新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 同步测试
一、单选题
1．（2019九上·天水期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（北师大版数学九年级上册第四章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测）如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
5．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD D．以上都不对
6．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．AC2=AD AB D．=AD BD
7．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
C．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
8．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）下列4组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（ ）
A．AB=5，BC=4，∠A=45°；DE=10，EF=8，∠D=45°
B．∠A=45°，∠B=55°；∠D=45°，∠F=75°
C．BC=4，AC=6，AB=9；DE=18，EF=8，DF=12
D．AB=6，BC=5，∠B=40°；DE=5，EF=4，∠E=40°
10．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
11．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△AED与△ACB B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE D．△AEC与△DAC
12．（2017九下·海宁开学考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP AC D．
13．（2016九上·竞秀期中）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．= B．= C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
14．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．5 B．4 C．3 D．2
15．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP AB；④AB CP=AP CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
二、填空题
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ．
18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
19．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是 ．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．
20．（2016·娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
三、解答题
21．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△ADE．
22．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．
23．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．
24．已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．
25．（2016九上·通州期末）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；
B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；
C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条，
故选C.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：∵∠BDO=∠BEA= ，∠DBO=∠EBA，
∴△BDO∽△BEA，
∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO= ，
∴△BDO∽△CEO，
∵∠CEO=∠CDA= ，∠ECO=∠DCA，
∴△CEO∽△CDA，
∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．
故选：C．
分析：根据∠BDO=∠BEA= ，∠DBO=∠EBA，证得△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可知．此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴
，
即 ，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选C．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠ADC=∠BAC，∠ABC=∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
故选B．
【分析】已知∠ADC=∠BAC，根据图示可知∠ABC和∠DAC为公共角，即可判断△ABC∽△DAC，然后对其它选项进行分析，均不具备三角形相似的条件．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： = ，
∴AC2=AD AB．
故选C．
分析：题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是 = ，根据比例性质即可推出答案．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误；
B、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误；
C、两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，因为不确定边长为5和边长为10的边是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、两边和一边的中线均对应成比例，即可判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，因此可判定三角形相似，正确，
故选D．
【分析】分别根据相似三角形的判定判断A、B、C、D是否可以证明相似三角形，即可判断A、B、C、D选项的正确性，即可解题．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①∵∠BDO=90°，∠BEA=90°
∴∠BDO=∠BEA
∴△BOD∽△BAE
②∵∠BDO=90°，∠CDA=90°
∴∠BDO=∠CDA
∴△BOD∽△CAD
③∵∠BDO=90°，∠CEO=90
∴∠BDO=∠CEO
∴△BOD∽△COE
∴有3个
故选B．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可．
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：
A. = = ，夹角是∠B和∠E，两角不一定相等，故本选项错误；
B.应符合∠A=∠D=45°，∠B和∠E相等才能证两三角形相似，故本选项错误；
C.根据 = = = ，得到两三角形相似，故本选项正确；
D.∠B=∠E=40°，但夹此角的两边不成比例，故本选项错误；
故选C．
分析：根据已知条件推出证三角形相似的条件，根据相似三角形的判定判断即可．
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE．
故选B．
分析：根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵斜边中线长为斜边的一半，
∴AD=BD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠BAE+∠BAD=90°，∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠C=∠BAE，
∵∠E=∠E，
∴△BAE∽△ACE．
故选C
【分析】根据等腰三角形底角相等的性质可得∠C=∠DAC，易证∠BAE=∠DAC，即可证明∠C=∠BAE，∴即可证明△AEB与△ACD．
12．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
13．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选B．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
14．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，
∵BF∥CD，
∴△EFB∽△EDC，
∵BE∥AD，
∴△EFB∽△DFA，
∴△EDC∽△DFA．
故选B．
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由BF∥CD得到△EFB∽△EDC，由BE∥AD得到△EFB∽△DFA，根据相似的传递性得到△EDC∽△DFA．
15．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当∠ACP=∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC=∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AC2=AP AB，
即AC：AB=AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AB CP=AP CB，即 ，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
16．【答案】不唯一，如∠ADE=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．
17．【答案】 ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
18．【答案】不唯一，如∠ADE=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．
19．【答案】①②
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）
=120°﹣60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴说∠BDO=∠CEO错误，
∴△BOD∽△COE错误，
∴③错误；
故答案为：①②．
【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．
20．【答案】AB∥DE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
21．【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC． 又∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“两角法”来证：△ABC∽△ADE．
22．【答案】解答：∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴Rt△ADC∽Rt△CDB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，根据相似三角形的判定推出即可．
23．【答案】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出对应角相等，进而可证明△ABC∽△BCD．
24．【答案】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出△ABC∽△ACD；
25．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
∵∠AED=∠C，
∴△ABC∽△ADE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】要证△ABC∽△ADE，已知∠AED=∠C，根据已知可知还需证明一组角相等，再由∠1=∠2，去证明∠DAE=∠BAC，即可得证。
1 / 1新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 同步测试
一、单选题
1．（2019九上·天水期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；
B、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误；
C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是斜边上一定点，过点P作直线与一直角边交于点Q使图中出现两个相似三角形，这样的点Q有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条，
故选C.
