初中数学苏科版八年级下册第十章 分式 单元测试

初中数学苏科版八年级下册第十章 分式 单元测试
一、单选题
1．（2021八下·内江开学考）下列各式中，分式的个数有（　　）
、 、 、﹣ 、 、2﹣ .
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2020八上·永定期中）若分式 的值等于0，则x的值为（　　）
A． B．x =1 C． D．x = 0
3．（2021八上·安定期末）如果把 中 的值都扩大 倍，那么这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大 倍 C．扩大 倍 D．扩大 倍
4．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
5．（2020八下·大东期末）计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020八上·淮南期末）化简 的结果是（　　）
A． B．x C． D．
7．（2020八上·德州期末）化简 的结果是（　　）
A．(x+1)2 B．(x-1)2 C． D．
8．（2021八下·内江开学考）某生产小组计划生产3000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，设原计划每小时生产口罩x个，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
10．（2021八上·沙坪坝开学考）若关于x的分式方程 有非负实数解，且关于x的不等式组 有解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·万山期末）计算： ＝　 　.
12．（2020八上·永定期中）已知 ，则 =　 　．
13．（2021八下·上海期中）用换元法解分式方程 时，若设 ，则原方程可以化为整式方程　 　．
14．（2021八上·滑县期末）甲乙两地相距5km，汽车从甲到乙，速度为 km/h，可按时到达，若每小时多行驶 km，则汽车提前　 　h到达．
15．（2021八下·上海期中）如果关于 的方程 的有增根，那么 的值为　 　．
16．（2020八下·广东月考）已知 ，则 的值为　 　．
17．（2021八上·武汉期末）已知 ，则 的值　 　．
18．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.3 分式方程 同步练习）一位工人师傅加工1500个零件后，把工作效率提高到原来的2.5倍，因此再加工1500个零件时，较前提早了18个小时完工，问这位工人师傅提高工作效率的前后每小时各加工多少个零件？设提高工作效率前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为　 　。
三、综合题
19．（2021八下·姜堰期中）解下列方程：
（1）
（2）
20．（2021八下·内江开学考）先化简 ，再从0，－2，－1，1中选择一个合适的数代入并求值.
21．（2021八上·中方期末）在解答“先化简式子 ，再选一个你认为合适的整数x代入求值”这个题时，小明选取 ，计算得原式的值为 .
（1）你认为小明的计算正确吗？为什么？
（2）请你写出你的解答过程.
22．（2020八上·前郭期末）已知 .
（1）化简A；
（2）当 满足不等式组 ，且 为整数时，求A的值.
23．（2021八下·姜堰期中）在近期“抗疫”期间，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同.
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
24．（2020八上·昌平月考）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： － ＝0.
解：设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－ ＝0的解．
当y＝2时， ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ .
经检验，x1＝－1，x2＝ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝ .
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为　 　；
（2）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为　 　；
（3）模仿上述换元法解方程： － －1＝0.
25．（2020八上·许昌期末）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”.例如： ， ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， .我们知道，假分数可以化为带分数，例如： =2+ =2 ，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： =1+ .
（1）将分式 化为带分式；
（2）当x取哪些整数值时，分式 的值也是整数？
26．（2017八上·肥城期末）按要求完成下列题目．
（1）求： + + +…+ 的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成 的形式，而 = ﹣ ，这样就把 一项（分）裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 + + +…+ 的值．
（2）若 = +
①求：A、B的值：
②求： + +…+ 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 、﹣ 、 、2﹣ 是分式，共4个，
故答案为：C.
【分析】利用分母中含有字母的式子是分式，再逐一判断，可得到分式的个数.
2．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ =0
∴ ，解得x=1．
故答案为：B．
【分析】根据题意由分式值为0，即可得到分子为0，分式有意义，则分母不为0，即可得到x的值。
3．【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：分别用 和 去代换原分式中的 和 ，得 ，此时这个代数式的值扩大10倍.
故答案为： .
【分析】先根据条件，将x,y扩大10倍代入，接着约分，便可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
5．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
= .
故答案为：B.
【分析】先通分，再利用同分母分式的加减法法则进行计算。
6．【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】原式
=x
故答案为：B．
【分析】先因式分解，再利用分式的约分计算即可。
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=×（x+1）（x-1）
=（x-1）2
故答案为：B.
【分析】根据题意，由分式的性质以及平方差公式，运算得到答案即可。
8．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每小时生产口罩x个，则实际每小时生产口罩2x个，
依题意得：
故答案为：D.
