初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减 同步训练
一、单选题
1．（2020八上·重庆月考）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（初中数学苏科版八年级下册10.3-10.4 分式的加减，分式的乘除 同步练习）已知 等于（ ）.
A． B． C． D．
3．（湘教版八年级数学上册 1.4.1同分母分式的加法和减法 同步练习）若 ＋M＝ ，则M为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·奎文期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八下·南召期末）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．－
6．（2020八上·富锦期末）若分式 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019八上·新乐期中）如图，若x为正整数，则表示 的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
8．（2020八上·香坊期末）老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．
老师： ，甲： ，乙： ，丙： ，丁：1
接力中，计算出现错误的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.2 分式的加减 同步练习）如果m为整数，那么使分式 的值为整数的m的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
二、填空题
11．（2021八上·紫阳期末）计算： .
12．（2021八上·拉萨期末）计算： 的结果是 .
13．（2021八上·沿河期末）已知 =3，则代数式 的值是 ．
14．（2020八上·玉山期末）若 =2，则 =
15．（2019八下·雁江期中）若a2＋5ab－b2＝0，则 － 的值为 ．
16．（2016八上·东营期中）已知 与 的和等于 ，则 = ．
17．=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R= ．
18．（2019八上·新田期中）已知实数 满足 ，则 ．
三、解答题
19．（2020八下·济南期中）计算：
（1） ；
（2） ﹣x+1．
20．（2017八下·东台期中）计算下列各式．
（1）
（2） ﹣a﹣1．
21．（湘教版八年级数学上册 1.4.1同分母分式的加法和减法 同步练习）已知A＝ ，B＝ .
（1）计算：A＋B和A－B；
（2）若已知A＋B＝2，A－B＝－1，求x、y的值．
22．（2019八上·大兴期中）已知 实数满足 ，若 ， ，请你猜想 与 的数量关系，并证明．
23．（2020八上·门头沟期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算 解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：
（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
24．（2020八上·昆明期中）（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 、 的大小，只要作出它们的差 ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
（解决问题）
小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 千克商品，小颖两次购买商品均花费 元，已知第一次购买该商品的价格为 元 千克，第二次购买该商品的价格为 元 千克（ ， 是整数，且 ）
（1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 千克？
（2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
25．（2020八上·石景山期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
例如：像 ， …，这样的分式是假分式；像 ， …，这样
的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
解决下列问题:
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为：.（直接写出结果即可）
（2）如果 的值为整数，求x的整数值.
26．（2020八上·重庆月考）阅读材料：
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解：由分母为 ，可设 （b为整数），
则 .
对于任意x，上述等式均成立，
解得
.
这样，分式 就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解决问题：将分式 分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A.
【分析】根据同分母的分式加减法法则“同分母的分式相加减，分子相加，分母不变”并将相加后的分式的分子和分母分解因式并约分即可求解.
2．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式==.
故选：D.
【分析】先进行通分化为同分母，然后进行同分母相加即可.
3．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】∵ ＋M＝ ，
∴M＝ .
故答案为：B
【分析】根据已知的等式可得同分母分式的减法运算，然后利用分式的减法法则进行计算可得结果.
4．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ；
故答案为：C
【分析】利用分式的减法计算即可。
5．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
当x-y=4时，原式=.
故答案为：C.
【分析】把原式化简得，再把x-y=4代入，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =
故答案为：D.
【分析】首先将已知分式通分，得出 ，代入所求分式，即可得解.
7．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵ 1 ．
又∵x为正整数，∴ 1，故表示 的值的点落在②．
故答案为：B．
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得符合题意答案．
8．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】出现错误的是乙，正确结果为： ，
故答案为：B．
【分析】检查四名同学的结论，找出错误的步骤即可．
9．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】解答： ∵ =1+ ，
若原分式的值为整数，那么m+1=﹣2，﹣1，1或2．
由m+1=﹣2得m=﹣3；
由m+1=﹣1得m=﹣2；
由m+1=1得m=0；
由m+1=2得m=1．
∴m=﹣3，﹣2，0，1．故选C．
分析： 分式 =1+ ，讨论 就可以了．即m+1是2的约数则可．
10．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
11．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式 .
