人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.3 位似 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·宜兴期中）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
2．（2020九上·二连浩特期中）下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020九上·射洪期中）已知 ，任取一点 ，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得 ，则下列说法正确的个数是（ ）
① 与 是位似图形；② 与 是相似图形；③ 与 的周长比为 ；④ 与 的面积比为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
5．（北师大版数学九年级上册第四章第8节图形的位似同步检测）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点 ， ， ．下列说法正确的是（ ）
A．△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△ 与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△ 与△ABC不是相似图形
二、填空题
6．（2020九上·长春月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ．
7．（2020·郴州）在平面直角坐标系中，将 以点 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到 ．已知 ，则点 的坐标是 ．
8．（2020·德州）在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为 ．若点 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为 ．
9．（2020九上·长春月考）已知：如图， ， ，以原点O为位似中心，相似比 ，把 在点O另一侧缩小，则点E的对应点 的坐标为 ．
10．（2020九上·德惠月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ．
11．（2020九上·四川月考）如图，平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，若点 和点 的坐标分别为 ， ，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
三、作图题
12．（2020九上·德惠月考）如图，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、
B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1 ，点C1的坐标是
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1
（3）求四边形 的面积.
13．（2020九上·二连浩特期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
14．（2020九上·昌黎期中）如图，在 网格图中，每个小正方形边长均为 ，点 和四边形 的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）以 为位似中心，在网格图中作四边形 和四边形 位似，且位似比为 ；
（2）根据（1）填空： ．
四、综合题
15．（2018·山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得 ．∴ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：
（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
16．（2020九上·惠山月考）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 .
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比是0.5，
∴点E对应的 是OE的中点，即 ，
或者是这个 关于原点O的对称点， .
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质，得到点E对应的 是OE的中点或者是这个点关于原点的对称点.
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故答案为：D．
【分析】根据位似变换的概念判断即可．
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据位似图形的性质得：① 与 是位似图形，② 与 是相似图形，
故①②符合题意；
∵ 的三边长分别为 的三边长的 ，
∴ 与 的周长比为 ，故③不符合题意；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ 与 的面积比为 ，
故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的性质得△ABC与△DEF是位似图形，△ABC与△DEF是相似图形，再根据位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方进行逐一解答即可.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；位似变换；图形的旋转
【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
5．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点 ， ， 的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0，可知△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．
6．【答案】(4，2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8 ，4 ），即（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
7．【答案】 ．
【知识点】点的坐标；相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是： ，
即A1 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
8．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为 ( )，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
9．【答案】(3，-1)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据题意，可得 ，
且点 在第四象限；
又由E的坐标为 ，
则对应点 的坐标为 ．
故答案是：
【分析】根据题意，可得 ，且点 在第四象限，又由 的坐标，计算可得答案．
10．【答案】(3，2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG以原定Q为位似中心，相似比为
∴=，
∴，
∴OB=3，CD=2
∴点C的坐标为（3，2）
【分析】根据位似图形的含义和性质列出比例式，求出OB和CD，求出点C的坐标即可。
11．【答案】 或
【知识点】点的坐标；位似变换
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，点 和点 的坐标分别为 ， ，
∴ ， ， ，（1）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点，
如图所示：连接 ，交 轴于点 ，
点 即为两个正方形的位似中心，
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
故 ，
解得： ，
故 ；
当 时，即 ，解得 ，即点坐标为 ， ，
两个正方形的位似中心的坐标是： ， ．（2）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点，
如图所示：连接 ， ， ， 并延长交于点 ，
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
故 ，
解得： ，
故 ；
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
，
故 ，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得： ，
故 ，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是： ， 或 ．
故答案为： ， 或 ．
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点；另一种是点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点．
12．【答案】（1）（2，-2）
（2）解：如图所示，
以B为位似中心，画出 ，使 与 位似，且位似比为2：1，
（3）解：四边形 的面积是
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，画出 向下平移4个单位长度得到的 ，点 的坐标是(2， -2)；
【分析】（1）根据题意，作出三角形ABC三个顶点平移后的点，连接组成图形即可；
（2）以点B为位似中心，作出位似图形，求出点的坐标即可；
（3）根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和，求出答案即可。
13．【答案】（1）解：
（2）解：∵顶点都在格点上，B′C′=2 ，BC= ，
∴BC：B′C′=1：2
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似中心O是每一组对应点所连直线的交点，它们的顶点都在小正方形的格点上．则△ABC与△A′B′C′的相似比为对应边之比．
14．【答案】（1）解：如下图所示， 四边形 即为所求.
