新人教版初中数学九年级下册 第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试
一、单选题
1．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A．7米 B．9米 C．12米 D．15米
2．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140m 100m 95m 90m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）．
A．7sin35° B． C．7cos35° D．7tan35°
4．某人沿着有一定坡度的坡面走了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，则他水平前进的距离为（ ）米．
A．5 B．6 C．8 D．10
5．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP=( )
A． B．2 C． D．
6．如图：B处有一船，向东航行，上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B处，上午11时到达灯塔的南C处，那么这船航行的速度是（ ）千米/时.
A．19.65 B．20.65 C．21.65 D．22.65
7．（2020九上·桐城期末）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A．20米 B．米 C．米 D．米
8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
9．若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（ ）
A．37° B．53° C．26° D．63°
10．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.2）（ ）
A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米
11．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
12．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（ ）
A．S△ABC＞S△DEF B．S△ABC＜S△DEF
C．S△ABC=S△DEF D．不能确定
13．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）
A．（11﹣2）米 B．（11﹣2）米
C．（11﹣2）米 D．（11﹣4）米
14．（2016·金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A． 米2 B． 米2
C．（4+ ）米2 D．（4+4tanθ）米2
15．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m．
17．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
18．4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离 米．
19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号）
20．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为 海里．
三、解答题
21．如图，AC是某市坏城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉口分别是A、B、C经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°.
（1）求∠ADB的大小；
（2）求B、D之间的距离；
（3）求C、D之间的距离.
22．（2016·娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米， ≈1.732）
23．（2016九下·农安期中）如图，为了测量某交通路口设立的路况显示牌的立杆AB的高度，在D处用高1.2m的测角仪CD，测得最高点A的仰角为32°，已知观测点D到立杆AB的距离DB为3.8m，求立杆AB的高度．（结果精确到0.1m）
【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】
四、综合题
24．（2016·湘西）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；
（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．
25．（2016·茂名）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．
（1）求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）
（2）求旗杆CD的高度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，
∴DE=6米．
又∵EF=AB=3．
∴CD=6+3+6=15米．
故选D．
【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可。
【解答】如图，甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m；
乙中，DF=100m，∠C=45°，DE=100×sin45°=50
≈70.71m；
丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=
≈67.18m；
丁中，JK=90m，∠C=60°，AB=90×sin60°=45
≈77.9m．可见JK最大，故选D．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出BC边的长．
【解答】在Rt△ABC中，cosB=，
∴BC=AB cosB=7cos35°．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据某人沿着有一定坡度的坡面走了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，利用勾股定理求得水平距离．
【解答】∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为6米，
∴根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为：=8米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】
【分析】根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即可．
【解答】
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA=20
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB=90° BP=60×=40
∴tan∠ABP=
故选A．
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】此题主要考查学生对方向角的理解及运用能力，求速度，先求出BC的距离．运用三角函数定义解答．
【解答】∵AB=58.4，∠BAC=45°，∴AC=BC=29.2，
∵从B到C用时11-9=2时，∴速度为29.2÷2=14.≈20.65千米/时
故选B
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：
∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
则BC=ABtan∠BAC=30×=米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF=BC=米，
则FD=AF×tanβ=×=10米，
综上可得：CD=AB-FD=30-10=20米．
故选A．
【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．在Rt△ABC中，已知BC=5米，=，所以米，进而可得：米.
故选A.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】设两个锐角分别为x、y，
根据题意得，x+y＝90°①
x y＝16°②
①+②得，2x=106°，
解得x=53°，
①-②得，2y=74°，
解得y=37°，
所以方程组的解为
x＝53°
y＝37°
故较大的一个锐角的度数是53°.
故选B.
【分析】设两个锐角分别为x、y，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】设CD为x，
在Rt△BCD中，∠BDC=α=18°，
∵tan∠BDC= ，
∴BC=CD tan∠BDC=0.32x，
在Rt△ACD中，∠ADC=β=66°，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=CD tan∠ADC=2.2x，
∵AB=AC-BC，
∴2.82=2.2x-0.32x，
解得：x=1.5．
答：CD长约为1.5米．
故选：B.
【分析】如图所示，假设CD为x，则有在Rt△BCD中可利用tan∠BDC= 得到BC=CD tan∠BDC=0.32x，在Rt△ACD中利用tan∠ADC= ，得到AC=CD tan∠ADC=2.2x，则AB=AC-BC，列方程可得2.82=2.2x-0.32x，解得x的值即可．
11．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°-70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B.
