初中数学人教版八年级上册 第十五章 15.1分式
一、单选题
1．（2020八下·眉山期末）分式① ，② ，③ ，④ 中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：① 是最简分式；
② ，故不是最简分式；
③ ，故不是最简分式；
④ 是最简分式；
所以，最简分式有2个，
故答案为：B.
【分析】最简分式是分子、分母中不含有公因式，即不能再约分.判断的方法是把分子、分母分别分解因式，判断是否有公因式即可.
2．（2020八下·北京期中）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，得
∴
故答案为：A.
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，即可得解.
3．（2020八下·东坡期中）下列各式： 、 、 、 、 ，其中分式共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解： 、 、 、的分母中都不含有字母，因此都是整式，而不是分式； 、 的分母中含有字母，因此是分式．故分式共有2个．
故答案为：A
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
4．（2020八下·巴中月考）若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．缩小100倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：
则分式的值不变．
故答案为：B．
【分析】将10x替换x，10y替换y，再利用分式基本性质化简，计算得到结果，即可做出判断．
5．（2020八下·黄石期中）下列分式中与 的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： = = =
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可.
6．（2020八上·浦北期末）若 成立，那么下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】A.不成立，该选项错误；
B.当 时， ，该选项错误；
C. 当 ， 时， ，该选项错误；
D. ，成立，该选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐一进行判断即可.
7．若 的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜－2 B．x＜1
C．x＞－2且x≠1 D．x＞1
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵分式 的分母 ，
∴要使分式的值为正数，分子需满足： ，即 ，
又∵分母 的值不能为0，
∴
∴若 的值为正数，则 的取值范围为： 且 .故答案为：C.
【分析】首先将分式的分母利用完全平方公式分解因式得出，再根据偶次幂的非负性得出≥0，故要使分式的值为正数，分子必须是正数，分母不能为0，从而列出不等式组且x-1≠0，求解即可得出x的取值范围。
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题
9．（2020·朝阳模拟）若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0
∴1 - x = 0，且x≠0
∴x = 1
故答案为：1．
【分析】根据分式值为零的性质可知，1 - x = 0，且x≠0，然后计算即可．
10．（2020八下·重庆期中）已知 ，则 .
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴y＋x＝2xy，
∴
，
故答案为： .
【分析】首先把 去分母可得y＋x＝2xy，然后把 变形后代入y＋x＝2xy，约分化简即可.
11．（2020八下·重庆月考）若 为实数，分式 不是最简分式，则 .
【答案】0或－4
【知识点】最简分式
【解析】【解答】∵分式 不是最简分式，
∴x或x+2是x2+m的一个因式，
当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a，
则有x（x+a）=x2+ax=x2+m，
∴m=0，
当x或x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a，
则有（x+2）（x+a）=x2+（a+2）x+2a=x2+m，
∴ ，
解得： ，
故答案为：0或-4.
【分析】由分式 不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可.
12．（2020八上·张掖期末）已知分式 ，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ．
【答案】6
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：当 时，分式为： ，
又分式无意义，
故a-6=0
所以，a=6.
故答案为：6.
【分析】首先将x=2代入分式得出一个关于字母a的分式，然后根据分式的分母为0的时候分式没有意义，列出方程求解即可.
13．（2020八上·江汉期末）已知分式 化简后的结果是一个整式，则常数 = .
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】∵分式 化简后的结果是一个整式
∴分式的分子部分可以化为：
∵
解得： ,
故答案为：
【分析】依题意可知，分式化简后是一个整式，说明分式可以由公约数“x+1”，即分式的分子部分可以化成 的形式，将这个分子展开与原式中分子部分联立，求取常数 的值即可.
14．请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为 .
【答案】
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2;再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
15．分式 表示一个整数时，整数m可取的值共有 个．
【答案】6
【知识点】分式的值
【解析】【解答】分式 表示一个整数时，则m+1一定是4的约数，4的约数有±4，±2，±1共6个，当m+1=±4时，m=3或-5，当m+1=±2时，m=1或-3，当m+1=±1时，m=0或-2，则m可取的值共有6个．
故答案为：6．
【分析】本题是在考查分式的值的基础上加深了一步，要想整除必须是整数倍的关系.
三、解答题
16．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零 分式无意义 y的值是正数
【答案】解：x=0时，y的值是零；
x＝时，分式无意义；
x＜且x≠0时，y的值是正数．
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可。
17．在括号里填上适当的整式：
（1）
（2）
（3）．
【答案】解：（1）分子分母都乘以5a，得
（2）分子分母都除以x，得
（3）分子分母都乘以2a，得
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案；
（3）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案．
18．已知 ，求 的值.
【答案】解：由，x=3y，
原式=.
【知识点】分式的约分
19．若分式 的值为零，求x的值.
【答案】解答：由已知条件，得 得x=-1.