【分析】抓住题中关键的已知条件：实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，据此列方程即可.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
10．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解得： ，
∵方程有非负实数解，
∴ 即 ，
得 ；
∵不等式组 有解，
∴ ，
∴ ，
得 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴满足条件的所有整数m为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，
其和为：-6，
故答案为：D.
【分析】解含参数的分式方程，根据分式方程有非负实数解可得m的范围，再解含参的不等式组，根据分式方程的解满足x≠1可得满足条件的m的值，求和即可.
11．【答案】a-3
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a-3.
【分析】利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，再将结果化成最简分式.
12．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】由 得： ，
则 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，3x=2y，根据分式的基本性质变形求出答案即可。
13．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可知
5y+1=
5y2+y=1
5y2+y-1=0
【分析】根据题意，由换元法化简方程即可。
14．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】根据题意可知按时到达时间为 ，提速后到达时间为
- =
故答案为
【分析】根据时间=路程÷速度可将按时到达时间和提速后到达时间表示出来，再求差并通分计算即可求解.
15．【答案】3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-3
x=2（x-3）+k
x=6-k
∵分式方程的增根为x=3
∴6-k=3
∴k=3
【分析】根据分式方程的增根的含义，计算得到答案即可。
16．【答案】2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】在 两边同时乘以xy，得到 ，将其变形
整理 得 ，
再将 代入得：
【分析】在 两边同时乘以xy，得到 ，再变形利用等量代换求 的值即可．
17．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据已知条件求得 ，同时将 变形得到 是关键 首先由 变形得到 ，将 分子分母同时除以 ，继而利用完全平方公式变形得到 ，最后把 代入计算即可．
18．【答案】 18 =
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】原来加工1500个零件所用时间为： ，现在加工1500个零件所用时间为： ，∴根据题意可列方程为 18 =
【分析】关键描述语为：“较前提早了18个小时完工”；本题的等量关系为：原来加工1500个零件所用时间 18=现在加工1500个零件所用时间，把相应数值代入即可求解．
19．【答案】（1）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
经检验， 是原分式方程的根.
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是增根，原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
（2）先去分母（右边的2不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
20．【答案】解：原式= ，
∵a≠±1和-2，
∴当a=0时，原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将使原分式有意义的a的值代入化简后的代数式求值.
21．【答案】（1）解：不正确；
因为 时， =0，所以原式无意义；
（2）解：原式= = ，取 代入得：
原式= （答案不唯一）.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】（1）由分式有意义的条件可得当 时， =0，则原式无意义，因此问题可求解；
（2）将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后将除式的分子、分母交换位置将除法转变为乘法，接着进行分式的乘法运算即可，最后选择一个保证分式有意义的数代入即可算出答案.
22．【答案】（1）解：原式= = = =
（2）解：不等式组的解集为1≤x＜3
∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝ 中x≠1，
∴当x＝1时，A＝ 无意义．
②当x＝2时，
A＝ ＝
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
23．【答案】（1）解：设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，
依题意可得：
解得：x=1.5，
经检验，x=1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2.5，
∴A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元；
（2）解：设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得： ，
解得： ，
∴增加购买A型口罩的数量最多是1200个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：7500÷A型口罩的单价=4500÷B型口罩的单价，据此设未知数，列方程，然后求出方程的解，由此可求出A、B两种型号口罩的单价.
（2）此题的等量关系为：增加购买B型口罩数量=A型口罩数量×2；不等关系为：总费用≤6600，再设未知数，列出不等式，然后求出不等式的最大整数解.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解: 原方程可化为 － ＝0，设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－ ＝0的解；
当y＝1时， ＝1，该方程无解；当y＝－1时， ＝－1，解得x＝－ ，
经检验，x＝－ 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－ .
【知识点】解分式方程；换元法解分式方程
【解析】【解答】解: （1）将y＝ 代入原方程，则原方程化为 ＝0；（2）将y＝ 代入方程，则原方程可化为y ＝0；
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y＝ ，将原方程化为y ＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
25．【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：由（1）得： =
要使 为整数，则 必为整数，
∴x 1为3的因数，
∴x 1＝±1或±3，
解得：x＝0，2， 2，4；
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可；（2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可.
26．【答案】（1）解： + + +…+
=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣
=
（2）解：①∵ +
= = ，
∴ ，
解得 ．
∴A和B的值分别是 和﹣ ；
②∵ = ﹣
= （ ﹣ ）﹣ （ ﹣ ）
∴原式= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
= ﹣
= ﹣
=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；②根据 = ﹣ 把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．
1 / 1初中数学苏科版八年级下册第十章 分式 单元测试
一、单选题
1．（2021八下·内江开学考）下列各式中，分式的个数有（　　）
、 、 、﹣ 、 、2﹣ .