【分析】由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
12．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin 50°=5sin 50°，
在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°，
DH=DEsin∠DEH=5sin 50°，
∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，
∴S△ABC=S△DEF．
故选C．
【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
13．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴，
∴PB=米，
∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
故选：D．
【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．
14．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；
故选：D．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
15．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，
∵AB=AC，BD⊥AC，AC=12米，
∴AD=CD=6米，
在Rt△ADB中，∠BAC=25°，
∴AB=，
即按键顺序正确的是．
故选：B．
【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=5米，在Rt△ADB中，利用∠AC的余弦进行计算即可得到AB，再得到正确的按键顺序．
16．【答案】135
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，
tan30°= ，
解得， ，
∴AD=45 ，
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，
∴在Rt△ACD中，
CD=AD tan60°=45 × =135米．
故答案为135米．
【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．
17．【答案】137
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，
∴x=（x+100），
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．
18．【答案】200+200
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD==200，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD+DB=200+200，
故答案为：200+200．
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
19．【答案】40
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA=80，∠PAC=30°，
∴PC=40海里，
在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=40海里，
故答案为：40．
【分析】作PC⊥AB于C，由已知条件易求PC的长，在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，则PB可求出．
20．【答案】 20
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC= = =，
∴BC=20海里．
故答案是：20．
【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．
21．【答案】解：（1）∵∠EAB=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°，又∵AE∥BF，∴∠ABF=180°-∠EAB=120°，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=120°+30°=150°，∴∠ADB=180°-∠DAC-∠ABD=180°-15°-150°=15°；（2）由（1）可知∠ADB=15°，∵∠DAC=15°，∴∠DAC=∠ADB=15°，∴BD=AB=2km．即B，D之间的距离是2km；（3）过B作BO⊥DC，交DC的延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2km，∵∠FBD=30°，∴∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°=（km），BO=2×cos60°=1，在Rt△CBO中，∵∠BCO=∠EAC=60°，∴∠CBO=30°，CO=BO×tan30°=，∴CD=DO-CO=-=（km）．即C，D之间的距离km．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，以及方向角的定义即可求解；
（2）根据等角对等边，即可证得BD=AB即可求解；
（3）根据等角对等边即可证得BC=CD，然后根据三角函数即可求得CD的长．
22．【答案】解：设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH sin60°= x，
∴BH=BC+CH=2+ x，
∵∠A=30°，
∴AH= BH=2 +3x，
∵AH=AD+DH，
∴2 +3x=20+x，
解得：x=10﹣ ，
∴BH=2+ （10﹣ ）=10 ﹣1≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设DH=x米，由三角函数得出= x，得出BH=BC+CH=2+ x，求出AH= BH=2 +3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．
23．【答案】解：由题意可得，CE=3.8m，CD=BE=1.2m，
在Rt△CEA中，∠CEA=90°，∠ACE=32°，
∵tan∠ACE= ，
∴AE=tan∠ACE CE=tan32° 3.2=0.62×3.8=2.356，
∴AB=AE+BE=2.356+1.2=3.556≈3.6m，
即立杆AB的高度为3.6m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】要求AB的高度只要求出BE和AE的长即可，根据题目提供的信息可以求得AE的长，BE与CD的长一样，本题得以解决．
24．【答案】（1）解：由题意可得：tan50°= ≈1.2，
解得：AC=24，
∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=20m，
∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），
答：建筑物BC的高度为4m；
（2）解：设DC=BC=xm，
根据题意可得：tan50°= = ≈1.2，
解得：x=25，
答：建筑物BC的高度为25m
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直接利用tan50°= ，进而得出AC的长，求出AB的长即可；（2）直接利用tan50°= ，进而得出BC的长求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
25．【答案】（1）解：∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，
∴AD= = =4 （m），
答：教学楼与旗杆的水平距离是4 m．
（2）解：∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4 m，
∴CD=AD tan60°=4 × =12（m），
答：旗杆CD的高度是12m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长；
（2）利用（1）中所求，结合CD=AD tan60°求出答案．此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
1 / 1新人教版初中数学九年级下册 第二十八章锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 同步测试
一、单选题
1．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A．7米 B．9米 C．12米 D．15米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，
∴DE=6米．
又∵EF=AB=3．
∴CD=6+3+6=15米．
故选D．
【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．
2．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140m 100m 95m 90m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可。
【解答】如图，甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m；
乙中，DF=100m，∠C=45°，DE=100×sin45°=50
≈70.71m；
丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=
≈67.18m；
丁中，JK=90m，∠C=60°，AB=90×sin60°=45
≈77.9m．可见JK最大，故选D．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）．
A．7sin35° B． C．7cos35° D．7tan35°
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出BC边的长．
【解答】在Rt△ABC中，cosB=，
∴BC=AB cosB=7cos35°．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
4．某人沿着有一定坡度的坡面走了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，则他水平前进的距离为（ ）米．
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据某人沿着有一定坡度的坡面走了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，利用勾股定理求得水平距离．
【解答】∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为6米，
∴根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为：=8米．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．
5．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP=( )
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】
【分析】根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即可．
【解答】
∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA=20
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB=90° BP=60×=40
∴tan∠ABP=
故选A．
6．如图：B处有一船，向东航行，上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B处，上午11时到达灯塔的南C处，那么这船航行的速度是（ ）千米/时.
