初中数学人教版八年级上册 第十一章 11.2与三角形有关的角
一、单选题
1．（2020八下·甘州期中）三角形三个内角的比是 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，由△ABC的三个内角之比为1：1：2可知∠B=x，∠C=2x，
∴∠A+∠B+∠C=4x=180°，
∴x=45°.
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
故答案为：B.
【分析】设∠A=x，由△ABC的三个内角之比为1：1：2可知∠B=x，∠C=2x，再根据三角形的内角和为180°求出x的值即可.
2．（2020八上·淮滨期末）如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2 等于（ ）
A．120° B．170° C．220° D．270°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：正方形的各个内角都是90°，
根据三角形的外角的性质得∠1=90°+（180°-∠2），
则∠1+∠2=270°．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的各个内角都是90°，和三角形外角的性质即可求得．
3．（2020八上·昆明期末）如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数（ ）
A．50° B．100° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠AEB=∠A+∠C=20°+50°=70°，
∴∠ADB=∠AEB+∠B=70°+30°=100°．故答案为：B.
【分析】三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,根据外角的性质即可得到结论．
4．（2019八上·港南期中）如图，在 中， ， ， 是 上一点，将 沿 折叠，使 点落在 边上的 处，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可.
5．（2020八下·灯塔月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB为（ ）
A．80° B．72° C．48° D．36°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得∠DAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C），
又∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，
∴90°﹣2∠B= ∠B，
则∠B=36°.
∴∠BAC=2∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的定义得出∠DAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C），然后结合已知列出方程，求解得出∠B的度数，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠ACB的度数.
6．（2020八上·温州期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠1=30°，∠2=40°，∠D的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°
∴∠1+∠DBC+∠2+∠DCB=180°-∠A=180°-50°=130°
∵∠1=30°，∠2=40°
∴∠DBC+∠DCB=130°-30°-40°=60°，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-60°=120°.
故答案为：B.
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB的值，再在△DBC中，利用三角形内角和两点就可求出∠D的度数。
7．（2019八上·丹徒月考）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° 或50° B．20° C．80°或20° D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①若已知等腰三角形的一个外角等于100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；
②若已知等腰三角形的一个外角等于100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°.
故答案为：C.
【分析】分两种情况考虑：①已知外角是顶角的外角，②已知外角是底角的外角，再结合三角形的内角和为180°，即可求出顶角的度数.
8．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
9．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ）度
A．90 B．180 C．200 D．360
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】解答：如图所示：
∵∠AGF是△BGD的外角，∴∠AGF=∠B+∠D，
∵∠AFG是△FEG的外角，∴∠AFG=∠C+∠E，
∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
分析：本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，解答此题的关键是把所求的角归结到同一个三角形中解答．
二、填空题
10．（2020八上·潜江期末）在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 .
【答案】三角形的内角和是180°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据折叠的性质，折叠前后的两个角相等，即∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，根据把三角形的三个角转化为一个平角∠1+∠2+∠3=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因此这个定理为：三角形的内角和是180°.
故答案为：三角形的内角和是180°.
【分析】根据折叠的性质得出∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，进而根据平角的定义及等量代换即可得出三角形的内角和等于180°.
11．（2020八上·大冶期末）一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°.则∠BFD的度数是 .
【答案】15°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠CDF＝60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，
∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°.
故答案为：15°.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论.
12．（2019八上·融安期中）三角形的内角和等于 。
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：三角形的内角和是180°.
故答案为：180°.
【分析】根据三角形的内角和定理即可直接得出答案.
13．（2020八上·温州期末）已知一个三角形的三个内角度数之比为2：3：5，则它的最大内角等于 度。
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三个内角度数之比为2：3：5，
∴设三个内角的度数分别为2x，3x，5x，
根据题意得：2x+3x+5x=180°
解之：x=18°
∴它的最大内角为：5×18°=90°.
故答案为：90.
【分析】利用已知三角形的三内角之比，可以设三个内角的度数分别为2x，3x，5x，再利用三角形的内角和等于180°，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出5x的值。
14．（2019八上·台州开学考）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
15．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC= ，∠D= ，∠E= .