故答案为：-1.
【分析】先化为同分母，再进行同分母相加即可.
12．【答案】x+5
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：x+5.
【分析】先把第二项的分母变形成-（x-5），再利用同分母分式加法法则：分母不变，分子相加进行计算，最后将分子利用平方差公式分解因式，约分即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】分式的约分；分式的加减法
【解析】【解答】∵ =3，
∴y-x=3xy，即x-y=-3xy，
∴原式
，
故答案为： ．
【分析】根据分式的减法法则得出x-y=-3xy，再把原式化成的形式，然后把x-y=-3xy整体代入进行化简，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】 =2，得x+y=2xy
则 = = ，
故答案为 .
【分析】先求出x+y=2xy，再代入计算求解即可。
15．【答案】5
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a2-5ab+b2=0，∴a2+b2=5ab，
则原式= = =5．
故答案为5．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
16．【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵ + = = ，
∴（a+b）x﹣2a+2b=4x，
即a+b=4，﹣2a+2b=0，
解得：a=b=2，
则原式=2，
故答案为：2
【分析】根据题意列出等式，整理求出a与b的值，即可求出原式的值．
17．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：方程两边同乘RR1R2，
R1R2，=RR2+RR1，
R1R2，=R（R2+R1），
R=，
故答案为．
【分析】先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R即可．
18．【答案】
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵ ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a+b+c=4，
∴ ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ ），
解得：a2+b2+c2= ，
故答案为：
【分析】把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入 可得 = ，展开即可得ac+ab+bc= ，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc= 即可得答案．
19．【答案】（1） ﹣
＝
＝
＝
＝x﹣2；
（2） ﹣x+1
＝ ﹣
＝
＝
＝ ．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；（2）先通分，然后根据分式的减法法则计算即可．
20．【答案】（1）解：原式= =﹣x﹣y
（2）解：原式= = =
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（1）先通分，然后计算减法．
21．【答案】（1）解：∵A＝ ，B＝ ，
∴A＋B＝ + ＝ ；
A－B＝ - ＝ ＝
（2）解：∵A＋B＝2，∴ ＝2，∴x＋y＝ ，
∵A－B＝－1，∴ ＝－1，∴x－y＝－1，
∴ ，
∴
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据所给的形式进行分式的加法和分式的减法运算，化简可得结果；
（2）根据已知条件可得关于字母的二元一次方程组，解方程组可得结果.
22．【答案】解：M=N，证明如下
将 代入M中，得
∵
∴M=N
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】将 ab=1 代入M中，然后化简即可得出结论．
23．【答案】（1）③
（2）分式加法法则运用错误
（3）解：原式 ，
，
，
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
【分析】（1）利用分式的加减法的计算步骤逐步判定即可；
（2）根据分式的加法法则计算即可；
（3）利用分式的加减法计算即可。
24．【答案】（1）解：由题意得：小丽两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
小颖两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
答：小丽两次所购买商品的平均价格为 元，小颖两次所购买商品的平均价格为 元 ；
（2）解：由（1）的结论得： ，
，
，
，
因为 都是大于0的整数，且 ，
所以 ，
所以 ，
即小丽两次所购买商品的平均价格高于小颖两次所购买商品的平均价格.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据题意分别列式可求出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格，然后化简即可。
（2）先列式，用小丽两次所购买商品的平均价格减去小颖两次所购买商品的平均价格，再通分计算，将结果化成最简分式，根据其值的大小，可作出判断。
25．【答案】（1）
（2）解：
或
∴x的取值可以是-4，-2,0，-6
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】（1） =
故填： ；
【分析】（1）根据题意把分式 化为整式与真分式的和的形式即可；（2）根据题中所给出的例子把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
26．【答案】解：由 的分母为 ，可设 （n为整数），
则 .
对于任意x，上述等式均成立，
解得
.
由 的分母为 ，
可设 （d为整数），
则 .
对于任意x，上述等式均成立，
解得
.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】仿照例题，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，列出方程组，即可求解.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册10.3 分式的加减 同步训练
一、单选题
1．（2020八上·重庆月考）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A.
【分析】根据同分母的分式加减法法则“同分母的分式相加减，分子相加，分母不变”并将相加后的分式的分子和分母分解因式并约分即可求解.
