分式与分式方程的复习
一、单选题
1．（2017八上·海勃湾期末）在式子 ， ， ， 中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（分式有意义的条件++++++++++ ）使分式 有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1或x≠2 D．x≠1且x≠2
3．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.3 分式方程 同步练习）若方程 =0有增根，则增根可能是（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．1
4．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.2 分式的加减 同步练习）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.1 分式的乘除 同步练习）计算 的值等于（ ）
A．﹣9a B．9a C．﹣36a D．36a
6．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.1 分式的乘除 同步练习）化简 ，其结果是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的分是方程+ =2有增根，则m的值是（ ）
A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3
二、填空题
8．（分式的值为零的条件++++++++++++++）当x 时，式子 有意义；当x 时，分式 的值为零．
9．（分式的值为零的条件++++++++++++++）已知分式 ，当x=2时，分式的值为0；当x=﹣2时，分式无意义，则mn= ．
10．（分式的加减法++++++++ ）已知x+y=5，xy=2，则 + = ．
11．（ 分式方程的增根）若关于x的分式方程 有增根，则实数a= ．
12．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.1 分式的乘除 同步练习）若分式 的值等于5，则a的值是 。
13．（2017八上·丰都期末）计算 的结果为 ．
14．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.1.2 分式的基本性质 同步练习）化简 = .
三、计算题
15．计算：．
16．计算：
17．（华师大版数学八年级下册第十六章第二节16.2.1节分式的乘除 同步练习）计算：
（1）
（2） ．
18．（分式的加减 ）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） ．
19．（分式的混合运算++++++++ ）计算：
（1）
（2） +
（3） ﹣ ×
（4）（1﹣ ）÷ ．
20．解下列方程
（1）
（2）．
21．（华师大版数学八年级下册第十六章第三节16.3节可化为一元一次方程的分式方程 同步练习）解方程： =1．
22．（2017八下·南召期中）解方程： = ﹣5．
23．（2015八上·永胜期末）解方程： ．
24．（2017八上·莘县期末）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=3．
25．（分式的加减）计算。
（1）化简： ﹣x﹣1
（2）化简求值： ÷（ + ），其中x=3．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ， 的分母都有字母，故都是分式，其它的都不是分式，
故选：B．
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，（x﹣1）（x﹣2）≠0，
解得x≠1且x≠2．
故选D．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
3．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】 =0
最简公分母x（x 2），
去分母得：4 x2=0，
整理得：x2=4，
解得：x=±2，
把x=2代入x（x 2）=0，
则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为 2．
故选；C．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，去分母整理得到方程的增根．
4．【答案】C
【知识点】分式的约分；分式的加减法
【解析】【解答】 A、 ，故A错误．
B、 ，故B错误．
C、 ，故C正确．
D、 ，故D错误．
故选C
【分析】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．
5．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】解答：解：原式= =36a，
故选D．
分析： 计算时首先要把乘除运算转化成乘法运算，在计算的过程中要注意符号的变化．
6．【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】解答：
因此选择C．
分析： 分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
7．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得，
2﹣x﹣m=2（x﹣3），
∵分式方程有增根，
∴x﹣3=0，
解得x=3，
∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），
解得m=﹣1．
故选A．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．
8．【答案】≠1；=1
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1；
由题意得：x2﹣1=0，且x+1≠0，
解得：x=1，
故答案为：≠1；=1．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可；根据分式值为零的条件可得x2﹣1=0，且x+1≠0，再解即可．
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2×2﹣m=0，﹣2﹣n=0，
解得：m=4，n=﹣2，
mn= ，
故答案为： ．
【分析】根据分式值为零的条件可得2×2﹣m=0，根据分式无意义的条件可得﹣2﹣n=0，解可得n的值，然后可得mn的值．
10．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵x+y=5，xy=2，
∴ + = = ．
故答案是： ．
【分析】先对所求的代数式进行通分计算，然后代入求值．
11．【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘（x+3），可得1﹣（x+3）=a，
整理可得x=﹣2﹣a，
∵分式方程 有增根，
∴方程的根为x=﹣3，
∴﹣2﹣a=﹣3，解得a=1，
故答案为：1．
【分析】根据解分式方程的步骤可得到一个一元一次方程，由条件可知该方程的根即分式的分母为0的值，可求得a的值．
12．【答案】a=
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】∵ =
∴ =5，
∴a= ．
【分析】首先根据分式的除法法则计算 ，然后根据题意列出方程，从而求出a的值．
13．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=（ ﹣ ）÷ = × = ．
故答案为 ．
【分析】首先把括号里式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行约分．
14．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】分母a2-4a+4=(a-2)2=(2-a)2，再约分，即
