初中数学人教版八年级上册 第十五章 15.2分式的运算
一、单选题
1．（2020八下·农安月考）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= = ，
故答案为：A．
【分析】根据分式的除法运算法则，把除法化成乘法，然后约分化简即可．
2．（2020八上·许昌期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】根据分式的减法法则，可知： = = ，故A不正确；
由异分母的分式相加减，可知 = ，故B不正确；
由同分母分式的加减，可知 ，故C不正确；
由分式的加减法法则，先因式分解通分，即可知 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用分式的加减法则分别进行计算，然后判断即可.
3．（2019八下·农安期末）若(x﹣2)x＝1，则x的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．0或3
【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）x＝1，
∴x﹣2＝1或x＝0，解答x＝3或x＝0，
故答案为：D．
【分析】根据零指数幂的性质解答即可．
4．（2020八下·南京期中）化简 的结果是（ ）
A．m - 3 B．-m - 3 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
= ；
故答案为：B.
【分析】先计算分式的加减，然后进行约分，即可得到答案.
5．（2020八下·西安月考）化简 的结果为 ，则a＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ＝ ÷
＝
＝ ，
∴3﹣a＝﹣1，
∴a＝4，
故答案为：A.
【分析】根据除式=被除式除以商，再化简，根据题意可知，就可得到关于a的方程，解方程求出a的值。
6．（2020八上·江汉期末）式子 的值不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
根据分式有意义的条件，可知 、b、c均不能为0
∴
∴
故答案为：B
【分析】首先根据分式的基本性质，将分式进行通分，然后分析式子的分子部分进行判断即可.
7．（2020八上·郑州期末）若a＋b＝3，ab＝－7，则 的值为（ ）
A．－ B．－ C．－ D．－
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】原式= ，
∵a+b=3，ab=-7，
∴原式= ．
故选C．
【分析】利用分式的加减及完全平方公式将原式变形为原式= ，然后代入计算即可.
8．已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】解答： 已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；(a)
，即 ；(b)
，即 ．(c)
(b)﹣(c) 得到： (d)
（a）﹣（d）得到： 解得：x= ．
故选B．
分析： 把已知 =1变形为 =1是解决本题的关键．
9．计算-的结果为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： 原式=-
=-1
故答案为：D．
【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
二、填空题
10．（2020八下·东坡期中）计算 =
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式的乘除运算法则依次计算即可解答．
11．（2020八上·河池期末）计算： .
【答案】10
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】原式=1+9=10
故答案为：10.
【分析】第一项利用零次幂计算，第二项利用负整数指数幂，再相加即可.
12．（2020八下·巴中月考）若方程 ，那么A+B= ．
【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
∴A+B=2，
故答案为：2．
【分析】计算 的结果，根据 可得对应系数相等可得A+B的值．
13．（2020八下·西安月考）已知m2+4mn+n2＝0（m≠0，n≠0），则代数 + 的值等于 .
【答案】-4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m2+4mn+n2＝0，且m≠0，n≠0，
∴ +4+ ＝0，
则 + ＝﹣4，
故答案为：﹣4.
【分析】将方程的两边同时除以mn，可得到 +4+ ＝0，然后将常数项移到方程的右边即可。
14．（2020八上·石景山期末）下面是小军同学计算 的过程：
=
=
=
=
=
其中运算步骤[2]为： ，该步骤的依据是 ．
【答案】通分；分式的基本性质
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】运算步骤[2] 为
故为通分，依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以一个不为零的整式，分式的值不变，
故填：(1).通分(2).分式的基本性质
【分析】根据分式运算的法则即可求解.
三、计算题
15．（2020八下·泉州期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
=
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简在进行计算，即可求出答案； （2）先通分，再利用分式加法运算法则化简求出答案.
16．（2018八上·黑龙江期末）先化简，再求值： ，其中x＝3
【答案】解： =
= ＝ ，
当x＝3时，原式＝
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】按照分式的混合运算法则计算，先将括号里的分式通分，再将除号后的分式分解因式化简 ，最后将x＝3代入化简后的分式中计算即可。
17．（2020八下·蓬溪期中）先化简： ，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值（x是整数）代入求值．
【答案】解：原式= ．
当x=1时，原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可．
18．计算 并求当x=1时,该代数式的值.
【答案】解：原式= 当 =1时,原式=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先利用将各式变形，然后先合并，再代入求值即可.
四、解答题
19．阅读下面的解题过程:
已知 = ,求 的值.
解:由 = 知x≠0,所以 =3,即x+ =3.所以
=x2+ = -2=32-2=7.
故 的值为 .
该题的解法叫做“倒数求值法”,请你利用“倒数求值法”解下面的题目:
若 = ,求 的值.
【答案】解:由 = 知x≠0,
所以 =5,即x+ =8.
=x2+ +1= -2+1=82-2+1=63.所以 的值为
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】这是一道阅读题，要求一个式子的值，只需要先求出其倒数的值，根据分式除法的意义，将分式的除法转变为多项式除以单项式，进行化简，再根据互为倒数的两个数的乘积为1，这一性质，用配方的方法将互为相反数的两个数的平方改写成一个完全平方式，得出倒数的平方，最后再倒回来得出答案。
20．已知x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）且x是整数，求证： 是整数．
【答案】解：x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）2（x+1）， ∴ = =x+1． 又∵x是整数， ∴x+1是整数． 故 是整数．
【知识点】分式的乘除法
【解析】分析： 可将x3﹣x2﹣x+1因式分解，再进行分式的除法运算，可求出 的结果，然后根据条件x是整数，即可得证．
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一、单选题
1．（2020八下·农安月考）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·许昌期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019八下·农安期末）若(x﹣2)x＝1，则x的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．0或3
4．（2020八下·南京期中）化简 的结果是（ ）
A．m - 3 B．-m - 3 C． D．
5．（2020八下·西安月考）化简 的结果为 ，则a＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2020八上·江汉期末）式子 的值不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
7．（2020八上·郑州期末）若a＋b＝3，ab＝－7，则 的值为（ ）
A．－ B．－ C．－ D．－
8．已知 =1， =2， =3，则x的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
9．计算-的结果为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1
二、填空题
10．（2020八下·东坡期中）计算 =
11．（2020八上·河池期末）计算： .