【答案】120°；30°；60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°- ∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°- ∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+ ∠A，
而∠A=60°，
∴∠BOC=90°+ ×60°=120°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D= ∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵BE平分∠ABC相邻外角，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠D=60°，
故答案是：120°，30°60°．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线定义，求出∠BOC=90°+∠A÷2；根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，求出∠D、∠E的度数.
16．三角形中最大的内角不能小于 度，最小的内角不能大于 度．
【答案】60；60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）设三角形中最大的内角为x度，由三角形内角和定理得，3x≥180，则x≥60，即三角形中最大的内角不能小于60°.（2）设三角形中最小的内角为y度，由三角形内角和定理得，3y≤180，则y≤60，即三角形中最小的内角不能大于60°.
故答案为：60，60
【分析】根据三角形内角和定理可知三角形中最大的内角不能小于60°；三角形中最小的内角不能大于60°.
三、解答题
17．（2019八上·榆林期末）如图，在 中，D是BC边上一点， ， ，求 的度数.
【答案】解：∵∠1=∠2=39°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=78°，
∴△ACD中，∠DAC=180°﹣（∠3+∠4）=180°﹣2×78°=24°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的外角定理得出 ∠3=∠4=∠1+∠2=78°， 然后根据三角形的内角和定理，由 ∠DAC=180°﹣（∠3+∠4） 即可算出答案。
18．（2018八上·重庆期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数．
【答案】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，又∵∠C=50°，∴在△ACD中，∠DAC=90°-∠C=40°，∵∠BAC=60°，∠C=50°，∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°，又∵AE、BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠BAO= ∠BAC=30°，∠ABO= ∠ABC=35°，∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-35°=115°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可算出∠DAC的度数，根据三角形的内角和算出∠ABC，再根据角平分线的定义，由∠BAO= ∠BAC，∠ABO= ∠ABC，算出∠BAO，∠ABO的度数，最后根据三角形的内角和算出∠BOA的度数。
19．（2019八上·海安月考）在 中， ，求 的度数.
【答案】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴①，
∵ ， ②，
把①代入②得， ，解得 ，
∴ ， ， .
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据题目的倍数关系,设较小的角:∠B为x,则∠C为4x,按照内角和关系列出式子解出即可.
20．（2019八上·博白期中）一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数.
【答案】解：因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，
所以∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－90°－30°＝60°.
因为∠CAF＝∠DCE＝30°，
所以∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝180°－30°－60°＝90°.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由题意可得∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，根据平角的定义可求得∠ACF＝60°；又因∠CAF＝∠DCE＝30°，根据三角形的内角和定理即可求∠F＝90°.
21．（2019八上·江汉期中）如图，BD是△ABC的角平分线,AE丄BD交BD的'延长线于点E, ∠ABC = 72°，∠C：∠ADB
=2：3,求∠BAC
和∠DAE
的度数.
【答案】解：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABC
= 72°
∴∠EBC=36°，
∵∠C：∠ADB
=2：3
可设∠C=2x，则∠ADB=3x,
在△BCD中∠ADB=∠EBC+∠C
即3x=36°+2x
解得x=36°，
∴∠C=72°，∠ADB=108°，
故∠BAC=180°-∠C-∠ABC=36°，
在△DAE中，AE丄BD
∴∠DAE=∠ADB-90°=18°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出 ∠EBC=36°， 由于∠C：∠ADB =2：3，故可设 ∠C=2x，则∠ADB=3x ，根据三角形的外角定理得出∠ADB=∠EBC+∠C ，从而列出方程求解求出x的值，得出 ∠C=72°，∠ADB=108°， 进而根据三角形的内角和定理得出∠BAC=180°-∠C-∠ABC=36° ，最后根据直角三角行的两锐角互余得出 ∠DAE=∠ADB-90°=18°.