（2）1：1
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质以及位似比，作出图形即可；
（2）根据作出的图形，即可得到线段之间的比例。
15．【答案】（1）解：四边形AXYZ是菱形．证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形．∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY
（3）D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．理由如下：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由ZY∥AC，YX∥ZA，得出四边形AXYZ是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由四边形AXYZ是平行四边形及ZA=YZ，得出结论：平行四边形AXYZ是菱形；
（2）根据等边对等角，由CD=CB，得出∠1=∠3，由二直线平行同位角相等得出∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出YB=YZ，根据菱形的性质得出∴AX=XY=YZ，从而得出结论；
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，运用的位似变换。
16．【答案】（1）；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点 ，用同样的方法找到点 和点 ，就得到缩小后的 ；
（3）
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是 的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是 的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到 的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作 的矩形对角线BD， 的矩形对角线CE，
， ，则直线BD与CE的交点F就是 的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的 的高.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是 ，
，
故答案是： ，4；
（ 3 ）根据（2）中的做法，点 就是OP的中点，根据中点坐标公式得 ，
故答案是： ；
【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成 ；
（3）根据（2）的做法得到，点 就是QP的中点，用中点坐标公式求出点 的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作 ， ，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.
1 / 1人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.3 位似 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·宜兴期中）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵相似比是0.5，
∴点E对应的 是OE的中点，即 ，
或者是这个 关于原点O的对称点， .
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的性质，得到点E对应的 是OE的中点或者是这个点关于原点的对称点.
2．（2020九上·二连浩特期中）下列相似图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故答案为：D．
【分析】根据位似变换的概念判断即可．
3．（2020九上·射洪期中）已知 ，任取一点 ，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得 ，则下列说法正确的个数是（ ）
① 与 是位似图形；② 与 是相似图形；③ 与 的周长比为 ；④ 与 的面积比为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据位似图形的性质得：① 与 是位似图形，② 与 是相似图形，
故①②符合题意；
∵ 的三边长分别为 的三边长的 ，
∴ 与 的周长比为 ，故③不符合题意；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ 与 的面积比为 ，
故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据位似图形的性质得△ABC与△DEF是位似图形，△ABC与△DEF是相似图形，再根据位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方进行逐一解答即可.
4．观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】A
【知识点】轴对称图形；位似变换；图形的旋转
【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
5．（北师大版数学九年级上册第四章第8节图形的位似同步检测）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点 ， ， ．下列说法正确的是（ ）
A．△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B．△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C．△ 与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D．△ 与△ABC不是相似图形
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点 ， ， 的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x，y=- x，y=0，可知△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．
二、填空题
6．（2020九上·长春月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ．
【答案】(4，2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8 ，4 ），即（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
7．（2020·郴州）在平面直角坐标系中，将 以点 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到 ．已知 ，则点 的坐标是 ．
【答案】 ．
【知识点】点的坐标；相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是： ，
即A1 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
8．（2020·德州）在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为 ．若点 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；位似变换
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为 ( )，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ．
故答案为： ．
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
9．（2020九上·长春月考）已知：如图， ， ，以原点O为位似中心，相似比 ，把 在点O另一侧缩小，则点E的对应点 的坐标为 ．
【答案】(3，-1)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据题意，可得 ，
且点 在第四象限；
又由E的坐标为 ，
则对应点 的坐标为 ．
故答案是：
【分析】根据题意，可得 ，且点 在第四象限，又由 的坐标，计算可得答案．
10．（2020九上·德惠月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ．
【答案】(3，2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG以原定Q为位似中心，相似比为
∴=，
∴，
∴OB=3，CD=2
∴点C的坐标为（3，2）
【分析】根据位似图形的含义和性质列出比例式，求出OB和CD，求出点C的坐标即可。
11．（2020九上·四川月考）如图，平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，若点 和点 的坐标分别为 ， ，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】点的坐标；位似变换
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，点 和点 的坐标分别为 ， ，
∴ ， ， ，（1）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点，
如图所示：连接 ，交 轴于点 ，
点 即为两个正方形的位似中心，
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
故 ，
解得： ，
故 ；
当 时，即 ，解得 ，即点坐标为 ， ，
两个正方形的位似中心的坐标是： ， ．（2）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点，
如图所示：连接 ， ， ， 并延长交于点 ，
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
故 ，
解得： ，
故 ；
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
，
故 ，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得： ，
故 ，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是： ， 或 ．
故答案为： ， 或 ．
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点；另一种是点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点．
三、作图题
12．（2020九上·德惠月考）如图，已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、
B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1 ，点C1的坐标是
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1
（3）求四边形 的面积.