【分析】本题注意将分母先进行因式分解
15．【答案】解：= =．
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可．
16．【答案】解：原式= ==．
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
17．【答案】（1）解答：原式= ；
（2）解答：原式= ．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算加法运算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
18．【答案】（1）解： ，
= ，
=
（2）解： ，
= ﹣ ﹣ ，
= ，
= ，
= ，
=﹣
（3）解： ，
= + + ，
= ，
=
（4）解： ，
= + ，
= ，
=
（5）解： ，
= + + ，
= + + ，
= + ，
= + ，
= ，
= ．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；（3）通分，公分母为（x+2）（x﹣2）；（4）把a﹣b看成是一项，为 ，再通分；（5）前两项先通分，再依次计算即可．
19．【答案】（1）解：
=
=6xyz
（2）解： +
= ﹣
=
=x+y
（3）解： ﹣ ×
= ﹣ ×
= ﹣
= ﹣
=
（4）解：（1﹣ ）÷
= ×
= ×
=
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
20．【答案】解：（1），
方程的两边同乘（x+2），得
6x﹣2（x+2）=0，
解得x=1．
检验：把x=1代入x+2=3≠0．
故原方程的解为x=1；
（2），
方程的两边同乘x（x﹣2），得
3x=2（x﹣2）+6，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x﹣2）=0．
故原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）观察可得最简公分母是（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
21．【答案】解答：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），解得x=2．经检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴原分式方程的解为：x=2．
【知识点】解分式方程
【解析】因为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可确定最简公分母（x+1）（x﹣1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．
22．【答案】解：方程的两边同乘（x﹣1），得
﹣3=x﹣5（x﹣1），
解得x=2（5分）
检验，将x=2代入（x﹣1）=1≠0，
∴x=2是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
23．【答案】解：去分母得：5（x﹣1）﹣（x+3）=0，
去括号得：5x﹣5﹣x﹣3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
24．【答案】解：原式=[ ﹣ ]÷ ，
= × ，
= × ，
= ，
当x=3时，原式= =1
【知识点】分式的约分；分式的乘除法；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x=3代入求出即可．
25．【答案】（1）解：原式= ﹣
= ；
（2）解：原式= ÷
= （x﹣1）
=2，
当x=3时，原式=2
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）直接根据分式混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
1 / 1分式与分式方程的复习
一、单选题
1．（2017八上·海勃湾期末）在式子 ， ， ， 中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ， 的分母都有字母，故都是分式，其它的都不是分式，
故选：B．
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．
2．（分式有意义的条件++++++++++ ）使分式 有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1或x≠2 D．x≠1且x≠2
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，（x﹣1）（x﹣2）≠0，
解得x≠1且x≠2．
故选D．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
3．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.3 分式方程 同步练习）若方程 =0有增根，则增根可能是（ ）
A．0或2 B．0 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】 =0
最简公分母x（x 2），
去分母得：4 x2=0，
整理得：x2=4，
解得：x=±2，
把x=2代入x（x 2）=0，
则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为 2．
故选；C．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，去分母整理得到方程的增根．
4．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.2 分式的加减 同步练习）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分；分式的加减法
【解析】【解答】 A、 ，故A错误．
B、 ，故B错误．
C、 ，故C正确．
D、 ，故D错误．
故选C
【分析】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．
5．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.1 分式的乘除 同步练习）计算 的值等于（ ）
A．﹣9a B．9a C．﹣36a D．36a
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】解答：解：原式= =36a，
故选D．
分析： 计算时首先要把乘除运算转化成乘法运算，在计算的过程中要注意符号的变化．
6．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.1 分式的乘除 同步练习）化简 ，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】解答：
因此选择C．
分析： 分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
7．若关于x的分是方程+ =2有增根，则m的值是（ ）
A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得，
2﹣x﹣m=2（x﹣3），
∵分式方程有增根，
∴x﹣3=0，
解得x=3，
∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），
解得m=﹣1．
故选A．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．
二、填空题
8．（分式的值为零的条件++++++++++++++）当x 时，式子 有意义；当x 时，分式 的值为零．
【答案】≠1；=1
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1；