2．（初中数学苏科版八年级下册10.3-10.4 分式的加减，分式的乘除 同步练习）已知 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式==.
故选：D.
【分析】先进行通分化为同分母，然后进行同分母相加即可.
3．（湘教版八年级数学上册 1.4.1同分母分式的加法和减法 同步练习）若 ＋M＝ ，则M为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】∵ ＋M＝ ，
∴M＝ .
故答案为：B
【分析】根据已知的等式可得同分母分式的减法运算，然后利用分式的减法法则进行计算可得结果.
4．（2020八上·奎文期末）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ；
故答案为：C
【分析】利用分式的减法计算即可。
5．（2020八下·南召期末）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．－
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
当x-y=4时，原式=.
故答案为：C.
【分析】把原式化简得，再把x-y=4代入，即可求解.
6．（2020八上·富锦期末）若分式 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =
故答案为：D.
【分析】首先将已知分式通分，得出 ，代入所求分式，即可得解.
7．（2019八上·新乐期中）如图，若x为正整数，则表示 的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵ 1 ．
又∵x为正整数，∴ 1，故表示 的值的点落在②．
故答案为：B．
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得符合题意答案．
8．（2020八上·香坊期末）老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．
老师： ，甲： ，乙： ，丙： ，丁：1
接力中，计算出现错误的是（ ）．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】出现错误的是乙，正确结果为： ，
故答案为：B．
【分析】检查四名同学的结论，找出错误的步骤即可．
9．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.2 分式的加减 同步练习）如果m为整数，那么使分式 的值为整数的m的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】解答： ∵ =1+ ，
若原分式的值为整数，那么m+1=﹣2，﹣1，1或2．
由m+1=﹣2得m=﹣3；
由m+1=﹣1得m=﹣2；
由m+1=1得m=0；
由m+1=2得m=1．
∴m=﹣3，﹣2，0，1．故选C．
分析： 分式 =1+ ，讨论 就可以了．即m+1是2的约数则可．
10．（2020八上·兰陵期末）如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
二、填空题
11．（2021八上·紫阳期末）计算： .
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式 .
故答案为：-1.
【分析】先化为同分母，再进行同分母相加即可.
12．（2021八上·拉萨期末）计算： 的结果是 .
【答案】x+5
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：x+5.
【分析】先把第二项的分母变形成-（x-5），再利用同分母分式加法法则：分母不变，分子相加进行计算，最后将分子利用平方差公式分解因式，约分即可得出答案.
13．（2021八上·沿河期末）已知 =3，则代数式 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式的约分；分式的加减法
【解析】【解答】∵ =3，
∴y-x=3xy，即x-y=-3xy，
∴原式
，
故答案为： ．
【分析】根据分式的减法法则得出x-y=-3xy，再把原式化成的形式，然后把x-y=-3xy整体代入进行化简，即可得出答案.
14．（2020八上·玉山期末）若 =2，则 =
【答案】
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】 =2，得x+y=2xy
则 = = ，
故答案为 .
【分析】先求出x+y=2xy，再代入计算求解即可。
15．（2019八下·雁江期中）若a2＋5ab－b2＝0，则 － 的值为 ．
【答案】5
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵a2-5ab+b2=0，∴a2+b2=5ab，
则原式= = =5．
故答案为5．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
16．（2016八上·东营期中）已知 与 的和等于 ，则 = ．
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵ + = = ，
∴（a+b）x﹣2a+2b=4x，
即a+b=4，﹣2a+2b=0，
解得：a=b=2，
则原式=2，
故答案为：2
【分析】根据题意列出等式，整理求出a与b的值，即可求出原式的值．
17．=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R= ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：方程两边同乘RR1R2，
R1R2，=RR2+RR1，
R1R2，=R（R2+R1），
R=，
故答案为．
【分析】先找出最简分母，方程两边同乘以最简公分母，再求R即可．
18．（2019八上·新田期中）已知实数 满足 ，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵ ，
∴a2-3a-1
=a2-3a-abc=a(bc+a-3)
=a(bc+4-b-c-3)
=a(bc-b-c+1)
=a(b-1)(c-1)，
同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵a+b+c=4，
∴ ，
∴abc-ab-ac-bc+a+b+c= ，
∵a+b+c=4，abc=-1，
∴ab+ac+bc= ，
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴16= a2+b2+c2+2×（ ），
解得：a2+b2+c2= ，
故答案为：
【分析】把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入 可得 = ，展开即可得ac+ab+bc= ，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc= 即可得答案．
三、解答题
19．（2020八下·济南期中）计算：
（1） ；
（2） ﹣x+1．
【答案】（1） ﹣
＝
＝
＝
＝x﹣2；
（2） ﹣x+1
＝ ﹣
＝
＝
＝ ．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；（2）先通分，然后根据分式的减法法则计算即可．
20．（2017八下·东台期中）计算下列各式．
（1）
（2） ﹣a﹣1．
【答案】（1）解：原式= =﹣x﹣y
（2）解：原式= = =
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（1）先通分，然后计算减法．
21．（湘教版八年级数学上册 1.4.1同分母分式的加法和减法 同步练习）已知A＝ ，B＝ .