A．19.65 B．20.65 C．21.65 D．22.65
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】此题主要考查学生对方向角的理解及运用能力，求速度，先求出BC的距离．运用三角函数定义解答．
【解答】∵AB=58.4，∠BAC=45°，∴AC=BC=29.2，
∵从B到C用时11-9=2时，∴速度为29.2÷2=14.≈20.65千米/时
故选B
7．（2020九上·桐城期末）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A．20米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：
∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB=2EG=30米，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
则BC=ABtan∠BAC=30×=米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF=BC=米，
则FD=AF×tanβ=×=10米，
综上可得：CD=AB-FD=30-10=20米．
故选A．
【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
8．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．在Rt△ABC中，已知BC=5米，=，所以米，进而可得：米.
故选A.
9．若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（ ）
A．37° B．53° C．26° D．63°
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】设两个锐角分别为x、y，
根据题意得，x+y＝90°①
x y＝16°②
①+②得，2x=106°，
解得x=53°，
①-②得，2y=74°，
解得y=37°，
所以方程组的解为
x＝53°
y＝37°
故较大的一个锐角的度数是53°.
故选B.
【分析】设两个锐角分别为x、y，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可.
10．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.2）（ ）
A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】设CD为x，
在Rt△BCD中，∠BDC=α=18°，
∵tan∠BDC= ，
∴BC=CD tan∠BDC=0.32x，
在Rt△ACD中，∠ADC=β=66°，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=CD tan∠ADC=2.2x，
∵AB=AC-BC，
∴2.82=2.2x-0.32x，
解得：x=1.5．
答：CD长约为1.5米．
故选：B.
【分析】如图所示，假设CD为x，则有在Rt△BCD中可利用tan∠BDC= 得到BC=CD tan∠BDC=0.32x，在Rt△ACD中利用tan∠ADC= ，得到AC=CD tan∠ADC=2.2x，则AB=AC-BC，列方程可得2.82=2.2x-0.32x，解得x的值即可．
11．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（ ）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°-70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B.
【分析】由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
12．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（ ）
A．S△ABC＞S△DEF B．S△ABC＜S△DEF
C．S△ABC=S△DEF D．不能确定
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，
在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin 50°=5sin 50°，
在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°，
DH=DEsin∠DEH=5sin 50°，
∴AG=DH．
∵BC=4，EF=4，
∴S△ABC=S△DEF．
故选C．
【分析】在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可．
13．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（ ）
A．（11﹣2）米 B．（11﹣2）米
C．（11﹣2）米 D．（11﹣4）米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴，
∴PB=米，
∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
故选：D．
【分析】出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长．
14．（2016·金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A． 米2 B． 米2
C．（4+ ）米2 D．（4+4tanθ）米2
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；
故选：D．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
15．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，
∵AB=AC，BD⊥AC，AC=12米，
∴AD=CD=6米，
在Rt△ADB中，∠BAC=25°，
∴AB=，
即按键顺序正确的是．
故选：B．
【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=5米，在Rt△ADB中，利用∠AC的余弦进行计算即可得到AB，再得到正确的按键顺序．
二、填空题
16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m．
【答案】135
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，
tan30°= ，
解得， ，
∴AD=45 ，
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，
∴在Rt△ACD中，
CD=AD tan60°=45 × =135米．
故答案为135米．
【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．
17．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
【答案】137
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，
∴x=（x+100），
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．
18．4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离 米．
【答案】200+200
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD==200，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD+DB=200+200，
故答案为：200+200．
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
19．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号）
【答案】40
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA=80，∠PAC=30°，
∴PC=40海里，
在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=40海里，
故答案为：40．
【分析】作PC⊥AB于C，由已知条件易求PC的长，在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，则PB可求出．
20．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为 海里．
【答案】 20
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC= = =，
∴BC=20海里．
故答案是：20．
【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．
三、解答题
21．如图，AC是某市坏城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉口分别是A、B、C经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°.