22．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
23．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
【答案】解答：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，
∴∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC= ∠BAC= ×60°=30°．
∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=45°-30°=15°．
∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，
∴∠AEC+30°+45°=180°，∴∠AEC=105°．
答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．
【知识点】三角形内角和定理
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十一章 11.2与三角形有关的角
一、单选题
1．（2020八下·甘州期中）三角形三个内角的比是 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
2．（2020八上·淮滨期末）如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2 等于（ ）
A．120° B．170° C．220° D．270°
3．（2020八上·昆明期末）如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数（ ）
A．50° B．100° C．70° D．80°
4．（2019八上·港南期中）如图，在 中， ， ， 是 上一点，将 沿 折叠，使 点落在 边上的 处，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八下·灯塔月考）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠ACB为（ ）
A．80° B．72° C．48° D．36°
6．（2020八上·温州期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠1=30°，∠2=40°，∠D的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
7．（2019八上·丹徒月考）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° 或50° B．20° C．80°或20° D．不能确定
8．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
9．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ）度
A．90 B．180 C．200 D．360
二、填空题
10．（2020八上·潜江期末）在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 .
11．（2020八上·大冶期末）一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°.则∠BFD的度数是 .
12．（2019八上·融安期中）三角形的内角和等于 。
13．（2020八上·温州期末）已知一个三角形的三个内角度数之比为2：3：5，则它的最大内角等于 度。
14．（2019八上·台州开学考）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
15．如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°， 则∠BOC= ，∠D= ，∠E= .
16．三角形中最大的内角不能小于 度，最小的内角不能大于 度．
三、解答题
17．（2019八上·榆林期末）如图，在 中，D是BC边上一点， ， ，求 的度数.
18．（2018八上·重庆期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度数．
19．（2019八上·海安月考）在 中， ，求 的度数.
20．（2019八上·博白期中）一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数.
21．（2019八上·江汉期中）如图，BD是△ABC的角平分线,AE丄BD交BD的'延长线于点E, ∠ABC = 72°，∠C：∠ADB
=2：3,求∠BAC
和∠DAE
的度数.
22．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
23．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=x，由△ABC的三个内角之比为1：1：2可知∠B=x，∠C=2x，
∴∠A+∠B+∠C=4x=180°，
∴x=45°.
∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
故答案为：B.
【分析】设∠A=x，由△ABC的三个内角之比为1：1：2可知∠B=x，∠C=2x，再根据三角形的内角和为180°求出x的值即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：正方形的各个内角都是90°，
根据三角形的外角的性质得∠1=90°+（180°-∠2），
则∠1+∠2=270°．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的各个内角都是90°，和三角形外角的性质即可求得．
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠AEB=∠A+∠C=20°+50°=70°，
∴∠ADB=∠AEB+∠B=70°+30°=100°．故答案为：B.
【分析】三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,根据外角的性质即可得到结论．
4．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的外角的性质可知∠DB′C=∠A+∠ADB′，只要求出∠DB′C即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得∠DAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C），
又∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，
∴90°﹣2∠B= ∠B，
则∠B=36°.
∴∠BAC=2∠B=72°，
∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的定义得出∠DAE= ∠BAC﹣（90°﹣∠C），然后结合已知列出方程，求解得出∠B的度数，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠ACB的度数.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°
∴∠1+∠DBC+∠2+∠DCB=180°-∠A=180°-50°=130°
∵∠1=30°，∠2=40°
∴∠DBC+∠DCB=130°-30°-40°=60°，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-60°=120°.
故答案为：B.
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB的值，再在△DBC中，利用三角形内角和两点就可求出∠D的度数。
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①若已知等腰三角形的一个外角等于100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；
②若已知等腰三角形的一个外角等于100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°.
故答案为：C.
【分析】分两种情况考虑：①已知外角是顶角的外角，②已知外角是底角的外角，再结合三角形的内角和为180°，即可求出顶角的度数.
8．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】解答：如图所示：
∵∠AGF是△BGD的外角，∴∠AGF=∠B+∠D，
∵∠AFG是△FEG的外角，∴∠AFG=∠C+∠E，
∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
分析：本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，解答此题的关键是把所求的角归结到同一个三角形中解答．
10．【答案】三角形的内角和是180°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据折叠的性质，折叠前后的两个角相等，即∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，根据把三角形的三个角转化为一个平角∠1+∠2+∠3=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因此这个定理为：三角形的内角和是180°.
故答案为：三角形的内角和是180°.
【分析】根据折叠的性质得出∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，进而根据平角的定义及等量代换即可得出三角形的内角和等于180°.
11．【答案】15°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠CDF＝60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，
∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°.
故答案为：15°.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论.
12．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：三角形的内角和是180°.
故答案为：180°.