由题意得：x2﹣1=0，且x+1≠0，
解得：x=1，
故答案为：≠1；=1．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可；根据分式值为零的条件可得x2﹣1=0，且x+1≠0，再解即可．
9．（分式的值为零的条件++++++++++++++）已知分式 ，当x=2时，分式的值为0；当x=﹣2时，分式无意义，则mn= ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2×2﹣m=0，﹣2﹣n=0，
解得：m=4，n=﹣2，
mn= ，
故答案为： ．
【分析】根据分式值为零的条件可得2×2﹣m=0，根据分式无意义的条件可得﹣2﹣n=0，解可得n的值，然后可得mn的值．
10．（分式的加减法++++++++ ）已知x+y=5，xy=2，则 + = ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵x+y=5，xy=2，
∴ + = = ．
故答案是： ．
【分析】先对所求的代数式进行通分计算，然后代入求值．
11．（ 分式方程的增根）若关于x的分式方程 有增根，则实数a= ．
【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘（x+3），可得1﹣（x+3）=a，
整理可得x=﹣2﹣a，
∵分式方程 有增根，
∴方程的根为x=﹣3，
∴﹣2﹣a=﹣3，解得a=1，
故答案为：1．
【分析】根据解分式方程的步骤可得到一个一元一次方程，由条件可知该方程的根即分式的分母为0的值，可求得a的值．
12．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.2.1 分式的乘除 同步练习）若分式 的值等于5，则a的值是 。
【答案】a=
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】∵ =
∴ =5，
∴a= ．
【分析】首先根据分式的除法法则计算 ，然后根据题意列出方程，从而求出a的值．
13．（2017八上·丰都期末）计算 的结果为 ．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=（ ﹣ ）÷ = × = ．
故答案为 ．
【分析】首先把括号里式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行约分．
14．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.1.2 分式的基本性质 同步练习）化简 = .
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】分母a2-4a+4=(a-2)2=(2-a)2，再约分，即
【分析】本题注意将分母先进行因式分解
三、计算题
15．计算：．
【答案】解：= =．
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可．
16．计算：
【答案】解：原式= ==．
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
17．（华师大版数学八年级下册第十六章第二节16.2.1节分式的乘除 同步练习）计算：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解答：原式= ；
（2）解答：原式= ．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算加法运算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
18．（分式的加减 ）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） ．
【答案】（1）解： ，
= ，
=
（2）解： ，
= ﹣ ﹣ ，
= ，
= ，
= ，
=﹣
（3）解： ，
= + + ，
= ，
=
（4）解： ，
= + ，
= ，
=
（5）解： ，
= + + ，
= + + ，
= + ，
= + ，
= ，
= ．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减；（2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式；（3）通分，公分母为（x+2）（x﹣2）；（4）把a﹣b看成是一项，为 ，再通分；（5）前两项先通分，再依次计算即可．
19．（分式的混合运算++++++++ ）计算：
（1）
（2） +
（3） ﹣ ×
（4）（1﹣ ）÷ ．
【答案】（1）解：
=
=6xyz
（2）解： +
= ﹣
=
=x+y
（3）解： ﹣ ×
= ﹣ ×
= ﹣
= ﹣
=
（4）解：（1﹣ ）÷
= ×
= ×
=
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
20．解下列方程
（1）
（2）．
【答案】解：（1），
方程的两边同乘（x+2），得
6x﹣2（x+2）=0，
解得x=1．
检验：把x=1代入x+2=3≠0．
故原方程的解为x=1；
（2），
方程的两边同乘x（x﹣2），得
3x=2（x﹣2）+6，
解得x=2．
检验：把x=2代入x（x﹣2）=0．
故原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）观察可得最简公分母是（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
21．（华师大版数学八年级下册第十六章第三节16.3节可化为一元一次方程的分式方程 同步练习）解方程： =1．
【答案】解答：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），解得x=2．经检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴原分式方程的解为：x=2．
【知识点】解分式方程
【解析】因为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可确定最简公分母（x+1）（x﹣1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．
22．（2017八下·南召期中）解方程： = ﹣5．
【答案】解：方程的两边同乘（x﹣1），得
﹣3=x﹣5（x﹣1），
解得x=2（5分）
检验，将x=2代入（x﹣1）=1≠0，
∴x=2是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
23．（2015八上·永胜期末）解方程： ．
【答案】解：去分母得：5（x﹣1）﹣（x+3）=0，
去括号得：5x﹣5﹣x﹣3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
24．（2017八上·莘县期末）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x=3．
【答案】解：原式=[ ﹣ ]÷ ，
= × ，
= × ，
= ，
当x=3时，原式= =1
【知识点】分式的约分；分式的乘除法；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x=3代入求出即可．
25．（分式的加减）计算。
（1）化简： ﹣x﹣1
（2）化简求值： ÷（ + ），其中x=3．
【答案】（1）解：原式= ﹣
= ；
（2）解：原式= ÷
= （x﹣1）
=2，
当x=3时，原式=2
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）直接根据分式混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
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