12．（2020八下·巴中月考）若方程 ，那么A+B= ．
13．（2020八下·西安月考）已知m2+4mn+n2＝0（m≠0，n≠0），则代数 + 的值等于 .
14．（2020八上·石景山期末）下面是小军同学计算 的过程：
=
=
=
=
=
其中运算步骤[2]为： ，该步骤的依据是 ．
三、计算题
15．（2020八下·泉州期中）计算
（1）
（2）
16．（2018八上·黑龙江期末）先化简，再求值： ，其中x＝3
17．（2020八下·蓬溪期中）先化简： ，若﹣2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值（x是整数）代入求值．
18．计算 并求当x=1时,该代数式的值.
四、解答题
19．阅读下面的解题过程:
已知 = ,求 的值.
解:由 = 知x≠0,所以 =3,即x+ =3.所以
=x2+ = -2=32-2=7.
故 的值为 .
该题的解法叫做“倒数求值法”,请你利用“倒数求值法”解下面的题目:
若 = ,求 的值.
20．已知x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）且x是整数，求证： 是整数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= = ，
故答案为：A．
【分析】根据分式的除法运算法则，把除法化成乘法，然后约分化简即可．
2．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】根据分式的减法法则，可知： = = ，故A不正确；
由异分母的分式相加减，可知 = ，故B不正确；
由同分母分式的加减，可知 ，故C不正确；
由分式的加减法法则，先因式分解通分，即可知 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用分式的加减法则分别进行计算，然后判断即可.
3．【答案】D
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）x＝1，
∴x﹣2＝1或x＝0，解答x＝3或x＝0，
故答案为：D．
【分析】根据零指数幂的性质解答即可．
4．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
= ；
故答案为：B.
【分析】先计算分式的加减，然后进行约分，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ＝ ÷
＝
＝ ，
∴3﹣a＝﹣1，
∴a＝4，
故答案为：A.
【分析】根据除式=被除式除以商，再化简，根据题意可知，就可得到关于a的方程，解方程求出a的值。
6．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
根据分式有意义的条件，可知 、b、c均不能为0
∴
∴
故答案为：B
【分析】首先根据分式的基本性质，将分式进行通分，然后分析式子的分子部分进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】原式= ，
∵a+b=3，ab=-7，
∴原式= ．
故选C．
【分析】利用分式的加减及完全平方公式将原式变形为原式= ，然后代入计算即可.
8．【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】解答： 已知 =1， =2， =3，则： =1，即 =1；(a)
，即 ；(b)
，即 ．(c)
(b)﹣(c) 得到： (d)
（a）﹣（d）得到： 解得：x= ．
故选B．
分析： 把已知 =1变形为 =1是解决本题的关键．
9．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： 原式=-
=-1
故答案为：D．
【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
10．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式的乘除运算法则依次计算即可解答．
11．【答案】10
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】原式=1+9=10
故答案为：10.
【分析】第一项利用零次幂计算，第二项利用负整数指数幂，再相加即可.
12．【答案】2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
∴A+B=2，
故答案为：2．
【分析】计算 的结果，根据 可得对应系数相等可得A+B的值．
13．【答案】-4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m2+4mn+n2＝0，且m≠0，n≠0，
∴ +4+ ＝0，
则 + ＝﹣4，
故答案为：﹣4.
【分析】将方程的两边同时除以mn，可得到 +4+ ＝0，然后将常数项移到方程的右边即可。
14．【答案】通分；分式的基本性质
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】运算步骤[2] 为
故为通分，依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以一个不为零的整式，分式的值不变，
故填：(1).通分(2).分式的基本性质
【分析】根据分式运算的法则即可求解.
15．【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
=
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简在进行计算，即可求出答案； （2）先通分，再利用分式加法运算法则化简求出答案.
16．【答案】解： =
= ＝ ，
当x＝3时，原式＝
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】按照分式的混合运算法则计算，先将括号里的分式通分，再将除号后的分式分解因式化简 ，最后将x＝3代入化简后的分式中计算即可。
17．【答案】解：原式= ．
当x=1时，原式= ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可．
18．【答案】解：原式= 当 =1时,原式=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先利用将各式变形，然后先合并，再代入求值即可.
19．【答案】解:由 = 知x≠0,
所以 =5,即x+ =8.
=x2+ +1= -2+1=82-2+1=63.所以 的值为
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】这是一道阅读题，要求一个式子的值，只需要先求出其倒数的值，根据分式除法的意义，将分式的除法转变为多项式除以单项式，进行化简，再根据互为倒数的两个数的乘积为1，这一性质，用配方的方法将互为相反数的两个数的平方改写成一个完全平方式，得出倒数的平方，最后再倒回来得出答案。
20．【答案】解：x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）2（x+1）， ∴ = =x+1． 又∵x是整数， ∴x+1是整数． 故 是整数．
【知识点】分式的乘除法
【解析】分析： 可将x3﹣x2﹣x+1因式分解，再进行分式的除法运算，可求出 的结果，然后根据条件x是整数，即可得证．
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