3．（北师大版数学九年级上册第四章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测）如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：∵∠BDO=∠BEA= ，∠DBO=∠EBA，
∴△BDO∽△BEA，
∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO= ，
∴△BDO∽△CEO，
∵∠CEO=∠CDA= ，∠ECO=∠DCA，
∴△CEO∽△CDA，
∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．
故选：C．
分析：根据∠BDO=∠BEA= ，∠DBO=∠EBA，证得△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可知．此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等．
4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴
，
即 ，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选C．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．
5．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD D．以上都不对
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠ADC=∠BAC，∠ABC=∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
故选B．
【分析】已知∠ADC=∠BAC，根据图示可知∠ABC和∠DAC为公共角，即可判断△ABC∽△DAC，然后对其它选项进行分析，均不具备三角形相似的条件．
6．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A． ＝ B． ＝
C．AC2=AD AB D．=AD BD
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： = ，
∴AC2=AD AB．
故选C．
分析：题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是 = ，根据比例性质即可推出答案．
7．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
C．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误；
B、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误；
C、两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形，因为不确定边长为5和边长为10的边是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、两边和一边的中线均对应成比例，即可判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，因此可判定三角形相似，正确，
故选D．
【分析】分别根据相似三角形的判定判断A、B、C、D是否可以证明相似三角形，即可判断A、B、C、D选项的正确性，即可解题．
8．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】①∵∠BDO=90°，∠BEA=90°
∴∠BDO=∠BEA
∴△BOD∽△BAE
②∵∠BDO=90°，∠CDA=90°
∴∠BDO=∠CDA
∴△BOD∽△CAD
③∵∠BDO=90°，∠CEO=90
∴∠BDO=∠CEO
∴△BOD∽△COE
∴有3个
故选B．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可．
9．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）下列4组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（ ）
A．AB=5，BC=4，∠A=45°；DE=10，EF=8，∠D=45°
B．∠A=45°，∠B=55°；∠D=45°，∠F=75°
C．BC=4，AC=6，AB=9；DE=18，EF=8，DF=12
D．AB=6，BC=5，∠B=40°；DE=5，EF=4，∠E=40°
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：
A. = = ，夹角是∠B和∠E，两角不一定相等，故本选项错误；
B.应符合∠A=∠D=45°，∠B和∠E相等才能证两三角形相似，故本选项错误；
C.根据 = = = ，得到两三角形相似，故本选项正确；
D.∠B=∠E=40°，但夹此角的两边不成比例，故本选项错误；
故选C．
分析：根据已知条件推出证三角形相似的条件，根据相似三角形的判定判断即可．
10．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE．
故选B．
分析：根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
11．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△AED与△ACB B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE D．△AEC与△DAC
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵斜边中线长为斜边的一半，
∴AD=BD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠BAE+∠BAD=90°，∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∴∠C=∠BAE，
∵∠E=∠E，
∴△BAE∽△ACE．
故选C
【分析】根据等腰三角形底角相等的性质可得∠C=∠DAC，易证∠BAE=∠DAC，即可证明∠C=∠BAE，∴即可证明△AEB与△ACD．
12．（2017九下·海宁开学考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP AC D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
13．（2016九上·竞秀期中）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．= B．= C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选B．
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
14．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（ ）对．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，
∵BF∥CD，
∴△EFB∽△EDC，
∵BE∥AD，
∴△EFB∽△DFA，
∴△EDC∽△DFA．
故选B．
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由BF∥CD得到△EFB∽△EDC，由BE∥AD得到△EFB∽△DFA，根据相似的传递性得到△EDC∽△DFA．
15．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP AB；④AB CP=AP CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当∠ACP=∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC=∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AC2=AP AB，
即AC：AB=AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AB CP=AP CB，即 ，
而∠PAC=∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
二、填空题
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
【答案】不唯一，如∠ADE=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．
17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ．
【答案】 ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
【答案】不唯一，如∠ADE=∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．
19．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是 ．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．
【答案】①②
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）
=120°﹣60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴说∠BDO=∠CEO错误，
∴△BOD∽△COE错误，
∴③错误；
故答案为：①②．
【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．
20．（2016·娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】AB∥DE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题
21．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC． 又∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“两角法”来证：△ABC∽△ADE．
22．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.2相似三角形的判定 同步练习）已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．
【答案】解答：∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴Rt△ADC∽Rt△CDB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，根据相似三角形的判定推出即可．
23．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．
【答案】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出对应角相等，进而可证明△ABC∽△BCD．
24．已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．
【答案】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出△ABC∽△ACD；
25．（2016九上·通州期末）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
∵∠AED=∠C，
∴△ABC∽△ADE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】要证△ABC∽△ADE，已知∠AED=∠C，根据已知可知还需证明一组角相等，再由∠1=∠2，去证明∠DAE=∠BAC，即可得证。
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