（1）求∠ADB的大小；
（2）求B、D之间的距离；
（3）求C、D之间的距离.
【答案】解：（1）∵∠EAB=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°，又∵AE∥BF，∴∠ABF=180°-∠EAB=120°，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=120°+30°=150°，∴∠ADB=180°-∠DAC-∠ABD=180°-15°-150°=15°；（2）由（1）可知∠ADB=15°，∵∠DAC=15°，∴∠DAC=∠ADB=15°，∴BD=AB=2km．即B，D之间的距离是2km；（3）过B作BO⊥DC，交DC的延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2km，∵∠FBD=30°，∴∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°=（km），BO=2×cos60°=1，在Rt△CBO中，∵∠BCO=∠EAC=60°，∴∠CBO=30°，CO=BO×tan30°=，∴CD=DO-CO=-=（km）．即C，D之间的距离km．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，以及方向角的定义即可求解；
（2）根据等角对等边，即可证得BD=AB即可求解；
（3）根据等角对等边即可证得BC=CD，然后根据三角函数即可求得CD的长．
22．（2016·娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米， ≈1.732）
【答案】解：设DH=x米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH sin60°= x，
∴BH=BC+CH=2+ x，
∵∠A=30°，
∴AH= BH=2 +3x，
∵AH=AD+DH，
∴2 +3x=20+x，
解得：x=10﹣ ，
∴BH=2+ （10﹣ ）=10 ﹣1≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】设DH=x米，由三角函数得出= x，得出BH=BC+CH=2+ x，求出AH= BH=2 +3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．
23．（2016九下·农安期中）如图，为了测量某交通路口设立的路况显示牌的立杆AB的高度，在D处用高1.2m的测角仪CD，测得最高点A的仰角为32°，已知观测点D到立杆AB的距离DB为3.8m，求立杆AB的高度．（结果精确到0.1m）
【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】
【答案】解：由题意可得，CE=3.8m，CD=BE=1.2m，
在Rt△CEA中，∠CEA=90°，∠ACE=32°，
∵tan∠ACE= ，
∴AE=tan∠ACE CE=tan32° 3.2=0.62×3.8=2.356，
∴AB=AE+BE=2.356+1.2=3.556≈3.6m，
即立杆AB的高度为3.6m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】要求AB的高度只要求出BE和AE的长即可，根据题目提供的信息可以求得AE的长，BE与CD的长一样，本题得以解决．
四、综合题
24．（2016·湘西）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；
（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．
【答案】（1）解：由题意可得：tan50°= ≈1.2，
解得：AC=24，
∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=20m，
∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），
答：建筑物BC的高度为4m；
（2）解：设DC=BC=xm，
根据题意可得：tan50°= = ≈1.2，
解得：x=25，
答：建筑物BC的高度为25m
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直接利用tan50°= ，进而得出AC的长，求出AB的长即可；（2）直接利用tan50°= ，进而得出BC的长求出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
25．（2016·茂名）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．
（1）求教学楼与旗杆的水平距离AD；（结果保留根号）
（2）求旗杆CD的高度．
【答案】（1）解：∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，AB=4m，
∴AD= = =4 （m），
答：教学楼与旗杆的水平距离是4 m．
（2）解：∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，AD=4 m，
∴CD=AD tan60°=4 × =12（m），
答：旗杆CD的高度是12m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意得出∠ADB=30°，进而利用锐角三角函数关系得出AD的长；
（2）利用（1）中所求，结合CD=AD tan60°求出答案．此题主要考查了解直角三角的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
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