【知识点】分式的值为零的条件
1 / 1初中数学人教版八年级上册 第十五章 15.1分式
一、单选题
1．（2020八下·眉山期末）分式① ，② ，③ ，④ 中，最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020八下·北京期中）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·东坡期中）下列各式： 、 、 、 、 ，其中分式共有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2020八下·巴中月考）若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小10倍 D．缩小100倍
5．（2020八下·黄石期中）下列分式中与 的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
6．（2020八上·浦北期末）若 成立，那么下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若 的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜－2 B．x＜1
C．x＞－2且x≠1 D．x＞1
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二、填空题
9．（2020·朝阳模拟）若分式 的值为0，则x的值为 ．
10．（2020八下·重庆期中）已知 ，则 .
11．（2020八下·重庆月考）若 为实数，分式 不是最简分式，则 .
12．（2020八上·张掖期末）已知分式 ，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ．
13．（2020八上·江汉期末）已知分式 化简后的结果是一个整式，则常数 = .
14．请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为 .
15．分式 表示一个整数时，整数m可取的值共有 个．
三、解答题
16．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零 分式无意义 y的值是正数
17．在括号里填上适当的整式：
（1）
（2）
（3）．
18．已知 ，求 的值.
19．若分式 的值为零，求x的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：① 是最简分式；
② ，故不是最简分式；
③ ，故不是最简分式；
④ 是最简分式；
所以，最简分式有2个，
故答案为：B.
【分析】最简分式是分子、分母中不含有公因式，即不能再约分.判断的方法是把分子、分母分别分解因式，判断是否有公因式即可.
2．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】由题意，得
∴
故答案为：A.
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，即可得解.
3．【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解： 、 、 、的分母中都不含有字母，因此都是整式，而不是分式； 、 的分母中含有字母，因此是分式．故分式共有2个．
故答案为：A
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
4．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：
则分式的值不变．
故答案为：B．
【分析】将10x替换x，10y替换y，再利用分式基本性质化简，计算得到结果，即可做出判断．
5．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： = = =
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可.
6．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】A.不成立，该选项错误；
B.当 时， ，该选项错误；
C. 当 ， 时， ，该选项错误；
D. ，成立，该选项正确；
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐一进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵分式 的分母 ，
∴要使分式的值为正数，分子需满足： ，即 ，
又∵分母 的值不能为0，
∴
∴若 的值为正数，则 的取值范围为： 且 .故答案为：C.
【分析】首先将分式的分母利用完全平方公式分解因式得出，再根据偶次幂的非负性得出≥0，故要使分式的值为正数，分子必须是正数，分母不能为0，从而列出不等式组且x-1≠0，求解即可得出x的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
9．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0
∴1 - x = 0，且x≠0
∴x = 1
故答案为：1．
【分析】根据分式值为零的性质可知，1 - x = 0，且x≠0，然后计算即可．
10．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴y＋x＝2xy，
∴
，
故答案为： .
【分析】首先把 去分母可得y＋x＝2xy，然后把 变形后代入y＋x＝2xy，约分化简即可.
11．【答案】0或－4
【知识点】最简分式
【解析】【解答】∵分式 不是最简分式，
∴x或x+2是x2+m的一个因式，
当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a，
则有x（x+a）=x2+ax=x2+m，
∴m=0，
当x或x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a，
则有（x+2）（x+a）=x2+（a+2）x+2a=x2+m，
∴ ，
解得： ，
故答案为：0或-4.
【分析】由分式 不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可.
12．【答案】6
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：当 时，分式为： ，
又分式无意义，
故a-6=0
所以，a=6.
故答案为：6.
【分析】首先将x=2代入分式得出一个关于字母a的分式，然后根据分式的分母为0的时候分式没有意义，列出方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】∵分式 化简后的结果是一个整式
∴分式的分子部分可以化为：
∵
解得： ,
故答案为：
【分析】依题意可知，分式化简后是一个整式，说明分式可以由公约数“x+1”，即分式的分子部分可以化成 的形式，将这个分子展开与原式中分子部分联立，求取常数 的值即可.
14．【答案】
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2;再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
15．【答案】6
【知识点】分式的值
【解析】【解答】分式 表示一个整数时，则m+1一定是4的约数，4的约数有±4，±2，±1共6个，当m+1=±4时，m=3或-5，当m+1=±2时，m=1或-3，当m+1=±1时，m=0或-2，则m可取的值共有6个．
故答案为：6．
【分析】本题是在考查分式的值的基础上加深了一步，要想整除必须是整数倍的关系.
16．【答案】解：x=0时，y的值是零；
x＝时，分式无意义；
x＜且x≠0时，y的值是正数．
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可。
17．【答案】解：（1）分子分母都乘以5a，得
（2）分子分母都除以x，得
（3）分子分母都乘以2a，得
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案；
（3）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案．
18．【答案】解：由，x=3y，
原式=.
【知识点】分式的约分
19．【答案】解答：由已知条件，得 得x=-1.
【知识点】分式的值为零的条件
1 / 1
