初中数学人教版八年级上册 第十四章 14.3因式分解
一、单选题
1．（2020八下·合肥月考）方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：C．
【分析】通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
2．（2020八下·宝安月考）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．3x2+6x﹣1＝3x（x+2）﹣1 D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2
【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）是因式分解，故本选项符合题意；
C、3x2+6x﹣1＝3x（x+2）﹣1结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．
3．（2020八下·河源月考）已知 ， ，则 的值为
A．12 B． C． D．24
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】先提取公因式 ，整理后把已知条件整体代入计算即可．
4．（2020八下·宝安月考）某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy （4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）
A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．
故答案为：C．
【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．
5．（2020八下·太原月考）多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是（ ）
A．a-3 B．a+3 C．a-9 D．a+9
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 2a2-18=2（a2-9）=2（a+3）（a-3）
3a2-18a+27=3（a2-6a+9）=3（a-3）2
所以多项式的公因式为（a-3）
故答案为：A
【分析】对多项式进行提取公因式进行因式分解，即可找到公因式。
6．（2020八下·西安月考）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）.
故答案为：C.
【分析】利用分组分解法，将原式转化为（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y），再利用完全平方公式分解，然后利用提公因式法可得结果。
7．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
8．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（ ）
A．（a-1）（b-1） B．（a+1）（b+1）
C．（a+1）（b-1） D．（a-1）（b+1）
【答案】B
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】1+a+b+ab
=（1+a）+b（1+a）
=（1+a）（1+b）
选：B．
【分析】将前两项以及后两项分别分组进而提取公因式
9．若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式a -2ac+c -b 的值（ ）
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．以上三种 情况均有可能
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】解答：a -2ac+c -b =(a-c) -b =(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)[a-(c+b)]，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a+b-c＞0，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a-(c+b)＜0，
∴代数式a -2bc+c -b 的值是两个异号的数的积，是负数，即代数式的值＜0.
分析：给代数式进行因式分解，根据各个符号来确定整个代数式的符号.
故选A.
二、填空题
10．（2020八下·中宁期中）分解因式2（y – x）2+ 3(x – y)= .
【答案】(x – y) (2x –2y+3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2（y – x）2+ 3(x – y)
=2（x–y）2+ 3(x – y)
=(x – y)[ 2（x–y）+3]
=(x – y) (2x –2y+3)
故答案为：(x – y) (2x –2y+3).
【分析】利用提公因式法因式分解即可.
11．（2020八上·遂宁期末）多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是 ．
【答案】5a2b
【知识点】公因式
【解析】【解答】因为每一项都有5a2b，
所以多项式各项的公因式为5a2b；
故答案为5a2b.
【分析】由题可知每一项都有5a2b，即可求解；
12．（2020八下·河源月考）有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 ，分解因式的结果是 ，若取 ， ，则各个因式的值是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 ，取 ， 时，用上述方法产生的密码是： 写出一个即可 ．
【答案】103010
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 ，
∵取 ， 时，
则各个因式的值是： ， ， ，
∴产生的密码是：103010（不唯一）．
故答案为：103010．
【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后把 的数值代入计算即可确定得密码．
13．（2020八下·佛山期中）若 mn = 1， m - n = 2，则 m2n - mn2的值是 ．
【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴
．
故答案为：2．
【分析】首先把 提公因式得 ，然后把已知整体代入即可求解．
14．（2020八下·宝安月考）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为 三角形．
【答案】等腰或直角或等腰直角
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），
∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；
当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，
当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形．
故答案为：等腰或直角或等腰直角．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论．
15．因式分解：x3-5x2+4x= ．
【答案】x（x-1）（x-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】x3-5x2+4x
=x（x2-5x+4）
=x（x-1）（x-4）
答案为：x（x-1）（x-4）
【分析】直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式
三、计算题
16．（2019七下·泰兴期中）把下列各式因式分解:
（1）
（2）
【答案】（1） 原式=m(m2-16),
=m(m+4)(m-4).
（2） 原式=（x2+y2+2x2y2)（x2+y2-2x2y2），
=（x+y）2（x-y）2
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式m，然后利用平方差公式分解即可.
（2）先利用平方差公式，再分别利用完全平方公式分解即得
17．（2020八下·中宁期中）先因式分解，再求值：(2x－3y)2－(2x＋3y)2，其中x＝ ，y＝ .
【答案】解：(2x－3y)2－(2x＋3y)2
=[(2x－3y)－(2x＋3y)][ (2x－3y)＋(2x＋3y)]
=[2x－3y－2x－3y][ 2x－3y＋2x＋3y]
=-6y·4x
=-24xy
将x＝ ，y＝ 代入，得
原式=-24× × =
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先利用平方差公式因式分解，然后代入求值即可.