（1）计算：A＋B和A－B；
（2）若已知A＋B＝2，A－B＝－1，求x、y的值．
【答案】（1）解：∵A＝ ，B＝ ，
∴A＋B＝ + ＝ ；
A－B＝ - ＝ ＝
（2）解：∵A＋B＝2，∴ ＝2，∴x＋y＝ ，
∵A－B＝－1，∴ ＝－1，∴x－y＝－1，
∴ ，
∴
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据所给的形式进行分式的加法和分式的减法运算，化简可得结果；
（2）根据已知条件可得关于字母的二元一次方程组，解方程组可得结果.
22．（2019八上·大兴期中）已知 实数满足 ，若 ， ，请你猜想 与 的数量关系，并证明．
【答案】解：M=N，证明如下
将 代入M中，得
∵
∴M=N
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】将 ab=1 代入M中，然后化简即可得出结论．
23．（2020八上·门头沟期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算 解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：
（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
【答案】（1）③
（2）分式加法法则运用错误
（3）解：原式 ，
，
，
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
【分析】（1）利用分式的加减法的计算步骤逐步判定即可；
（2）根据分式的加法法则计算即可；
（3）利用分式的加减法计算即可。
24．（2020八上·昆明期中）（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 、 的大小，只要作出它们的差 ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
（解决问题）
小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 千克商品，小颖两次购买商品均花费 元，已知第一次购买该商品的价格为 元 千克，第二次购买该商品的价格为 元 千克（ ， 是整数，且 ）
（1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 千克？
（2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
【答案】（1）解：由题意得：小丽两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
小颖两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
答：小丽两次所购买商品的平均价格为 元，小颖两次所购买商品的平均价格为 元 ；
（2）解：由（1）的结论得： ，
，
，
，
因为 都是大于0的整数，且 ，
所以 ，
所以 ，
即小丽两次所购买商品的平均价格高于小颖两次所购买商品的平均价格.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据题意分别列式可求出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格，然后化简即可。
（2）先列式，用小丽两次所购买商品的平均价格减去小颖两次所购买商品的平均价格，再通分计算，将结果化成最简分式，根据其值的大小，可作出判断。
25．（2020八上·石景山期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
例如：像 ， …，这样的分式是假分式；像 ， …，这样
的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
解决下列问题:
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为：.（直接写出结果即可）
（2）如果 的值为整数，求x的整数值.
【答案】（1）
（2）解：
或
∴x的取值可以是-4，-2,0，-6
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】（1） =
故填： ；
【分析】（1）根据题意把分式 化为整式与真分式的和的形式即可；（2）根据题中所给出的例子把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
26．（2020八上·重庆月考）阅读材料：
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解：由分母为 ，可设 （b为整数），
则 .
对于任意x，上述等式均成立，
解得
.
这样，分式 就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解决问题：将分式 分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
【答案】解：由 的分母为 ，可设 （n为整数），
则 .
对于任意x，上述等式均成立，
解得
.
由 的分母为 ，
可设 （d为整数），
则 .
对于任意x，上述等式均成立，
解得
.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】仿照例题，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，列出方程组，即可求解.
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