初中数学人教版八年级上册 第十一章 11.3多边形及其内角和
一、单选题
1．（2020八下·合肥月考）八边形的内角和、外角和共多少度（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八下·甘州期中）如图，在一个三角形的纸片（ ）中， ，将这个纸片沿直线 剪去一个角后变成一个四边形 ，则图中 的度数为（ ）
A．180° B．90 C．270° D．315°
3．（2020八下·丽水期中）当多边形的边数增加1时，它的内角和会（ ）
A．增加160° B．增加180° C．增加270° D．增加360°
4．（2020八下·温州期中）如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．（2020八下·衢州期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（2020八上·椒江期末）如图，小峰从点O出发，前进5m后向右转45 ，再前进5m后又向右转45，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程是（ ）.
A．10米 B．20 米 C．40米 D．80米
7．（2019八上·昭阳开学考）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
8．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=60°，则∠1+∠2=（ ）
A．80° B．90° C．120° D．180°
9．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，DF，CF分别平分∠EDC和∠BCD，则∠F的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
二、填空题
10．（2020八上·新乡期末）如图，五边形 的每一个内角都相等，则外角 .
11．（2019八上·海安期中）一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 .
12．（2020八下·合肥月考）如图， 是互相垂直的小路，它们用 连接，则 .
13．（2020八下·温州期中）已知一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形为 边形
14．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
15．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5= ；②a6-a5= ；③an+1-an= (n≥4，用含n的代数式表示).
三、解答题
16．（2019八上·芜湖期中）如果两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的内角之和为1 440°，请你确定这两个多边形的边数．
17．（2018八上·寮步月考）一个多边形的内角和比它外角和的3少180°，求这个多边形的边数.
18．（2020八下·衢州期中）如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，已知EF⊥BC，求证：EF平分∠AED。
19．（2019八上·芜湖期中）如图所示，六边形ABCDEF中， ， ， ， ， ，求 的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的内角和为（8 2） 180°＝1080°；
外角和为360°，
1080°＋360°＝1440°．
故答案为：B．
【分析】n边形的内角和是（n 2） 180°，已知多边形的边数，代入多边形的内角和公式就可以求出内角和；任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关；再把它们相加即可求解．
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵
∴
∴ = = =
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和可得∠EDC+∠DEC=90°，由 = = ，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设原多边形边数为n，则n变形的内角和为（n-2）·180°，
当边数增加1，则新多边形的内角和为（n+1-2）·180°，
（n+1-2）·180°-（n-2）·180°=180°，
∴新多边形的内角和增加180°.
故选B.
【分析】设原多边形边数为n，可得新多边形的边数为n+1，根据多边形内角和定理分别求出内角和，然后求出其差值即可.
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210° ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，
∵五边形OAGFED的内角和=（5-2）·180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=30°.
故答案为A.
【分析】由外角和内角的关系求出∠1+∠2+∠3+∠4=510°，利用多边形内角和公式求出五边形OAGFED的内角和=540°，即得∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，从而求出结论.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：每块的白色皮块是六边形，
∴内角和=（6-2）×180°=720°.
故答案为：D.
【分析】首先确定每块白色皮块是五边形，然后根据多边形的内角和公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可知，小峰从点O出发，到他第一次回到出发点O时，所走的路线是一个正多边形的周长，
这个正多边形的外角是45° ，
∴正多边形的边数==8，
∴这个正多边形的周长=5×8=40米，
即小峰一共走的路程是40米.
故答案为：C.
【分析】首先根据题意，判断小峰在此过程所走的路线是个多边形的周长，根据每一个外角都相等（45°）判断出为正多边形，再根据多边形外角和是360°进而求出边数. 进一步求出周长即可.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解答：如图：
，
∵正方形、等边三角形
∴∠4=90°，∠5=∠6=60°，
∵∠3=60°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°（任何多边形的外角和为360 ），
∴∠1+∠2=360°-∠3-∠4-∠5-∠6=360°-60°-90°-60°-60°=90°．
分析：本题考查了多边形内角与外角，利用了正方形的性质、等边三角形的性质、六个角的和是360°．
9．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解答：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，
∴2∠BCD+∠CDE=540°-140°=400°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点F，
∴∠FDC+∠FCD= （∠BCD+∠CDE）=100°，
∴∠F=80°．
分析：此题解出∠BCD+∠CDE和∠FDC+∠FCD是解题的关键；解此类题时，要求出五边形中∠BCD，∠CDE的度数，缺乏条件，即可将求∠BCD，∠CDE的度数转换求∠BCD+∠CDE的问题．
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】360°÷5=72°.
故外角∠CBF等于72°.
故答案为： .
【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解.
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2） 180°=2×360°，
解得：n=6.
故答案为：6.
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和等于一个三角形的外角和的2倍，列出方程，求出n值即可.