18．若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．
【答案】解：∵|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，
∴a＋b－6＝0且ab﹣4＝0，
则a＋b＝6，ab＝4．
∴－a3b－2a2b2－ab3
＝－ab(a2＋2ab＋b2)
＝－ab(a＋b)2
＝－4×62
＝－144．
即：－a3b－2a2b2－ab3＝－144
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意可知，一个数的绝对值为非负数，一个数的完全平方也为非负数，而两个非负数相加得零，即a+b-6=0，ab-4=0，求得a+b=6，ab=4；将-a3b-2a2b2-ab3中的公因式-ab提取后可得-ab(a+b)2，最后将a+b=6，ab=4代入即可求得代数式的值。
四、解答题
19．设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．
【答案】解：设x=0，
则x3＜x2+x+2．①
设x=10，则有x3=1000，x2+x+2=112，
所以x3＞x2+x+2．②
设x=100，则有x3＞x2+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x3=x2+x+2，则
x3-x2-x-2=0，
（x3-x2-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x2+x+1）=0．
因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x3=x2+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x﹣2＜0，x2+x+1＞0，
所以（x﹣2）（x2+x+1）＜0，
即x3﹣（x2+x+2）＜0，
所以，x3＜x2+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x-2＞0，x2+x+1＞0，
所以（x-2）（x2+x+1）＞0，
即x3-（x2+x+2）＞0，
所以x3＞x2+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．然后做减法，因式分解后，讨论得解．本题考查因式分解的应用，关键是找到比较大小的临界点，然后讨论求解．
20．（2019八下·太原期末）数257－512能被120整除吗 请说明理由.
【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120
整除.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
21．已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：x2－2xy＋y2－16
＝(x－y)2－42
＝(x－y＋4)(x－y－4)
（2）解：∵a2－ab－ac＋bc＝0
∴a(a－b)－c(a－b)=0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】(1)由题干中的分组分解法可知，将前三项运用完全平方公式进行因式分解，x2-2xy+y2=(x-y)2，再运用平方差公式即可将（x-y）2-16进行因式分解。
（2）同样也用分组分解法，先将a2、-ab和-ac、bc分成两组，通过提公因式法将a2、-ab和-ac、bc的公因式分别提取出来，然后再次运用提公因式法将（a-b）提取即可进行因式分解，然后判定三角形ABC的形状。
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十四章 14.3因式分解
一、单选题
1．（2020八下·合肥月考）方程x2﹣x＝0的解为（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝0
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
2．（2020八下·宝安月考）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．3x2+6x﹣1＝3x（x+2）﹣1 D．（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2
3．（2020八下·河源月考）已知 ， ，则 的值为
A．12 B． C． D．24
4．（2020八下·宝安月考）某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy （4y-__）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）
A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l
5．（2020八下·太原月考）多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是（ ）
A．a-3 B．a+3 C．a-9 D．a+9
6．（2020八下·西安月考）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
7．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
8．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（ ）
A．（a-1）（b-1） B．（a+1）（b+1）
C．（a+1）（b-1） D．（a-1）（b+1）
9．若a，b，c是三角形的三边之长，则代数式a -2ac+c -b 的值（ ）
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．以上三种 情况均有可能
二、填空题
10．（2020八下·中宁期中）分解因式2（y – x）2+ 3(x – y)= .
11．（2020八上·遂宁期末）多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是 ．
12．（2020八下·河源月考）有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 ，分解因式的结果是 ，若取 ， ，则各个因式的值是： ， ， ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 ，取 ， 时，用上述方法产生的密码是： 写出一个即可 ．
13．（2020八下·佛山期中）若 mn = 1， m - n = 2，则 m2n - mn2的值是 ．
14．（2020八下·宝安月考）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为 三角形．
15．因式分解：x3-5x2+4x= ．
三、计算题
16．（2019七下·泰兴期中）把下列各式因式分解:
（1）
（2）
17．（2020八下·中宁期中）先因式分解，再求值：(2x－3y)2－(2x＋3y)2，其中x＝ ，y＝ .
18．若|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，求－a3b－2a2b2－ab3的值．
四、解答题
19．设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．
20．（2019八下·太原期末）数257－512能被120整除吗 请说明理由.
21．已知：多项式A=b3﹣2ab
（1）请将A进行因式分解：
（2）若A=0且a≠0，b≠0，求 的值．
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：C．
【分析】通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可．
2．【答案】B
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】A、（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）是因式分解，故本选项符合题意；
C、3x2+6x﹣1＝3x（x+2）﹣1结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：把整式分解为几个整式乘积的形式，即可作出判断．
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】先提取公因式 ，整理后把已知条件整体代入计算即可．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．
故答案为：C．
【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 2a2-18=2（a2-9）=2（a+3）（a-3）
3a2-18a+27=3（a2-6a+9）=3（a-3）2
所以多项式的公因式为（a-3）
故答案为：A
【分析】对多项式进行提取公因式进行因式分解，即可找到公因式。
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）.
故答案为：C.
【分析】利用分组分解法，将原式转化为（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y），再利用完全平方公式分解，然后利用提公因式法可得结果。
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】1+a+b+ab
=（1+a）+b（1+a）
=（1+a）（1+b）
选：B．
【分析】将前两项以及后两项分别分组进而提取公因式
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】解答：a -2ac+c -b =(a-c) -b =(a-c+b)(a-c-b)=(a+b-c)[a-(c+b)]，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a+b-c＞0，
在三角形中，任意两边和＞第三边，∴a-(c+b)＜0，
∴代数式a -2bc+c -b 的值是两个异号的数的积，是负数，即代数式的值＜0.