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 、﹣ 、 、2﹣ 是分式，共4个，
故答案为：C.
【分析】利用分母中含有字母的式子是分式，再逐一判断，可得到分式的个数.
2．（2020八上·永定期中）若分式 的值等于0，则x的值为（　　）
A． B．x =1 C． D．x = 0
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ =0
∴ ，解得x=1．
故答案为：B．
【分析】根据题意由分式值为0，即可得到分子为0，分式有意义，则分母不为0，即可得到x的值。
3．（2021八上·安定期末）如果把 中 的值都扩大 倍，那么这个代数式的值（　　）
A．不变 B．扩大 倍 C．扩大 倍 D．扩大 倍
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：分别用 和 去代换原分式中的 和 ，得 ，此时这个代数式的值扩大10倍.
故答案为： .
【分析】先根据条件，将x,y扩大10倍代入，接着约分，便可得到答案.
4．已知，则的值等于
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】把代数式的分子、分母同时除以可得，再整体代入求解.
当时，
故选A.
【点评】计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
5．（2020八下·大东期末）计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
= .
故答案为：B.
【分析】先通分，再利用同分母分式的加减法法则进行计算。
6．（2020八上·淮南期末）化简 的结果是（　　）
A． B．x C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】原式
=x
故答案为：B．
【分析】先因式分解，再利用分式的约分计算即可。
7．（2020八上·德州期末）化简 的结果是（　　）
A．(x+1)2 B．(x-1)2 C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=×（x+1）（x-1）
=（x-1）2
故答案为：B.
【分析】根据题意，由分式的性质以及平方差公式，运算得到答案即可。
8．（2021八下·内江开学考）某生产小组计划生产3000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，设原计划每小时生产口罩x个，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每小时生产口罩x个，则实际每小时生产口罩2x个，
依题意得：
故答案为：D.
【分析】抓住题中关键的已知条件：实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，据此列方程即可.
9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
10．（2021八上·沙坪坝开学考）若关于x的分式方程 有非负实数解，且关于x的不等式组 有解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解得： ，
∵方程有非负实数解，
∴ 即 ，
得 ；
∵不等式组 有解，
∴ ，
∴ ，
得 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴满足条件的所有整数m为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，
其和为：-6，
故答案为：D.
【分析】解含参数的分式方程，根据分式方程有非负实数解可得m的范围，再解含参的不等式组，根据分式方程的解满足x≠1可得满足条件的m的值，求和即可.
二、填空题
11．（2021八上·万山期末）计算： ＝　 　.
【答案】a-3
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a-3.
【分析】利用同分母分式相减，分母不变，把分子相减，再将结果化成最简分式.
12．（2020八上·永定期中）已知 ，则 =　 　．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】由 得： ，
则 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，3x=2y，根据分式的基本性质变形求出答案即可。
13．（2021八下·上海期中）用换元法解分式方程 时，若设 ，则原方程可以化为整式方程　 　．
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可知
5y+1=
5y2+y=1
5y2+y-1=0
【分析】根据题意，由换元法化简方程即可。
14．（2021八上·滑县期末）甲乙两地相距5km，汽车从甲到乙，速度为 km/h，可按时到达，若每小时多行驶 km，则汽车提前　 　h到达．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】根据题意可知按时到达时间为 ，提速后到达时间为
- =
故答案为
【分析】根据时间=路程÷速度可将按时到达时间和提速后到达时间表示出来，再求差并通分计算即可求解.
15．（2021八下·上海期中）如果关于 的方程 的有增根，那么 的值为　 　．
【答案】3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-3
x=2（x-3）+k
x=6-k
∵分式方程的增根为x=3
∴6-k=3
∴k=3
【分析】根据分式方程的增根的含义，计算得到答案即可。
16．（2020八下·广东月考）已知 ，则 的值为　 　．
【答案】2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】在 两边同时乘以xy，得到 ，将其变形
整理 得 ，
再将 代入得：
【分析】在 两边同时乘以xy，得到 ，再变形利用等量代换求 的值即可．
17．（2021八上·武汉期末）已知 ，则 的值　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据已知条件求得 ，同时将 变形得到 是关键 首先由 变形得到 ，将 分子分母同时除以 ，继而利用完全平方公式变形得到 ，最后把 代入计算即可．
18．（新人教版数学八年级上册第十五章分式15.3 分式方程 同步练习）一位工人师傅加工1500个零件后，把工作效率提高到原来的2.5倍，因此再加工1500个零件时，较前提早了18个小时完工，问这位工人师傅提高工作效率的前后每小时各加工多少个零件？设提高工作效率前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为　 　。
【答案】 18 =
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】原来加工1500个零件所用时间为： ，现在加工1500个零件所用时间为： ，∴根据题意可列方程为 18 =
【分析】关键描述语为：“较前提早了18个小时完工”；本题的等量关系为：原来加工1500个零件所用时间 18=现在加工1500个零件所用时间，把相应数值代入即可求解．
三、综合题
19．（2021八下·姜堰期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
经检验， 是原分式方程的根.