12．【答案】450°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：过点A作AB的垂线，过点E作DE的垂线，两线相交于点Q，
则∠BAQ=∠DEQ=90°，
∵DE⊥AB，QA⊥AB，
∴DE∥QA，
∴∠AQE=180°-∠DEQ=90°，
∵六边形ABCDEQ的内角和为：（6-2） 180°=720°，
∴ =720°-90°×3=450°．
故答案为：450°．
【分析】如图，作出六边形，根据“n边形的内角和是（n-2） 180°”求出内角和，再求∠ 的度数．
13．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则n=360°÷30°=12.
故答案为：12.
【分析】由已知一个多边形的每个外角都是30°，用360°除以每一个外角的度数即可。
14．【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
15．【答案】5；4；n-1
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】①a5= ；
②a6-a5= ；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的对角线的条数为n（n-3）÷2．
16．【答案】解：设边数较少的多边形的边数为n，则 (n－2)·180＋(2n－2)·180＝1 440. 解得n＝4，2n＝8. 答：这两个多边形的边数分别为4，8.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设边数较少的多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和本题的等量关系“两个多边形的内角之和为1440°”列方程求解即可．
17．【答案】解：设多边形的边数为n，依题意得
（n－2）.180°＝ 3×360°－180°
解得n＝7
答：这个多边形的边数是7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】先由多边形的外角和可得到多边形的内角和，再由多边形的内角和可得到多边形的边数。
18．【答案】证明：∵五边形内角和为(5-2)×180°=540°.且五边形ABCDE的5个内角都相等，
∴∠A=∠B=∠AED= =108°
∵EF⊥BC，
∴∠3=90°
又∵四边形的内角和为360°，
∴在四边形ABFE中，∠1=360°-(108°+108°+90°) =54°
又∵∠AED=108°，
∴∠1=∠2=54°，
∴EF平分∠AED
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用n边形的内角和公式：（n-2）×180°，求出五边形的内角和，再根据五边形ABCDE的每个内角都相等，求出每一个内角的度数，利用垂直的定义可得到∠EFC=90°，然后利用四边形的内角和等于360°，求出∠2的度数，即可求出∠1的度数，由此可证得∠1=∠2，即可证得结论。
19．【答案】解：连接AD
在四边形ABCD中， ．
， ．
又 ， ．
， ．
.
．
在六边形ABCDEF中， ，
又 ， ， ，
．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】连接AD，利用四边形的内角和以及 ， 可推出 ，再根据 与等角替换得出 ，然后利用六边形的内角和即可求出 的度数．
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十一章 11.3多边形及其内角和
一、单选题
1．（2020八下·合肥月考）八边形的内角和、外角和共多少度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：八边形的内角和为（8 2） 180°＝1080°；
外角和为360°，
1080°＋360°＝1440°．
故答案为：B．
【分析】n边形的内角和是（n 2） 180°，已知多边形的边数，代入多边形的内角和公式就可以求出内角和；任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关；再把它们相加即可求解．
2．（2020八下·甘州期中）如图，在一个三角形的纸片（ ）中， ，将这个纸片沿直线 剪去一个角后变成一个四边形 ，则图中 的度数为（ ）
A．180° B．90 C．270° D．315°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵
∴
∴ = = =
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和可得∠EDC+∠DEC=90°，由 = = ，据此解答即可.
3．（2020八下·丽水期中）当多边形的边数增加1时，它的内角和会（ ）
A．增加160° B．增加180° C．增加270° D．增加360°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设原多边形边数为n，则n变形的内角和为（n-2）·180°，
当边数增加1，则新多边形的内角和为（n+1-2）·180°，
（n+1-2）·180°-（n-2）·180°=180°，
∴新多边形的内角和增加180°.
故选B.
【分析】设原多边形边数为n，可得新多边形的边数为n+1，根据多边形内角和定理分别求出内角和，然后求出其差值即可.
4．（2020八下·温州期中）如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210° ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=510°，
∵五边形OAGFED的内角和=（5-2）·180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=30°.
故答案为A.
【分析】由外角和内角的关系求出∠1+∠2+∠3+∠4=510°，利用多边形内角和公式求出五边形OAGFED的内角和=540°，即得∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，从而求出结论.
5．（2020八下·衢州期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：每块的白色皮块是六边形，
∴内角和=（6-2）×180°=720°.
故答案为：D.
【分析】首先确定每块白色皮块是五边形，然后根据多边形的内角和公式计算即可.
6．（2020八上·椒江期末）如图，小峰从点O出发，前进5m后向右转45 ，再前进5m后又向右转45，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程是（ ）.
A．10米 B．20 米 C．40米 D．80米
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可知，小峰从点O出发，到他第一次回到出发点O时，所走的路线是一个正多边形的周长，
这个正多边形的外角是45° ，
∴正多边形的边数==8，
∴这个正多边形的周长=5×8=40米，
即小峰一共走的路程是40米.
故答案为：C.
【分析】首先根据题意，判断小峰在此过程所走的路线是个多边形的周长，根据每一个外角都相等（45°）判断出为正多边形，再根据多边形外角和是360°进而求出边数. 进一步求出周长即可.