分析：给代数式进行因式分解，根据各个符号来确定整个代数式的符号.
故选A.
10．【答案】(x – y) (2x –2y+3)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2（y – x）2+ 3(x – y)
=2（x–y）2+ 3(x – y)
=(x – y)[ 2（x–y）+3]
=(x – y) (2x –2y+3)
故答案为：(x – y) (2x –2y+3).
【分析】利用提公因式法因式分解即可.
11．【答案】5a2b
【知识点】公因式
【解析】【解答】因为每一项都有5a2b，
所以多项式各项的公因式为5a2b；
故答案为5a2b.
【分析】由题可知每一项都有5a2b，即可求解；
12．【答案】103010
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 ，
∵取 ， 时，
则各个因式的值是： ， ， ，
∴产生的密码是：103010（不唯一）．
故答案为：103010．
【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后把 的数值代入计算即可确定得密码．
13．【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴
．
故答案为：2．
【分析】首先把 提公因式得 ，然后把已知整体代入即可求解．
14．【答案】等腰或直角或等腰直角
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），
∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；
当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，
当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形．
故答案为：等腰或直角或等腰直角．
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论．
15．【答案】x（x-1）（x-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】x3-5x2+4x
=x（x2-5x+4）
=x（x-1）（x-4）
答案为：x（x-1）（x-4）
【分析】直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式
16．【答案】（1） 原式=m(m2-16),
=m(m+4)(m-4).
（2） 原式=（x2+y2+2x2y2)（x2+y2-2x2y2），
=（x+y）2（x-y）2
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式m，然后利用平方差公式分解即可.
（2）先利用平方差公式，再分别利用完全平方公式分解即得
17．【答案】解：(2x－3y)2－(2x＋3y)2
=[(2x－3y)－(2x＋3y)][ (2x－3y)＋(2x＋3y)]
=[2x－3y－2x－3y][ 2x－3y＋2x＋3y]
=-6y·4x
=-24xy
将x＝ ，y＝ 代入，得
原式=-24× × =
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先利用平方差公式因式分解，然后代入求值即可.
18．【答案】解：∵|a＋b－6|＋(ab－4)2＝0，
∴a＋b－6＝0且ab﹣4＝0，
则a＋b＝6，ab＝4．
∴－a3b－2a2b2－ab3
＝－ab(a2＋2ab＋b2)
＝－ab(a＋b)2
＝－4×62
＝－144．
即：－a3b－2a2b2－ab3＝－144
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意可知，一个数的绝对值为非负数，一个数的完全平方也为非负数，而两个非负数相加得零，即a+b-6=0，ab-4=0，求得a+b=6，ab=4；将-a3b-2a2b2-ab3中的公因式-ab提取后可得-ab(a+b)2，最后将a+b=6，ab=4代入即可求得代数式的值。
19．【答案】解：设x=0，
则x3＜x2+x+2．①
设x=10，则有x3=1000，x2+x+2=112，
所以x3＞x2+x+2．②
设x=100，则有x3＞x2+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x3=x2+x+2，则
x3-x2-x-2=0，
（x3-x2-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x2+x+1）=0．
因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x3=x2+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x﹣2＜0，x2+x+1＞0，
所以（x﹣2）（x2+x+1）＜0，
即x3﹣（x2+x+2）＜0，
所以，x3＜x2+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x-2＞0，x2+x+1＞0，
所以（x-2）（x2+x+1）＞0，
即x3-（x2+x+2）＞0，
所以x3＞x2+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．然后做减法，因式分解后，讨论得解．本题考查因式分解的应用，关键是找到比较大小的临界点，然后讨论求解．
20．【答案】解：257－512＝514－512＝512（52－1）＝511×5×24＝511×120，
所以257－512是120 的整除倍，即257－512能被120
整除.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先提取公因式512，可得512（52－1），整理为511×5×24＝511×120即可.
21．【答案】（1）解：A=b3﹣2ab=b（b2﹣2a）
（2）解：∵A=0，∴b（b2﹣2a）=0，
解得：b=0或b2﹣2a=0，
∵b≠0，
∴b2﹣2a=0，即b2=2a，
则原式= = =
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）将多项式提取公因式，进行化简。（2）A=0，即有两种情况，将两种情况代入原式，进行化简。
22．【答案】（1）解：x2－2xy＋y2－16
＝(x－y)2－42
＝(x－y＋4)(x－y－4)
（2）解：∵a2－ab－ac＋bc＝0
∴a(a－b)－c(a－b)=0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】(1)由题干中的分组分解法可知，将前三项运用完全平方公式进行因式分解，x2-2xy+y2=(x-y)2，再运用平方差公式即可将（x-y）2-16进行因式分解。
（2）同样也用分组分解法，先将a2、-ab和-ac、bc分成两组，通过提公因式法将a2、-ab和-ac、bc的公因式分别提取出来，然后再次运用提公因式法将（a-b）提取即可进行因式分解，然后判定三角形ABC的形状。
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