（2）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是增根，原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
（2）先去分母（右边的2不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可.
20．（2021八下·内江开学考）先化简 ，再从0，－2，－1，1中选择一个合适的数代入并求值.
【答案】解：原式= ，
∵a≠±1和-2，
∴当a=0时，原式= .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将除法转化为乘法运算，约分化简，然后将使原分式有意义的a的值代入化简后的代数式求值.
21．（2021八上·中方期末）在解答“先化简式子 ，再选一个你认为合适的整数x代入求值”这个题时，小明选取 ，计算得原式的值为 .
（1）你认为小明的计算正确吗？为什么？
（2）请你写出你的解答过程.
【答案】（1）解：不正确；
因为 时， =0，所以原式无意义；
（2）解：原式= = ，取 代入得：
原式= （答案不唯一）.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】（1）由分式有意义的条件可得当 时， =0，则原式无意义，因此问题可求解；
（2）将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，然后将除式的分子、分母交换位置将除法转变为乘法，接着进行分式的乘法运算即可，最后选择一个保证分式有意义的数代入即可算出答案.
22．（2020八上·前郭期末）已知 .
（1）化简A；
（2）当 满足不等式组 ，且 为整数时，求A的值.
【答案】（1）解：原式= = = =
（2）解：不等式组的解集为1≤x＜3
∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝ 中x≠1，
∴当x＝1时，A＝ 无意义．
②当x＝2时，
A＝ ＝
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
23．（2021八下·姜堰期中）在近期“抗疫”期间，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同.
（1）求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1）解：设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是（x+1）元，
依题意可得：
解得：x=1.5，
经检验，x=1.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2.5，
∴A型口罩的单价是2.5元，B型口罩的单价是1.5元；
（2）解：设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，
依题意得： ，
解得： ，
∴增加购买A型口罩的数量最多是1200个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：7500÷A型口罩的单价=4500÷B型口罩的单价，据此设未知数，列方程，然后求出方程的解，由此可求出A、B两种型号口罩的单价.
（2）此题的等量关系为：增加购买B型口罩数量=A型口罩数量×2；不等关系为：总费用≤6600，再设未知数，列出不等式，然后求出不等式的最大整数解.
24．（2020八上·昌平月考）阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： － ＝0.
解：设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－ ＝0的解．
当y＝2时， ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ .
经检验，x1＝－1，x2＝ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝ .
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为　 　；
（2）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为　 　；
（3）模仿上述换元法解方程： － －1＝0.
【答案】（1）
（2）
（3）解: 原方程可化为 － ＝0，设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1，
经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－ ＝0的解；
当y＝1时， ＝1，该方程无解；当y＝－1时， ＝－1，解得x＝－ ，
经检验，x＝－ 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝－ .
【知识点】解分式方程；换元法解分式方程
【解析】【解答】解: （1）将y＝ 代入原方程，则原方程化为 ＝0；（2）将y＝ 代入方程，则原方程可化为y ＝0；
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y＝ ，将原方程化为y ＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
25．（2020八上·许昌期末）仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”.例如： ， ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， .我们知道，假分数可以化为带分数，例如： =2+ =2 ，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： =1+ .
（1）将分式 化为带分式；
（2）当x取哪些整数值时，分式 的值也是整数？
【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：由（1）得： =
要使 为整数，则 必为整数，
∴x 1为3的因数，
∴x 1＝±1或±3，
解得：x＝0，2， 2，4；
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可；（2）原式变形后，根据结果为整数确定出整数x的值即可.
26．（2017八上·肥城期末）按要求完成下列题目．
（1）求： + + +…+ 的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成 的形式，而 = ﹣ ，这样就把 一项（分）裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 + + +…+ 的值．
（2）若 = +
①求：A、B的值：
②求： + +…+ 的值．
【答案】（1）解： + + +…+
=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
=1﹣
=
（2）解：①∵ +
= = ，
∴ ，
解得 ．
∴A和B的值分别是 和﹣ ；
②∵ = ﹣
= （ ﹣ ）﹣ （ ﹣ ）
∴原式= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣
= ﹣
= ﹣
=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解；②根据 = ﹣ 把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．
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