【答案】（1）（2，-2）
（2）解：如图所示，
以B为位似中心，画出 ，使 与 位似，且位似比为2：1，
（3）解：四边形 的面积是
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图所示，画出 向下平移4个单位长度得到的 ，点 的坐标是(2， -2)；
【分析】（1）根据题意，作出三角形ABC三个顶点平移后的点，连接组成图形即可；
（2）以点B为位似中心，作出位似图形，求出点的坐标即可；
（3）根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和，求出答案即可。
13．（2020九上·二连浩特期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
【答案】（1）解：
（2）解：∵顶点都在格点上，B′C′=2 ，BC= ，
∴BC：B′C′=1：2
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似中心O是每一组对应点所连直线的交点，它们的顶点都在小正方形的格点上．则△ABC与△A′B′C′的相似比为对应边之比．
14．（2020九上·昌黎期中）如图，在 网格图中，每个小正方形边长均为 ，点 和四边形 的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）以 为位似中心，在网格图中作四边形 和四边形 位似，且位似比为 ；
（2）根据（1）填空： ．
【答案】（1）解：如下图所示， 四边形 即为所求.
（2）1：1
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质以及位似比，作出图形即可；
（2）根据作出的图形，即可得到线段之间的比例。
四、综合题
15．（2018·山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ ．
同理可得 ．∴ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：
（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 ．
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】（1）解：四边形AXYZ是菱形．证明：∵ZY∥AC，YX∥ZA，∴四边形AXYZ是平行四边形．∵ZA=YZ，
∴平行四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵CD=CB，
∴∠1=∠3．
∵ZY∥AC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴YB=YZ．
∵四边形AXYZ是菱形，
∴AX=XY=YZ．
∴AX=BY=XY
（3）D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，此时四边形BA'Z'Y'∽四边形BAZY，所以该变换形式是位似变换．故答案是：D（或位似）．
【分析】（1）四边形AXYZ是菱形．理由如下：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由ZY∥AC，YX∥ZA，得出四边形AXYZ是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由四边形AXYZ是平行四边形及ZA=YZ，得出结论：平行四边形AXYZ是菱形；
（2）根据等边对等角，由CD=CB，得出∠1=∠3，由二直线平行同位角相等得出∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出YB=YZ，根据菱形的性质得出∴AX=XY=YZ，从而得出结论；
（3）通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，运用的位似变换。
16．（2020九上·惠山月考）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 .
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
【答案】（1）；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点 ，用同样的方法找到点 和点 ，就得到缩小后的 ；
（3）
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是 的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是 的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到 的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作 的矩形对角线BD， 的矩形对角线CE，
， ，则直线BD与CE的交点F就是 的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的 的高.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是 ，
，
故答案是： ，4；
（ 3 ）根据（2）中的做法，点 就是OP的中点，根据中点坐标公式得 ，
故答案是： ；
【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成 ；
（3）根据（2）的做法得到，点 就是QP的中点，用中点坐标公式求出点 的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作 ， ，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.
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