016九上·宁海月考）如图为抛物线 的图像，A，B，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0
6．（2019九上·杭州月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3
C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
二、填空题
7．（2020九上·绍兴月考）将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，则h= ，k= ．
8．（2020九上·绍兴月考）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 .
9．（2019九上·邗江月考）已知抛物线 图象的顶点为 ，且过 ，则抛物线的关系式为 ．
10．（2020九上·新建期中）抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，4），B（6，4）两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为 ．
11．（2020九上·杨浦期末）如果抛物线 经过原点，那么m= .
12．（2018九上·青海期中）二次函数 的图象与 轴交于 、 两点， 为它的顶点，则 ．
三、解答题
13．用配方法把下列二次函数化成顶点式： ．
14．（2020·顺德模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．
15．（2019九上·潘集月考）已知抛物线的顶点坐标 且过点 ，求该抛物线的解析式．
16．（2020九上·亳州月考）如图，已知点 ，点 ，抛物线 (h，k均为常数)与线段AB交于C，D两点，且 ，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，
∴将（0，0）代入解析式，得：m（m-2）=0，
解得：m=0或m=2，
又∵二次函数的二次项系数m≠0，
∴m=2．
故答案为：C．
【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m的方程，解之得出m的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：A．
【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式，
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，图象与y轴交于负半轴，故c为负数，又四个选项中，B、C的c为-3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，-3），（3，0），
所以
解得a=1，b=-2，c=-3，
这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
故答案为：B.
【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可
4．【答案】B
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解 ：∵y=(x-1)2+2=x2-2x+3，
又∵二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，
∴ b=-2 ，c=3 ；
故应选 ：B .
【分析】将y=(x-1)2+2化为一般形式为 ；y=x2-2x+3，又∵二次函数y=x2+bx+c，经过配方可化为y=(x-1)2+2，经过对比即可得出b，c的值。
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由OA=OC=1结合图象的特征可得抛物线 经过点（-1，0）、（0，1），再代入函数关系式即可得到结果.
由题意得抛物线 经过点（-1，0）、（0，1）
则可得 ，
故答案为：B.
【分析】由OA=OC=1可得出点A、C的坐标，再将这两点的坐标分别代入函数解析式可得出关于a、b的关系式，可求解。
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋k，
将（ 3，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y＝ （x＋1）2＋4＝ x2 2x＋3，
故答案为：C.
【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），从而设出抛物线的顶点式，再将（-3,0）与（0,3）分别代入得出关于a,k的二元一次方程组，求解得出a,k的值从而得出抛物线的解析式.
7．【答案】1；2
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵ =x2-2x+1+2=(x-1)2+2,
∴h=1,k=2.
故答案为：1,2.
【分析】由完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”可将二次函数的一般形式化为顶点式求解.
8．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3，0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为： .
【分析】由对称轴公式可求解参数b，再代入（3，0）即可求解参数c.
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：图象的顶点为 ，设抛物线
又过 代入抛物线解析式得，
由①②③解得， ，
∴抛物线的关系式为： ．
故答案为
【分析】由题知图象的顶点为 ，设抛物线 ，且过 ，将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．
10．【答案】y= x2﹣x+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，4），B（6，4）两点，
∴抛物线的对称轴是直线x= =2，
即顶点坐标为（2，0），
设y=ax2+bx+c=a（x-2）2+0，
把（-2，4）代入得：4=a（-2-2）2+0，
解得：a= ，
即y= （x-2）2+0= x2-x+1，
故答案为y= x2-x+1.
【分析】先根据点A、B的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A点的坐标代入求出a，即可得出函数解析式.
11．【答案】1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线 经过点（0，0），
∴ 1＋m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【分析】把原点坐标代入 中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
12．【答案】8
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】将二次函数y=﹣x2+2x+3化为y=﹣（x﹣3）（x+1），已知二次函数与x轴交于A、B两点，故x1=3，x2=﹣1．
将一般式化为顶点式为y=﹣（x﹣1）2+4，得出顶点坐标P为（1，4），故S△PAB= ×4×4=8．
【分析】将二次函数的解析式的右边利用因式分解的方法，分解为两个因式的积，得出其两根式，从而得出A，B两点的坐标，再将抛物线的解析式化为顶点式，得出P点的坐标，进而即可算出三角形的面积。
13．【答案】解：
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】会应用配方法进行二次函数三种形式的转化，是学习本节后应掌握的基本知识体系．
14．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】把三个点的坐标分别代入解析式得三元一次方程组，解方程组便可得出a、b、c的值，进而得解析式．
15．【答案】解：由题意，设 ，
∵抛物线过点（3，0），
∴ ，
解得 ，
∴
即 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x-1）2+2，然后把（3，0）代入求出a即可．
16．【答案】解：
∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB=4，
∵抛物线y=- （x-h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD= AB=2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h= =c+1，
∴2=- [c-（c+1）]2+k，
解得，k= ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
1 / 1