【分析】根据三角形的内角和定理即可直接得出答案.
13．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三个内角度数之比为2：3：5，
∴设三个内角的度数分别为2x，3x，5x，
根据题意得：2x+3x+5x=180°
解之：x=18°
∴它的最大内角为：5×18°=90°.
故答案为：90.
【分析】利用已知三角形的三内角之比，可以设三个内角的度数分别为2x，3x，5x，再利用三角形的内角和等于180°，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出5x的值。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
15．【答案】120°；30°；60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠2+2∠1+∠A=180°，
∴∠2+∠1=90°- ∠A，
又∵∠2+∠1+∠BOC=180°，
∴90°- ∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+ ∠A，
而∠A=60°，
∴∠BOC=90°+ ×60°=120°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D= ∠A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵BE平分∠ABC相邻外角，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=90°，
∴∠E=90°-∠D=60°，
故答案是：120°，30°60°．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线定义，求出∠BOC=90°+∠A÷2；根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和角平分线定义，求出∠D、∠E的度数.
16．【答案】60；60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）设三角形中最大的内角为x度，由三角形内角和定理得，3x≥180，则x≥60，即三角形中最大的内角不能小于60°.（2）设三角形中最小的内角为y度，由三角形内角和定理得，3y≤180，则y≤60，即三角形中最小的内角不能大于60°.
故答案为：60，60
【分析】根据三角形内角和定理可知三角形中最大的内角不能小于60°；三角形中最小的内角不能大于60°.
17．【答案】解：∵∠1=∠2=39°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=78°，
∴△ACD中，∠DAC=180°﹣（∠3+∠4）=180°﹣2×78°=24°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角的外角定理得出 ∠3=∠4=∠1+∠2=78°， 然后根据三角形的内角和定理，由 ∠DAC=180°﹣（∠3+∠4） 即可算出答案。
18．【答案】解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，又∵∠C=50°，∴在△ACD中，∠DAC=90°-∠C=40°，∵∠BAC=60°，∠C=50°，∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°，又∵AE、BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠BAO= ∠BAC=30°，∠ABO= ∠ABC=35°，∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-35°=115°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可算出∠DAC的度数，根据三角形的内角和算出∠ABC，再根据角平分线的定义，由∠BAO= ∠BAC，∠ABO= ∠ABC，算出∠BAO，∠ABO的度数，最后根据三角形的内角和算出∠BOA的度数。
19．【答案】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴①，
∵ ， ②，
把①代入②得， ，解得 ，
∴ ， ， .
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据题目的倍数关系,设较小的角:∠B为x,则∠C为4x,按照内角和关系列出式子解出即可.
20．【答案】解：因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，
所以∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－90°－30°＝60°.
因为∠CAF＝∠DCE＝30°，
所以∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝180°－30°－60°＝90°.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由题意可得∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，根据平角的定义可求得∠ACF＝60°；又因∠CAF＝∠DCE＝30°，根据三角形的内角和定理即可求∠F＝90°.
21．【答案】解：∵BD是△ABC的角平分线，∠ABC
= 72°
∴∠EBC=36°，
∵∠C：∠ADB
=2：3
可设∠C=2x，则∠ADB=3x,
在△BCD中∠ADB=∠EBC+∠C
即3x=36°+2x
解得x=36°，
∴∠C=72°，∠ADB=108°，
故∠BAC=180°-∠C-∠ABC=36°，
在△DAE中，AE丄BD
∴∠DAE=∠ADB-90°=18°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出 ∠EBC=36°， 由于∠C：∠ADB =2：3，故可设 ∠C=2x，则∠ADB=3x ，根据三角形的外角定理得出∠ADB=∠EBC+∠C ，从而列出方程求解求出x的值，得出 ∠C=72°，∠ADB=108°， 进而根据三角形的内角和定理得出∠BAC=180°-∠C-∠ABC=36° ，最后根据直角三角行的两锐角互余得出 ∠DAE=∠ADB-90°=18°.
22．【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
23．【答案】解答：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，
∴∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC= ∠BAC= ×60°=30°．
∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=45°-30°=15°．
∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，
∴∠AEC+30°+45°=180°，∴∠AEC=105°．
答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．
【知识点】三角形内角和定理
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