7．（2019八上·昭阳开学考）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。
8．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=60°，则∠1+∠2=（ ）
A．80° B．90° C．120° D．180°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解答：如图：
，
∵正方形、等边三角形
∴∠4=90°，∠5=∠6=60°，
∵∠3=60°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°（任何多边形的外角和为360 ），
∴∠1+∠2=360°-∠3-∠4-∠5-∠6=360°-60°-90°-60°-60°=90°．
分析：本题考查了多边形内角与外角，利用了正方形的性质、等边三角形的性质、六个角的和是360°．
9．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，DF，CF分别平分∠EDC和∠BCD，则∠F的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解答：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=∠EDC+∠BCD+140°，
∴2∠BCD+∠CDE=540°-140°=400°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点F，
∴∠FDC+∠FCD= （∠BCD+∠CDE）=100°，
∴∠F=80°．
分析：此题解出∠BCD+∠CDE和∠FDC+∠FCD是解题的关键；解此类题时，要求出五边形中∠BCD，∠CDE的度数，缺乏条件，即可将求∠BCD，∠CDE的度数转换求∠BCD+∠CDE的问题．
二、填空题
10．（2020八上·新乡期末）如图，五边形 的每一个内角都相等，则外角 .
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】360°÷5=72°.
故外角∠CBF等于72°.
故答案为： .
【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解.
11．（2019八上·海安期中）一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 .
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2） 180°=2×360°，
解得：n=6.
故答案为：6.
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和等于一个三角形的外角和的2倍，列出方程，求出n值即可.
12．（2020八下·合肥月考）如图， 是互相垂直的小路，它们用 连接，则 .
【答案】450°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：过点A作AB的垂线，过点E作DE的垂线，两线相交于点Q，
则∠BAQ=∠DEQ=90°，
∵DE⊥AB，QA⊥AB，
∴DE∥QA，
∴∠AQE=180°-∠DEQ=90°，
∵六边形ABCDEQ的内角和为：（6-2） 180°=720°，
∴ =720°-90°×3=450°．
故答案为：450°．
【分析】如图，作出六边形，根据“n边形的内角和是（n-2） 180°”求出内角和，再求∠ 的度数．
13．（2020八下·温州期中）已知一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形为 边形
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则n=360°÷30°=12.
故答案为：12.
【分析】由已知一个多边形的每个外角都是30°，用360°除以每一个外角的度数即可。
14．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
15．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5= ；②a6-a5= ；③an+1-an= (n≥4，用含n的代数式表示).
【答案】5；4；n-1
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】①a5= ；
②a6-a5= ；
③an+1-an=
.
故答案为：① 5；② 4；③ n-1
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的对角线的条数为n（n-3）÷2．
三、解答题
16．（2019八上·芜湖期中）如果两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的内角之和为1 440°，请你确定这两个多边形的边数．
【答案】解：设边数较少的多边形的边数为n，则 (n－2)·180＋(2n－2)·180＝1 440. 解得n＝4，2n＝8. 答：这两个多边形的边数分别为4，8.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设边数较少的多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和本题的等量关系“两个多边形的内角之和为1440°”列方程求解即可．
17．（2018八上·寮步月考）一个多边形的内角和比它外角和的3少180°，求这个多边形的边数.
【答案】解：设多边形的边数为n，依题意得
（n－2）.180°＝ 3×360°－180°
解得n＝7
答：这个多边形的边数是7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】先由多边形的外角和可得到多边形的内角和，再由多边形的内角和可得到多边形的边数。
18．（2020八下·衢州期中）如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，已知EF⊥BC，求证：EF平分∠AED。
【答案】证明：∵五边形内角和为(5-2)×180°=540°.且五边形ABCDE的5个内角都相等，
∴∠A=∠B=∠AED= =108°
∵EF⊥BC，
∴∠3=90°
又∵四边形的内角和为360°，
∴在四边形ABFE中，∠1=360°-(108°+108°+90°) =54°
又∵∠AED=108°，
∴∠1=∠2=54°，
∴EF平分∠AED
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用n边形的内角和公式：（n-2）×180°，求出五边形的内角和，再根据五边形ABCDE的每个内角都相等，求出每一个内角的度数，利用垂直的定义可得到∠EFC=90°，然后利用四边形的内角和等于360°，求出∠2的度数，即可求出∠1的度数，由此可证得∠1=∠2，即可证得结论。
19．（2019八上·芜湖期中）如图所示，六边形ABCDEF中， ， ， ， ， ，求 的度数．
【答案】解：连接AD
在四边形ABCD中， ．
， ．
又 ， ．
， ．
.
．
在六边形ABCDEF中， ，
又 ， ， ，
．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】连接AD，利用四边形的内角和以及 ， 可推出 ，再根据 与等角替换得出 ，然后利用六边形的内角和即可求出 的度数．
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